A számtan a változás tanulmányozásával foglalkozó matematikai terület. A modern matematika legnehezebb és legabsztraktabb területei közé tartozik, és szinte minden természettudományos, mérnöki és üzleti területen használják.

A számtan segítségével olyan helyzeteket modellezhetünk, amelyekben a változás mértéke, például a sebesség vagy a gyorsulás. Ezeket gyakran "differenciálegyenleteknek" nevezik. A számtan segítségével olyan problémákat is megoldhatunk, amelyek határértékeket tartalmaznak: például egy görbe alatti terület vagy egy szilárd test térfogatának meghatározása.

A különböző problémák megoldására különböző módszereket használhatsz. Néhány ilyen módszer a lemez, az alátét és a héj módszer.

A fő különbség a számításban a korong-, az alátét- és a héjmódszer között az, hogy mindegyik más-más megközelítést használ egy görbe közelítésére. A korongmódszer egy kör alakú régiót használ a görbe közelítése körül, míg az alátétmódszer egy felülről nézve alátét alakú régiót használ. A héjmódszer egy felülről nézve héj alakú régiót használ.

Beszéljük meg részletesen ezeket a módszereket.

Mit jelent a lemezes módszer?

A korongintegrációs módszer, más néven az integrálszámítás korongegyenlete kiszámítja egy szilárd test térfogatát fordulatonként, ha a fordulatával párhuzamos tengely mentén integráljuk.

A korongos módszer során egy tárgyat sok kis korongra vagy hengerre osztunk, majd a kis korongok térfogatát összeadjuk, hogy meghatározzuk a tárgy térfogatát.

Egy henger sugarát egy f(x) függvény adja meg, a magasságát pedig x határozza meg. Amikor az x változása eléri a nullát, és a korongok száma a végtelenbe nő, akkor nem egy becslés, hanem a tárgy tényleges térfogata lesz meg.

A térfogat kiszámításának képlete a lemezintegrációs módszerrel a következő:

	=	a függvény és a forgástengely távolsága
	=	felső határ
	=	alsó határ
	=	az x mentén csúszik

Mit jelent a mosógépes módszer?

A mosógépes módszer egy differenciálegyenlet megoldásának egyik módja. Azért hívják mosógépes módszernek, mert egy mosógépet használ analógiaként a működéséhez.

A differenciálegyenlet azt írja le, hogyan változik egy ismeretlen függvény az idő múlásával, még akkor is, ha az nem folytonos. Gyakran használják olyan dolgok modellezésére, mint a hullámok vagy más folyamatok, amelyek az idő múlásával változnak, de nem feltétlenül egyenletesen.

Az y(t) megoldásához meg kell találni y(t) értékét a t összes lehetséges értékére. Ez azonban nehéz és időigényes lehet, mivel végtelen számú megoldás létezik. A Washer-módszer segít a megoldások megtalálásában a pontos értékek helyett közelítéssel.

• Egy kezdeti tippel kezdődik, hogy milyen lehet a megoldás: y(t) = f(t).
• Ezután meg kell találni a hibát a becslés és a bekövetkező esemény között: e(t).
• Ezután ezt a hiba kifejezést használja a találgatás frissítésére: f'(t) = f* 2 - 2 f*e + c, ahol c egy tetszőleges konstans (nem számít, hogy milyen értéket választunk).
• Ezután ismételje meg a folyamatot, amíg a hiba kisebb nem lesz, mint az epsilon.

Mit jelent a Shell módszer?

A számtanban a héjmódszer egy olyan technika, amellyel egy szilárd test térfogatát koncentrikus héjak sorozatával közelítve lehet meghatározni. Gyakran használják olyan szabálytalan alakú szilárd testek térfogatának meghatározására, amelyek nem oszthatók könnyen olyan egyszerű alakzatokra, amelyek térfogata ismert.

A héjmódszer az alakzatot sok vékony szeletre osztja, majd ezek térfogatát összegzi. A szeleteket héjaknak tekinthetjük, innen a "héjmódszer".

A héjmódszer abban különbözik a többi módszertől, hogy a héj középpontjaként egy pontot választ, nem pedig az egyes részintervallumok középpontját. Ez pontosabb közelítéseket eredményez, mint más módszerek, de több munkát igényel a felhasználó részéről.

Ismerje a különbséget

A héj-, az alátét- és a tárcsamódszer mind az integrálással kapcsolatos számítási feladatok megoldásának módja.

