കാൽക്കുലസ് മാറ്റത്തെക്കുറിച്ചുള്ള പഠനവുമായി ബന്ധപ്പെട്ട ഒരു ഗണിതശാഖയാണ്. ആധുനിക ഗണിതശാസ്ത്രത്തിലെ ഏറ്റവും വെല്ലുവിളി നിറഞ്ഞതും അമൂർത്തവുമായ മേഖലകളിൽ ഒന്നാണിത്, ഇത് മിക്കവാറും എല്ലാ സയൻസ്, എഞ്ചിനീയറിംഗ്, ബിസിനസ് മേഖലകളിലും ഉപയോഗിക്കുന്നു.

വേഗത അല്ലെങ്കിൽ ത്വരണം പോലെയുള്ള മാറ്റങ്ങളുടെ നിരക്കുകൾ നമുക്ക് മാതൃകയാക്കാൻ കാൽക്കുലസ് സഹായിക്കുന്നു. ഇവയെ പലപ്പോഴും "ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യങ്ങൾ" എന്ന് വിളിക്കുന്നു. പരിധികൾ ഉൾപ്പെടുന്ന പ്രശ്‌നങ്ങൾ പരിഹരിക്കാനും കാൽക്കുലസ് ഞങ്ങളെ അനുവദിക്കുന്നു: ഉദാഹരണത്തിന്, ഒരു വക്രത്തിന് കീഴിലുള്ള വിസ്തീർണ്ണം അല്ലെങ്കിൽ ഒരു സോളിഡ് വോളിയം കണ്ടെത്തൽ.

വ്യത്യസ്‌ത പ്രശ്‌നങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിന് നിങ്ങൾക്ക് വ്യത്യസ്ത രീതികൾ ഉപയോഗിക്കാം. ഈ രീതികളിൽ ചിലതിൽ ഡിസ്ക്, വാഷർ, ഷെൽ രീതികൾ എന്നിവ ഉൾപ്പെടുന്നു.

കൽക്കുലസിലെ ഡിസ്ക്, വാഷർ, ഷെൽ രീതികൾ എന്നിവ തമ്മിലുള്ള പ്രധാന വ്യത്യാസം, അവയെല്ലാം ഒരു കർവ് കണക്കാക്കുന്നതിന് വ്യത്യസ്ത സമീപനങ്ങൾ ഉപയോഗിക്കുന്നു എന്നതാണ്. ഡിസ്ക് രീതി ഒരു വൃത്താകൃതിയിലുള്ള പ്രദേശം ഉപയോഗിക്കുന്നു, അതേസമയം വാഷർ മുകളിൽ നിന്ന് നോക്കുമ്പോൾ ഒരു വാഷറിന്റെ ആകൃതിയിലുള്ള ഒരു പ്രദേശം ഉപയോഗിക്കുന്നു. മുകളിൽ നിന്ന് നോക്കുമ്പോൾ ഷെൽ രീതി ഒരു ഷെൽ പോലെയുള്ള ഒരു പ്രദേശം ഉപയോഗിക്കുന്നു.

നമുക്ക് ഈ രീതികളെല്ലാം വിശദമായി ചർച്ച ചെയ്യാം.

ഡിസ്ക് എന്താണ് അർത്ഥമാക്കുന്നത്. രീതി?

ഇന്റഗ്രൽ കാൽക്കുലസിന്റെ ഡിസ്ക് ഇക്വേഷൻ എന്നും അറിയപ്പെടുന്ന ഡിസ്ക് ഇന്റഗ്രേഷൻ രീതി, അതിന്റെ വിപ്ലവത്തിന് സമാന്തരമായി അച്ചുതണ്ടിൽ സംയോജിപ്പിക്കുമ്പോൾ ഓരോ വിപ്ലവത്തിനും ഖരത്തിന്റെ അളവ് കണക്കാക്കുന്നു.

ഡിസ്ക് രീതി ഉൾപ്പെടുന്നുഒബ്ജക്റ്റിനെ പല ചെറിയ ഡിസ്കുകളോ സിലിണ്ടറുകളോ ആയി വിഭജിച്ച് ഈ ചെറിയ ഡിസ്കുകളുടെ വോള്യങ്ങൾ ഒരുമിച്ച് ചേർത്ത് ഒബ്ജക്റ്റിന്റെ വോളിയം നിർണ്ണയിക്കുന്നു.

