కాలిక్యులస్ అనేది మార్పు యొక్క అధ్యయనంతో వ్యవహరించే గణిత శాస్త్రం. ఇది ఆధునిక గణితంలో అత్యంత సవాలుగా ఉన్న మరియు నైరూప్య రంగాలలో ఒకటి మరియు దాదాపు ప్రతి సైన్స్, ఇంజనీరింగ్ మరియు వ్యాపార ప్రాంతంలో ఉపయోగించబడుతుంది.

కాలిక్యులస్ మనకు మార్పు రేట్లు ఉన్న వేగము లేదా త్వరణం వంటి పరిస్థితులను మోడల్ చేస్తుంది. వీటిని తరచుగా "అవకలన సమీకరణాలు" అని పిలుస్తారు. పరిమితులను కలిగి ఉన్న సమస్యలను పరిష్కరించడానికి కాలిక్యులస్ కూడా మమ్మల్ని అనుమతిస్తుంది: ఉదాహరణకు, వక్రరేఖ కింద ఉన్న ప్రాంతాన్ని లేదా ఘన పరిమాణంలో కనుగొనడం.

మీరు వివిధ సమస్యలను పరిష్కరించడానికి వివిధ పద్ధతులను ఉపయోగించవచ్చు. ఈ పద్ధతుల్లో కొన్ని డిస్క్, వాషర్ మరియు షెల్ మెథడ్స్‌ను కలిగి ఉంటాయి.

కాలిక్యులస్‌లో డిస్క్, వాషర్ మరియు షెల్ పద్ధతుల మధ్య ప్రధాన వ్యత్యాసం ఏమిటంటే, అవన్నీ వక్రరేఖను అంచనా వేయడానికి వేర్వేరు విధానాలను ఉపయోగిస్తాయి. డిస్క్ పద్ధతి వక్రరేఖ యొక్క ఉజ్జాయింపు చుట్టూ వృత్తాకార ప్రాంతాన్ని ఉపయోగిస్తుంది, అయితే వాషర్ పై నుండి చూసినప్పుడు వాషర్ ఆకారంలో ఉన్న ప్రాంతాన్ని ఉపయోగిస్తుంది. పై నుండి చూసినప్పుడు షెల్ పద్ధతి షెల్ ఆకారంలో ఉన్న ప్రాంతాన్ని ఉపయోగిస్తుంది.

ఈ పద్ధతులన్నింటినీ వివరంగా చర్చిద్దాం.

డిస్క్ అంటే ఏమిటి పద్ధతి?

ఇంటిగ్రల్ కాలిక్యులస్ డిస్క్ ఈక్వేషన్ అని కూడా పిలువబడే డిస్క్ ఇంటిగ్రేషన్ మెథడ్, దాని రివల్యూషన్‌కు సమాంతరంగా అక్షం వెంట ఏకీకృతం అయినప్పుడు ప్రతి విప్లవానికి ఘన పరిమాణాన్ని గణిస్తుంది.

డిస్క్ పద్ధతిలో ఉంటుందిఒక వస్తువును అనేక చిన్న డిస్క్‌లు లేదా సిలిండర్‌లుగా విభజించి, ఆపై ఈ చిన్న డిస్క్‌ల వాల్యూమ్‌లను కలిపి ఆబ్జెక్ట్ వాల్యూమ్‌ను నిర్ణయించడం.

సిలిండర్ యొక్క వ్యాసార్థం f(x) ఫంక్షన్ ద్వారా ఇవ్వబడుతుంది మరియు దాని ఎత్తు x ద్వారా నిర్ణయించబడుతుంది. xలో మార్పు సున్నాకి చేరినప్పుడు మరియు డిస్క్‌ల సంఖ్య అనంతానికి పెరిగినప్పుడు, మీరు అంచనా కంటే వస్తువు యొక్క వాస్తవ వాల్యూమ్‌ను కలిగి ఉంటారు.

డిస్క్ ఇంటిగ్రేషన్ పద్ధతి ద్వారా వాల్యూమ్‌ను లెక్కించడానికి సూత్రం క్రింది విధంగా ఉంటుంది:

	=	ఫంక్షన్ మరియు భ్రమణ అక్షం మధ్య దూరం
	=	ఎగువ పరిమితి
	=	తక్కువ పరిమితి
	=	x

వాషర్ మెథడ్ అంటే ఏమిటి?

