Calculus is een wiskundig gebied dat zich bezighoudt met de studie van verandering. Het behoort tot de meest uitdagende en abstracte gebieden in de moderne wiskunde en wordt gebruikt in bijna elke wetenschap, techniek en het bedrijfsleven.

Calculus helpt ons bij het modelleren van situaties met veranderingssnelheden, zoals snelheid of versnelling. Dit worden vaak "differentiaalvergelijkingen" genoemd. Met calculus kunnen we ook problemen oplossen waarbij limieten een rol spelen: bijvoorbeeld het vinden van de oppervlakte onder een kromme of het volume van een vaste stof.

U kunt verschillende methoden gebruiken om verschillende problemen op te lossen. Enkele van deze methoden zijn de schijf-, wasmachine-, en shell-methoden.

Het belangrijkste verschil tussen de schijf-, ring- en schaalmethode in calculus is dat ze allemaal verschillende benaderingen gebruiken om een kromme te benaderen. De schijfmethode gebruikt een cirkelvormig gebied rond een benadering van de kromme, terwijl de ring een gebied in de vorm van een ring van bovenaf gebruikt. De schaalmethode gebruikt een gebied in de vorm van een schaal van bovenaf gezien.

Laten we al deze methoden in detail bespreken.

Wat wordt bedoeld met de Schijfmethode?

De schijfintegratiemethode, ook bekend als de schijfvergelijking van integraalrekening, berekent het volume van een vaste stof per omwenteling wanneer deze wordt geïntegreerd langs de as die evenwijdig is aan de omwenteling.

Bij de schijfmethode wordt een object verdeeld in vele kleine schijven of cilinders en worden de volumes van deze kleine schijven bij elkaar opgeteld om het volume van het object te bepalen.

De straal van een cilinder wordt gegeven door een functie f(x), en de hoogte wordt bepaald door x. Wanneer de verandering in x nul wordt en het aantal schijven tot oneindig toeneemt, heb je het werkelijke volume van het object in plaats van een schatting.

De formule voor het berekenen van het volume via de schijfintegratiemethode is als volgt:

	=	afstand tussen de functie en de draaias
	=	bovengrens
	=	ondergrens
	=	glijdt langs x

Wat wordt bedoeld met de wasmachine-methode?

De wasmachine-methode is een manier om een differentiaalvergelijking op te lossen. Het heet de wasmachine-methode omdat het een wasmachine gebruikt als analogie voor hoe het werkt.

Een differentiaalvergelijking beschrijft hoe een onbekende functie verandert als de tijd verstrijkt, zelfs als die niet continu is. Ze wordt vaak gebruikt om dingen te modelleren zoals golven of andere processen die in de tijd veranderen, maar niet noodzakelijkerwijs op een vloeiende manier.

Om y(t) op te lossen, moet je y(t) vinden voor alle mogelijke waarden van t. Dit kan echter moeilijk en tijdrovend zijn, omdat er oneindig veel oplossingen zijn. De Washermethode helpt je oplossingen te vinden met behulp van benaderingen in plaats van exacte waarden.

• Het begint met een eerste schatting van hoe je oplossing eruit zou kunnen zien: y(t) = f(t).
• Dan vind je de fout tussen deze gok en wat er gebeurt: e(t).
• Vervolgens gebruik je deze foutterm om je gok bij te werken: f'(t) = f* 2 - 2 f*e + c, waarbij c een willekeurige constante is (het maakt niet uit welke waarde je kiest).
• Herhaal vervolgens het proces totdat de fout kleiner wordt dan epsilon.

Wat wordt bedoeld met de schelpmethode?

In de calculus is de shell methode een techniek om het volume van een vaste stof te vinden door het te benaderen met een serie concentrische schalen. Het wordt vaak gebruikt om het volume te vinden van een onregelmatig gevormde vaste stof die niet gemakkelijk kan worden opgedeeld in eenvoudige vormen waarvan de volumes bekend zijn.

De schelpmethode verdeelt de vorm in vele dunne plakjes en telt dan al hun volumes op. De plakjes kunnen worden beschouwd als schelpen, vandaar de "schelpmethode".

De schaalmethode verschilt van andere methoden doordat een punt als middelpunt van de schaal wordt gekozen in plaats van het midden van elk subinterval als middelpunt. Dit resulteert in nauwkeuriger benaderingen dan andere methoden, maar vergt meer werk van de gebruiker.