ഒരു സിലിണ്ടറിന്റെ ആരം നൽകുന്നത് f(x) എന്ന ഫംഗ്‌ഷനാണ്, അതിന്റെ ഉയരം നിർണ്ണയിക്കുന്നത് x ആണ്. x-ലെ മാറ്റം പൂജ്യത്തിൽ എത്തുകയും ഡിസ്കുകളുടെ എണ്ണം അനന്തതയിലേക്ക് വർദ്ധിക്കുകയും ചെയ്യുമ്പോൾ, നിങ്ങൾക്ക് ഒരു എസ്റ്റിമേറ്റ് എന്നതിലുപരി ഒബ്ജക്റ്റിന്റെ യഥാർത്ഥ വോള്യം ലഭിക്കും.

ഡിസ്ക് ഇന്റഗ്രേഷൻ രീതിയിലൂടെ വോളിയം കണക്കാക്കുന്നതിനുള്ള സൂത്രവാക്യം ഇപ്രകാരമാണ്:

	=	ഫങ്ഷനും ഭ്രമണത്തിന്റെ അക്ഷവും തമ്മിലുള്ള ദൂരം
	=	ഉയർന്ന പരിധി
	=	കുറഞ്ഞ പരിധി
	=	സ്ലൈഡുകൾ x

എന്താണ് വാഷർ രീതി കൊണ്ട് ഉദ്ദേശിക്കുന്നത്?

ഒരു ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യം പരിഹരിക്കാനുള്ള ഒരു മാർഗമാണ് വാഷർ രീതി. ഇത് എങ്ങനെ പ്രവർത്തിക്കുന്നു എന്നതിന് ഒരു വാഷറിനെ ഒരു സാദൃശ്യമായി ഉപയോഗിക്കുന്നതിനാൽ ഇതിനെ വാഷർ രീതി എന്ന് വിളിക്കുന്നു.

ഒരു അജ്ഞാത ഫംഗ്‌ഷൻ തുടർച്ചയായി അല്ലെങ്കിലും, സമയം കടന്നുപോകുമ്പോൾ എങ്ങനെ മാറുന്നുവെന്ന് ഒരു ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യം വിവരിക്കുന്നു. കാലക്രമേണ മാറുന്ന തരംഗങ്ങളോ മറ്റ് പ്രക്രിയകളോ പോലെയുള്ള കാര്യങ്ങളെ മാതൃകയാക്കാൻ ഇത് പലപ്പോഴും ഉപയോഗിക്കാറുണ്ട്, പക്ഷേ സുഗമമായ രീതിയിൽ ആയിരിക്കണമെന്നില്ല.

y(t) പരിഹരിക്കാൻ, സാധ്യമായ എല്ലാ മൂല്യങ്ങൾക്കും നിങ്ങൾ y(t) കണ്ടെത്തേണ്ടതുണ്ട്. ടിയുടെ. എന്നിരുന്നാലും, അനന്തമായ പരിഹാരങ്ങൾ ഉള്ളതിനാൽ ഇത് ബുദ്ധിമുട്ടുള്ളതും സമയമെടുക്കുന്നതുമാണ്. പരിഹാരങ്ങൾ കണ്ടെത്താൻ വാഷർ രീതി നിങ്ങളെ സഹായിക്കുന്നുകൃത്യമായ മൂല്യങ്ങൾക്ക് പകരം ഏകദേശ കണക്കുകൾ ഉപയോഗിക്കുന്നു.

• നിങ്ങളുടെ പരിഹാരം എങ്ങനെയായിരിക്കുമെന്നതിന്റെ പ്രാഥമിക ഊഹത്തോടെയാണ് ഇത് ആരംഭിക്കുന്നത്: y(t) = f(t).
• അപ്പോൾ ഈ ഊഹത്തിനും എന്താണ് സംഭവിക്കുന്നത് എന്നതും തമ്മിലുള്ള പിശക് നിങ്ങൾ കണ്ടെത്തും: e(t).
• നിങ്ങളുടെ ഊഹം അപ്‌ഡേറ്റ് ചെയ്യാൻ നിങ്ങൾ ഈ പിശക് പദം ഉപയോഗിക്കുന്നു: f'(t) = f* 2 – 2 f*e + c, ഇവിടെ c ആണ് അനിയന്ത്രിതമായ സ്ഥിരാങ്കം (നിങ്ങൾ തിരഞ്ഞെടുക്കുന്ന മൂല്യം പ്രശ്നമല്ല).
• പിന്നീട് എപ്സിലോണിനെക്കാൾ പിശക് ചെറുതാകുന്നത് വരെ പ്രക്രിയ ആവർത്തിക്കുക.

എന്താണ് ഷെൽ രീതി കൊണ്ട് ഉദ്ദേശിക്കുന്നത്?