వాషర్ పద్ధతి అనేది అవకలన సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడానికి ఒక మార్గం. ఇది వాషర్ పద్ధతి అని పిలువబడుతుంది, ఎందుకంటే ఇది ఎలా పని చేస్తుందో దానికి సారూప్యతగా వాషర్‌ని ఉపయోగిస్తుంది.

ఒక అవకలన సమీకరణం అనేది నిరంతరంగా లేనప్పటికీ, సమయం గడిచేకొద్దీ తెలియని ఫంక్షన్ ఎలా మారుతుందో వివరిస్తుంది. కాలానుగుణంగా మారే తరంగాలు లేదా ఇతర ప్రక్రియల వంటి వాటిని మోడల్ చేయడానికి ఇది తరచుగా ఉపయోగించబడుతుంది, అయితే ఇది మృదువైన మార్గంలో అవసరం లేదు.

y(t) కోసం పరిష్కరించడానికి, మీరు సాధ్యమయ్యే అన్ని విలువల కోసం y(t)ని కనుగొనాలి. యొక్క t. అయినప్పటికీ, అనంతమైన పరిష్కారాలు ఉన్నందున ఇది కష్టం మరియు సమయం తీసుకుంటుంది. వాషర్ మెథడ్ మీకు పరిష్కారాలను కనుగొనడంలో సహాయపడుతుందిఖచ్చితమైన విలువలకు బదులుగా ఉజ్జాయింపులను ఉపయోగించడం.

• ఇది మీ పరిష్కారం ఎలా ఉంటుందో ప్రారంభ అంచనాతో ప్రారంభమవుతుంది: y(t) = f(t).
• అప్పుడు మీరు ఈ అంచనా మరియు ఏమి జరుగుతుందో మధ్య లోపాన్ని కనుగొంటారు: e(t).
• మీరు మీ అంచనాను నవీకరించడానికి ఈ ఎర్రర్ పదాన్ని ఉపయోగిస్తారు: f'(t) = f* 2 – 2 f*e + c, ఇక్కడ c అనేది ఒక ఏకపక్ష స్థిరాంకం (మీరు ఏ విలువను ఎంచుకున్నారనేది పట్టింపు లేదు).
• తర్వాత ఎర్రర్ ఎప్సిలాన్ కంటే చిన్నదిగా మారే వరకు ప్రక్రియను పునరావృతం చేయండి.

షెల్ మెథడ్ అంటే ఏమిటి?

కాలిక్యులస్‌లో, షెల్ పద్ధతి అనేది ఘనపదార్థం యొక్క ఘనపరిమాణాన్ని ఏకాగ్రత షెల్‌ల శ్రేణితో అంచనా వేయడం ద్వారా కనుగొనే సాంకేతికత. వాల్యూమ్‌లు తెలిసిన సాధారణ ఆకారాలుగా సులభంగా విభజించబడలేని సక్రమంగా ఆకారంలో ఉన్న ఘన ఘనపరిమాణాన్ని కనుగొనడానికి ఇది తరచుగా ఉపయోగించబడుతుంది.

షెల్ పద్ధతి ఆకారాన్ని అనేక సన్నని ముక్కలుగా విభజించి, ఆపై వాటి వాల్యూమ్‌లన్నింటినీ సంగ్రహిస్తుంది. స్లైస్‌లను షెల్‌లుగా పరిగణించవచ్చు, అందుకే “షెల్ పద్ధతి.”

షెల్ పద్ధతి ప్రతి ఉపవిరామం యొక్క మధ్య బిందువును కేంద్రంగా కాకుండా షెల్ యొక్క కేంద్రంగా ఒక బిందువును ఎంచుకోవడం ద్వారా ఇతర పద్ధతుల నుండి భిన్నంగా ఉంటుంది. ఇది ఇతర పద్ధతుల కంటే ఖచ్చితమైన ఉజ్జాయింపులకు దారి తీస్తుంది, కానీ వినియోగదారు యొక్క ముగింపులో ఎక్కువ పని అవసరం.

తేడాను తెలుసుకోండి

షెల్, వాషర్ మరియు డిస్క్ పద్ధతులు అన్నీ కలనలస్ సమస్యలను పరిష్కరించడానికి అన్ని మార్గాలుఅనుసంధానం.