A héjmódszer egy gyűrű térfogatának, míg a korongmódszer egy függvény görbéje alatti területnek a meghatározását jelenti. A alátétmódszer hasonlít a héjmódszerhez, de más technikát alkalmaz a gyűrű térfogatának meghatározására.

Shell módszer

A héjmódszer egy meghatározott keresztmetszetű, forgásirányban forgó szilárd test térfogatának közelítésére szolgál, a szilárd testből kivágott végtelen számú vékony héj térfogatának összegzésével. A héjmódszer csak akkor érvényes, ha a keresztmetszet állandó vastagságú, így nem használható szabálytalan alakú tárgyak térfogatának meghatározására.

Mosógép módszer

Az alátétmódszer hasonló a héjmódszerhez, azzal a különbséggel, hogy ahelyett, hogy végtelen számú vékony héjat vágnánk ki a szilárd testből, csak egy vastag héjat vágunk ki belőle (amely állandó vastagságú), majd azt állandó szélességű kisebb darabokra osztjuk.

Lemezes módszer

A korongos módszer során különböző sugarú és különböző szöghelyzetű köröket rajzolunk a középpontjukon áthaladó tengely köré; ezek a körök olyan pontokon metszik egymást, amelyeknek egymás kerületén kell feküdniük - más szóval, átfedik egymást -, hogy olyan szektorokat alkossanak, amelyek a kör kerületének egy részét képviselik.

Ezeket a szektorokat ezután összeadjuk, hogy közelítőleg meghatározzuk, hányszor férnek el az egyes sugarak az objektum kerületén, mielőtt a következő metszéspontjaikban, ugyanazon tengelyek mentén ismét átfedések keletkeznek közöttük.

A táblázat összefoglaló formában mutatja be a három módszer közötti különbséget.

Itt egy videoklip, amely mindhárom módszert bemutatja.

Mikor kell a mosógépes vagy a héjmódszert használni?

Egy henger felületének kiszámítására több módszer is létezik. A héjmódszer az egyik, de nem mindig ez a leghatékonyabb vagy legpontosabb módszer.

Az alátétmódszer valójában nem is módszer - ez csak egy másik módja annak, hogy azt mondjuk: "Mi marad meg, ha ezt a másik dolgot csinálod?" Nem mond semmit arról, hogy mi történik a henger belsejében; csak az számít, hogy mi az, ami idegen.

Tehát melyiket használd? Attól függ, hogy mit akarsz mérni!

Ha azt szeretné tudni, hogy mennyi festékre lenne szüksége a falakhoz, a héjmódszer jobb eredményt ad, mint a mosószeres módszer, mert több adatpontot használ. Ha azonban azt szeretné megmérni, hogy mennyi gumira van szüksége a gumiabroncsainak, a mosószeres módszer jobban működik, mert kevesebb adatpontot használ.

Honnan tudod, hogy lemezről vagy alátétről van-e szó?

Az alátét és a korong közötti különbség a forgási szimmetria fokában rejlik. A korongnak nincs szimmetriatengelye, így bármilyen szögben elforgatható, és ugyanolyannak tűnik. Az alátétnek azonban van szimmetriatengelye - egy vonal, amely a tárgy két felét egymáshoz igazítja.

A számtanban a következő egyenlet segítségével meg lehet állapítani a különbséget egy korong és egy alátét között:

Korong: (átmérő)2 - (sugár)2 = a korong területe.

Alátét: (átmérő)2 <(sugár)2

Végső gondolatok

• A fő különbség a korong-, az alátét- és a héjmódszer között a számításban az, hogy mindegyik más-más eredményt ad ugyanarra a problémára.
• A lemezes módszer során a görbe alatti területet úgy találjuk meg, hogy a görbét szakaszokra bontjuk, és ezek területét összeadjuk. Ez a módszer jól működik sok görbével rendelkező függvények esetén, de kevésbé jól, ha kevesebb görbe van.
• Az alátétes módszer lényege, hogy a görbe alatti területet szakaszokra osztjuk, és ezek kerületét összeadjuk. Ez a módszer jól működik a nagyon kevés görbét tartalmazó függvényeknél, de nem annyira jó, ha több görbe van.
• A héjmódszer során az egyes görbék magasságát megszorozzuk a szélességével, hogy megközelítsük a területét. Ez a módszer jól működik, ha gyorsan kell közelítést kapnunk, de nem működik különösen jól, ha pontos választ szeretnénk kapni.

Kapcsolódó cikkek