കൽക്കുലസിൽ, കേന്ദ്രീകൃത ഷെല്ലുകളുടെ ഒരു ശ്രേണി ഉപയോഗിച്ച് ഒരു ഖരത്തിന്റെ അളവ് കണ്ടെത്തുന്നതിനുള്ള ഒരു സാങ്കേതികതയാണ് ഷെൽ രീതി. വോള്യങ്ങൾ അറിയാവുന്ന ലളിതമായ ആകൃതികളിലേക്ക് എളുപ്പത്തിൽ വിഭജിക്കാൻ കഴിയാത്ത ക്രമരഹിതമായ ആകൃതിയിലുള്ള സോളിഡിന്റെ അളവ് കണ്ടെത്താൻ ഇത് പലപ്പോഴും ഉപയോഗിക്കുന്നു.

ഷെൽ രീതി ആകൃതിയെ പല നേർത്ത കഷ്ണങ്ങളാക്കി വിഭജിക്കുകയും പിന്നീട് അവയുടെ എല്ലാ വോള്യങ്ങളും സംഗ്രഹിക്കുകയും ചെയ്യുന്നു. സ്ലൈസുകളെ ഷെല്ലുകളായി കണക്കാക്കാം, അതിനാൽ “ഷെൽ രീതി.”

ഓരോ ഉപഇന്റർവെലിന്റെയും മധ്യബിന്ദുവിന് പകരം ഒരു പോയിന്റ് ഷെല്ലിന്റെ കേന്ദ്രമായി തിരഞ്ഞെടുത്ത് ഷെൽ രീതി മറ്റ് രീതികളിൽ നിന്ന് വ്യത്യസ്തമാണ്. ഇത് മറ്റ് രീതികളെ അപേക്ഷിച്ച് കൂടുതൽ കൃത്യമായ ഏകദേശങ്ങൾക്ക് കാരണമാകുന്നു, എന്നാൽ ഉപയോക്താവിന്റെ അവസാനം കൂടുതൽ ജോലി ആവശ്യമാണ്.

വ്യത്യാസം അറിയുക

ഷെൽ, വാഷർ, ഡിസ്ക് രീതികൾ എന്നിവയെല്ലാം ഉൾപ്പെടുന്ന കാൽക്കുലസ് പ്രശ്നങ്ങൾ പരിഹരിക്കാനുള്ള വഴികളാണ്സംയോജനം.

ഷെൽ രീതിയിൽ ഒരു വാർഷികത്തിന്റെ അളവ് കണ്ടെത്തുന്നത് ഉൾപ്പെടുന്നു, അതേസമയം ഡിസ്ക് രീതി ഒരു ഫംഗ്ഷന്റെ വക്രത്തിന് കീഴിലുള്ള പ്രദേശം കണ്ടെത്തുന്നത് ഉൾപ്പെടുന്നു. ഒരു വാഷർ രീതി ഒരു ഷെൽ രീതിക്ക് സമാനമാണ്, എന്നാൽ ഒരു വാർഷികത്തിന്റെ അളവ് കണ്ടെത്താൻ ഇത് മറ്റൊരു സാങ്കേതികത ഉപയോഗിക്കുന്നു.

ഷെൽ രീതി

ശെൽ രീതിയാണ് വോളിയം കണക്കാക്കാൻ ഉപയോഗിക്കുന്നത്. ഖരത്തിൽ നിന്ന് മുറിച്ച അനന്തമായ നേർത്ത ഷെല്ലുകളുടെ വോള്യങ്ങൾ സംഗ്രഹിച്ചുകൊണ്ട് നിർദ്ദിഷ്ട ക്രോസ്-സെക്ഷനോടുകൂടിയ ഒരു ഖര വിപ്ലവത്തിന്റെ. ക്രോസ്-സെക്ഷന് സ്ഥിരമായ കനം ഉള്ളപ്പോൾ മാത്രമേ ഷെൽ രീതി സാധുതയുള്ളൂ, അതിനാൽ ക്രമരഹിതമായ ആകൃതിയിലുള്ള വസ്തുവിന്റെ അളവ് കണ്ടെത്താൻ ഇത് ഉപയോഗിക്കാനാവില്ല.

വാഷർ രീതി

വാഷർ രീതി സമാനമാണ്. ഖരത്തിൽ നിന്ന് അനന്തമായ എണ്ണം നേർത്ത ഷെല്ലുകൾ മുറിക്കുന്നതിനുപകരം, നിങ്ങൾ അതിൽ നിന്ന് ഒരു കട്ടിയുള്ള ഷെൽ മാത്രം മുറിച്ച് (സ്ഥിരമായ കനം ഉള്ളത്) തുടർന്ന് സ്ഥിരമായ വീതിയുള്ള ചെറിയ കഷണങ്ങളായി വിഭജിക്കുക എന്നതൊഴിച്ചാൽ ഷെൽ രീതിയിലേക്ക്.