షెల్ పద్ధతిలో యాన్యులస్ వాల్యూమ్‌ను కనుగొనడం ఉంటుంది, అయితే డిస్క్ పద్ధతిలో ఫంక్షన్ యొక్క వక్రరేఖ క్రింద ఉన్న ప్రాంతాన్ని కనుగొనడం ఉంటుంది. వాషర్ పద్ధతి షెల్ పద్ధతిని పోలి ఉంటుంది, కానీ ఇది యాన్యులస్ వాల్యూమ్‌ను కనుగొనడానికి వేరొక సాంకేతికతను ఉపయోగిస్తుంది.

షెల్ పద్ధతి

వాల్యూమ్‌ను అంచనా వేయడానికి షెల్ పద్ధతి ఉపయోగించబడుతుంది. ఘనపదార్థం నుండి కత్తిరించిన అనంతమైన సన్నని షెల్‌ల వాల్యూమ్‌లను సంక్షిప్తం చేయడం ద్వారా నిర్దిష్ట క్రాస్-సెక్షన్‌తో విప్లవంలో ఘనం. క్రాస్-సెక్షన్ స్థిరమైన మందంతో ఉన్నప్పుడు మాత్రమే షెల్ పద్ధతి చెల్లుబాటు అవుతుంది, కాబట్టి ఇది సక్రమంగా ఆకారంలో ఉన్న వస్తువు యొక్క వాల్యూమ్‌ను కనుగొనడానికి ఉపయోగించబడదు.

వాషర్ పద్ధతి

వాషర్ పద్ధతి సారూప్యంగా ఉంటుంది. షెల్ పద్ధతికి తప్ప, ఘనపదార్థం నుండి అనంతమైన సన్నని షెల్‌లను కత్తిరించే బదులు, మీరు దాని నుండి కేవలం ఒక మందపాటి షెల్‌ను (స్థిరమైన మందం కలిగి ఉంటుంది) కత్తిరించి, ఆపై స్థిరమైన వెడల్పుతో చిన్న ముక్కలుగా విభజించారు.

డిస్క్ పద్ధతి

డిస్క్ పద్ధతిలో వివిధ రేడియాలు మరియు వాటి కేంద్రాల గుండా వెళుతున్న అక్షం చుట్టూ వివిధ కోణీయ స్థానాలతో వృత్తాల శ్రేణిని గీయడం ఉంటుంది; ఈ సర్కిల్‌లు ఒకదానికొకటి చుట్టుకొలతపై ఉండే బిందువుల వద్ద కలుస్తాయి-మరో మాటలో చెప్పాలంటే, అవి అతివ్యాప్తి చెందుతాయి-వృత్తం చుట్టుకొలతలోని భాగాలను సూచించే రంగాలను ఏర్పరుస్తాయి.

మీ వస్తువు చుట్టూ ఒక్కో వ్యాసార్థం ఎన్ని సార్లు సరిపోతుందో అంచనా వేయడానికి ఈ సెక్టార్‌లు జోడించబడతాయిఅవే అక్షాలతో పాటు వాటి క్రింది ఖండనల వద్ద మళ్లీ వాటి మధ్య అతివ్యాప్తి చెందడానికి ముందు చుట్టుకొలత.

పట్టిక మీకు సారాంశ రూపంలో మూడు పద్ధతుల మధ్య వ్యత్యాసాన్ని అందిస్తుంది.

మూడు పద్ధతులను వివరించే వీడియో క్లిప్ ఇక్కడ ఉంది.

మీరు వాషర్ మెథడ్ లేదా ది ఎప్పుడు ఉపయోగించాలి షెల్ పద్ధతి?

సిలిండర్ ఉపరితల వైశాల్యాన్ని లెక్కించడానికి అనేక పద్ధతులు ఉన్నాయి. షెల్ పద్ధతి వాటిలో ఒకటి, కానీ ఇది ఎల్లప్పుడూ అత్యంత ప్రభావవంతమైన లేదా ఖచ్చితమైన మార్గం కాదు.

వాషర్ పద్ధతి నిజంగా ఒక పద్ధతి కాదు—ఇది కేవలం మరొక మార్గం, “మీరు దీన్ని చేసినప్పుడు ఏమి మిగిలి ఉంటుంది ఇంకో వస్తువు?" సిలిండర్ లోపల ఏమి జరుగుతుందో అది మీకు ఏమీ చెప్పదు; అతీతమైన విషయాలు మాత్రమే.