Ken het verschil

Schelp-, ring- en schijfmethoden zijn allemaal manieren om rekenproblemen met integratie op te lossen.

Bij de schaalmethode wordt het volume van een annulus gevonden, terwijl bij de schijfmethode de oppervlakte onder de kromme van een functie wordt gevonden. De ringmethode lijkt op de schaalmethode, maar gebruikt een andere techniek om het volume van een annulus te vinden.

Schelpmethode

De shell-methode wordt gebruikt om het volume van een vaste stof in omwenteling met een bepaalde doorsnede te benaderen door de volumes van een oneindig aantal dunne schalen die uit de vaste stof zijn gesneden, bij elkaar op te tellen. De shell-methode is alleen geldig als de doorsnede een constante dikte heeft, en kan dus niet worden gebruikt om het volume van een onregelmatig gevormd voorwerp te vinden.

Wasmachine methode

De ringmethode is vergelijkbaar met de schelpmethode, behalve dat je in plaats van een oneindig aantal dunne schelpen uit de vaste stof te snijden, er slechts één dikke schelp uitsnijdt (die een constante dikte heeft) en deze vervolgens verdeelt in kleinere stukken met een constante breedte.

Schijfmethode

Bij de schijfmethode wordt een reeks cirkels met verschillende stralen en verschillende hoekposities getrokken rond een as die door hun middelpunt loopt; deze cirkels snijden elkaar op punten die op elkaars omtrek moeten liggen - met andere woorden, ze overlappen elkaar - om sectoren te vormen die delen van de omtrek van een cirkel voorstellen.

Deze sectoren worden dan opgeteld om een benadering te krijgen van het aantal keren dat elke straal rond de omtrek van je object past, voordat ze elkaar weer overlappen op hun volgende snijpunten langs diezelfde assen.

De tabel geeft het verschil tussen de drie methoden samengevat weer.

Hier is een videoclip waarin alle drie de methoden worden uitgelegd.

Wanneer moet u de wasmethode of de schelpmethode gebruiken?

Er bestaan verschillende methoden om de oppervlakte van een cilinder te berekenen. De schaalmethode is er één van, maar het is niet altijd de meest efficiënte of nauwkeurige manier.

De wasmachine-methode is niet echt een methode - het is gewoon een andere manier om te zeggen: "Wat blijft er over als je dit andere doet?" Het vertelt je niets over wat er in de cilinder gebeurt; alleen wat erbuiten valt is van belang.

Dus welke moet je gebruiken? Dat hangt af van wat je probeert te meten!

Als u wilt weten hoeveel verf er voor uw muren nodig is, zal de schaalmethode betere resultaten opleveren dan de wasmethode, omdat deze meer datapunten gebruikt. Maar als u probeert te meten hoeveel rubber uw banden nodig hebben, zal de wasmethode beter werken omdat deze minder datapunten gebruikt.

Hoe weet je of het een schijf of een wasmachine is?

Het verschil tussen een sluitring en een schijf ligt in hun mate van draaisymmetrie. Een schijf heeft geen symmetrieas, dus hij kan onder elke hoek worden gedraaid en er hetzelfde uitzien. Een sluitring daarentegen heeft een symmetrieas - een lijn die de twee helften van het voorwerp op één lijn brengt.

In calculus kun je het verschil tussen een schijf en een ring zien met de volgende vergelijking:

Schijf: (diameter)2 - (straal)2 = oppervlakte van de schijf

Sluitring: (diameter)2 <(straal)2

Laatste gedachten

• Het belangrijkste verschil tussen de schijf-, ring- en schelpmethode in calculus is dat ze elk verschillende resultaten hebben voor hetzelfde probleem.
• De schijfmethode houdt in dat de oppervlakte onder een kromme wordt gevonden door deze in secties te verdelen en de oppervlakten ervan op te tellen. Deze methode werkt goed voor functies met veel krommen, maar minder goed als er minder krommen zijn.
• De wasmachine-methode houdt in dat de oppervlakte onder een kromme in secties wordt verdeeld en de omtrek ervan wordt opgeteld. Deze methode werkt goed voor functies met weinig krommen, maar niet zo goed als er meer krommen zijn.
• De schaalmethode houdt in dat de hoogte van elke kromme wordt vermenigvuldigd met de breedte om de oppervlakte ervan te benaderen. Deze methode werkt goed als je snel een benadering nodig hebt, maar werkt niet bijzonder goed als je een exact antwoord probeert te krijgen.

Verwante artikelen