ഡിസ്ക് രീതി

വ്യത്യസ്‌ത ദൂരങ്ങളുള്ള സർക്കിളുകളുടെ ഒരു ശ്രേണിയും അവയുടെ കേന്ദ്രങ്ങളിലൂടെ കടന്നുപോകുന്ന അച്ചുതണ്ടിന് ചുറ്റും വ്യത്യസ്ത കോണീയ സ്ഥാനങ്ങളും വരയ്ക്കുന്നതാണ് ഡിസ്ക് രീതി; ഈ സർക്കിളുകൾ പരസ്പരം ചുറ്റളവിൽ കിടക്കുന്ന പോയിന്റുകളിൽ വിഭജിക്കുന്നു-മറ്റൊരു വിധത്തിൽ പറഞ്ഞാൽ, അവ ഓവർലാപ്പ് ചെയ്യുന്നു-ഒരു വൃത്തത്തിന്റെ ചുറ്റളവിന്റെ ഭാഗങ്ങളെ പ്രതിനിധീകരിക്കുന്ന സെക്ടറുകൾ രൂപപ്പെടുത്തുന്നു.

ഓരോ ദൂരവും നിങ്ങളുടെ ഒബ്‌ജക്‌റ്റിന് ചുറ്റും എത്ര തവണ യോജിക്കും എന്നതിന്റെ ഏകദേശ കണക്ക് ലഭിക്കാൻ ഈ സെക്ടറുകൾ കൂട്ടിച്ചേർക്കുംഓവർലാപ്പുകൾക്ക് മുമ്പുള്ള ചുറ്റളവ് അവയ്‌ക്കിടയിൽ വീണ്ടും ഒരേ അക്ഷങ്ങളിൽ അവയുടെ ഇനിപ്പറയുന്ന കവലകളിൽ സംഭവിക്കുന്നു.

പട്ടിക നിങ്ങൾക്ക് സംഗ്രഹിച്ച രൂപത്തിൽ മൂന്ന് രീതികൾ തമ്മിലുള്ള വ്യത്യാസം നൽകുന്നു.

മൂന്ന് രീതികളും വിശദീകരിക്കുന്ന ഒരു വീഡിയോ ക്ലിപ്പ് ഇതാ.

നിങ്ങൾ എപ്പോൾ വാഷർ രീതി ഉപയോഗിക്കണം അല്ലെങ്കിൽ ഷെൽ രീതി?

ഒരു സിലിണ്ടറിന്റെ ഉപരിതല വിസ്തീർണ്ണം കണക്കാക്കുന്നതിന് നിരവധി രീതികൾ നിലവിലുണ്ട്. ഷെൽ രീതി അവയിലൊന്നാണ്, എന്നാൽ ഇത് എല്ലായ്‌പ്പോഴും ഏറ്റവും കാര്യക്ഷമമോ കൃത്യമോ ആയ മാർഗമല്ല.

വാഷർ രീതി യഥാർത്ഥത്തിൽ ഒരു രീതിയല്ല—“നിങ്ങൾ ഇത് ചെയ്യുമ്പോൾ എന്താണ് ശേഷിക്കുന്നത് മറ്റൊരു കാര്യം?" സിലിണ്ടറിനുള്ളിൽ എന്താണ് സംഭവിക്കുന്നതെന്ന് നിങ്ങളോട് ഒന്നും പറയുന്നില്ല; പുറമെയുള്ള കാര്യങ്ങൾ മാത്രം.

അപ്പോൾ നിങ്ങൾ ഏതാണ് ഉപയോഗിക്കേണ്ടത്? ഇത് നിങ്ങൾ അളക്കാൻ ശ്രമിക്കുന്നതിനെ ആശ്രയിച്ചിരിക്കുന്നു!

നിങ്ങൾക്ക് എത്രയെന്ന് അറിയണമെങ്കിൽനിങ്ങളുടെ ചുവരുകൾക്ക് പെയിന്റ് ആവശ്യമായി വരും, കൂടുതൽ ഡാറ്റ പോയിന്റുകൾ ഉപയോഗിക്കുന്നതിനാൽ വാഷർ രീതിയേക്കാൾ മികച്ച ഫലങ്ങൾ ഷെൽ രീതി നിങ്ങൾക്ക് നൽകും. എന്നാൽ നിങ്ങളുടെ ടയറുകൾക്ക് എത്ര റബ്ബർ ആവശ്യമാണെന്ന് അളക്കാൻ നിങ്ങൾ ശ്രമിക്കുകയാണെങ്കിൽ, കുറച്ച് ഡാറ്റ പോയിന്റുകൾ ഉപയോഗിക്കുന്നതിനാൽ വാഷർ രീതി നന്നായി പ്രവർത്തിക്കും.