కాబట్టి మీరు దేనిని ఉపయోగించాలి? ఇది మీరు కొలవడానికి ప్రయత్నిస్తున్న దానిపై ఆధారపడి ఉంటుంది!

మీరు ఎంత తెలుసుకోవాలనుకుంటేమీ గోడలకు పెయింట్ అవసరమవుతుంది, షెల్ పద్ధతి మీకు వాషర్ పద్ధతి కంటే మెరుగైన ఫలితాలను ఇస్తుంది ఎందుకంటే ఇది ఎక్కువ డేటా పాయింట్లను ఉపయోగిస్తుంది. కానీ మీరు మీ టైర్లకు ఎంత రబ్బరు అవసరమో కొలవడానికి ప్రయత్నిస్తుంటే, వాషర్ పద్ధతి మెరుగ్గా పని చేస్తుంది ఎందుకంటే ఇది తక్కువ డేటా పాయింట్లను ఉపయోగిస్తుంది.

ఇది డిస్క్ లేదా వాషర్ అని మీకు ఎలా తెలుసు?

వాషర్ మరియు డిస్క్ మధ్య వ్యత్యాసం వాటి భ్రమణ సమరూపత స్థాయిలో ఉంటుంది. డిస్క్‌కు సమరూపత యొక్క అక్షం లేదు, కనుక ఇది ఏ కోణంలోనైనా తిప్పబడుతుంది మరియు అదే విధంగా కనిపిస్తుంది. అయితే, ఒక ఉతికే యంత్రం సమరూపత యొక్క అక్షాన్ని కలిగి ఉంటుంది—ఒక పంక్తి వస్తువు యొక్క రెండు భాగాలను సమలేఖనం చేస్తుంది.

కాలిక్యులస్‌లో, మీరు క్రింది సమీకరణాన్ని ఉపయోగించి డిస్క్ మరియు వాషర్ మధ్య వ్యత్యాసాన్ని చెప్పవచ్చు:

డిస్క్: (వ్యాసం)2 – (వ్యాసార్థం)2 = డిస్క్ వైశాల్యం

వాషర్: (వ్యాసం)2 < (వ్యాసార్థం)2

తుది ఆలోచనలు

• కాలిక్యులస్‌లోని డిస్క్, వాషర్ మరియు షెల్ పద్ధతుల మధ్య ప్రధాన వ్యత్యాసం ఏమిటంటే, అవి ఒకే సమస్యకు వేర్వేరు ఫలితాలను కలిగి ఉంటాయి.
• డిస్క్ పద్ధతిలో వక్రరేఖ కింద ఉన్న ప్రాంతాన్ని విభాగాలుగా విభజించి వాటి ప్రాంతాలను జోడించడం ద్వారా కనుగొనడం ఉంటుంది. ఈ పద్ధతి అనేక వక్రతలతో కూడిన ఫంక్షన్‌లకు బాగా పని చేస్తుంది కానీ తక్కువ వక్రతలు ఉన్నట్లయితే అది బాగా పని చేస్తుంది.
• వాషర్ పద్ధతిలో వక్రరేఖ కింద ఉన్న ప్రాంతాన్ని విభాగాలుగా విభజించడం మరియు వాటి చుట్టుకొలతలను జోడించడం ఉంటుంది. ఈ పద్ధతి చాలా తక్కువ వక్రతలతో ఫంక్షన్‌లకు బాగా పని చేస్తుంది కానీ అక్కడ ఉన్నప్పుడు అంత గొప్పగా ఉండదుఎక్కువ వక్రతలు ఉంటాయి.
• షెల్ పద్ధతిలో ప్రతి వంపు యొక్క ఎత్తును దాని వెడల్పుతో దాని వైశాల్యాన్ని అంచనా వేయడానికి గుణించడం ఉంటుంది. మీరు త్వరగా ఉజ్జాయింపుని పొందవలసి వచ్చినప్పుడు ఈ పద్ధతి బాగా పని చేస్తుంది కానీ ఖచ్చితమైన సమాధానాన్ని పొందడానికి ప్రయత్నిస్తున్నప్పుడు ప్రత్యేకంగా పని చేయదు.

సంబంధిత కథనాలు