ഇത് ഒരു ഡിസ്കാണോ വാഷറാണോ എന്ന് നിങ്ങൾക്ക് എങ്ങനെ അറിയാം?

ഒരു വാഷറും ഡിസ്കും തമ്മിലുള്ള വ്യത്യാസം അവയുടെ ഭ്രമണ സമമിതിയുടെ അളവിലാണ്. ഒരു ഡിസ്കിന് സമമിതിയുടെ അച്ചുതണ്ടില്ല, അതിനാൽ അത് ഏത് കോണിലൂടെയും തിരിക്കുകയും അതേപോലെ ദൃശ്യമാകുകയും ചെയ്യാം. എന്നിരുന്നാലും, ഒരു വാഷറിന് സമമിതിയുടെ ഒരു അച്ചുതണ്ട് ഉണ്ട് - ഒബ്‌ജക്റ്റിന്റെ രണ്ട് ഭാഗങ്ങളെ വിന്യസിക്കുന്ന ഒരു രേഖ.

കാൽക്കുലസിൽ, ഇനിപ്പറയുന്ന സമവാക്യം ഉപയോഗിച്ച് നിങ്ങൾക്ക് ഒരു ഡിസ്കും വാഷറും തമ്മിലുള്ള വ്യത്യാസം മനസ്സിലാക്കാൻ കഴിയും:

ഡിസ്ക്: (വ്യാസം)2 – (റേഡിയസ്)2 = ഡിസ്കിന്റെ വിസ്തീർണ്ണം

വാഷർ: (വ്യാസം)2 < (റേഡിയസ്)2

അന്തിമ ചിന്തകൾ

• കൽക്കുലസിലെ ഡിസ്‌ക്, വാഷർ, ഷെൽ രീതികൾ എന്നിവ തമ്മിലുള്ള പ്രധാന വ്യത്യാസം, അവയ്‌ക്ക് ഓരോന്നിനും ഒരേ പ്രശ്‌നത്തിന് വ്യത്യസ്‌ത ഫലങ്ങൾ ഉണ്ട് എന്നതാണ്.
• ഒരു വക്രത്തിന് കീഴിലുള്ള പ്രദേശത്തെ ഭാഗങ്ങളായി വിഭജിച്ച് അവയുടെ ഏരിയകൾ കൂട്ടിച്ചേർത്ത് കണ്ടെത്തുന്നത് ഡിസ്ക് രീതിയാണ്. നിരവധി വളവുകളുള്ള ഫംഗ്‌ഷനുകൾക്ക് ഈ രീതി നന്നായി പ്രവർത്തിക്കുന്നു, എന്നാൽ കുറച്ച് വളവുകൾ ഉണ്ടെങ്കിൽ അത് നന്നായിരിക്കും.
• വാഷർ രീതിയിൽ ഒരു വക്രത്തിന് കീഴിലുള്ള പ്രദേശത്തെ ഭാഗങ്ങളായി വിഭജിച്ച് അവയുടെ ചുറ്റളവുകൾ ചേർക്കുന്നത് ഉൾപ്പെടുന്നു. വളരെ കുറച്ച് വളവുകളുള്ള ഫംഗ്‌ഷനുകൾക്ക് ഈ രീതി നന്നായി പ്രവർത്തിക്കുന്നു, എന്നാൽ അവിടെയുള്ളപ്പോൾ അത്ര മികച്ചതല്ലകൂടുതൽ വളവുകളാണ്.
• ഓരോ വളവിന്റെയും ഉയരം അതിന്റെ വീതി കൊണ്ട് ഗുണിച്ച് അതിന്റെ വിസ്തീർണ്ണം കണക്കാക്കുന്നതാണ് ഷെൽ രീതി. നിങ്ങൾക്ക് ഒരു ഏകദേശ കണക്ക് വേഗത്തിൽ ലഭിക്കേണ്ടിവരുമ്പോൾ ഈ രീതി നന്നായി പ്രവർത്തിക്കുന്നു, എന്നാൽ കൃത്യമായ ഉത്തരം ലഭിക്കാൻ ശ്രമിക്കുമ്പോൾ അത് നന്നായി പ്രവർത്തിക്കില്ല.

അനുബന്ധ ലേഖനങ്ങൾ