微積分は、変化の研究を扱う数学の分野であり、現代数学の中で最も困難で抽象的な分野の一つであり、ほとんどすべての科学、工学、およびビジネス分野で使用されています。

微積分は、速度や加速度などの変化率がある状況をモデル化するのに役立ちます。 これらはしばしば「微分方程式」と呼ばれます。また、微積分は、曲線の下の面積や立体の体積を求めるなど、限界を伴う問題を解くことができます。

ディスク方式、ワッシャ方式、シェル方式など、さまざまな方式で問題を解決することができます。

微積分の円盤法、ワッシャ法、シェル法の大きな違いは、曲線の近似の仕方が違うことです。 円盤法は曲線の近似を円形で囲み、ワッシャ法は上から見てワッシャのような形の領域を使います。 シェル法は上から見て貝のような形の領域を使います。

それでは、これらの方法について詳しく説明します。

ディスク方式とはどういうものか？

円盤積分法は、積分微積分の円盤方程式とも呼ばれ、固体の回転に平行な軸に沿って積分すると、1回転あたりの体積が算出されます。

ディスク法は、物体を多数の小さな円盤や円筒に分割し、それらの体積を足し合わせて物体の体積を決定する方法です。

円柱の半径は関数f(x)で与えられ、高さはxで決まる。xの変化がゼロになり、円盤の数が無限大に増えると、推定値ではなく実際の体積がわかるようになる。

ディスク積分法による体積の計算式は、以下の通りです：

	=	機能から回転軸までの距離
	=	上限
	=	下限
	=	に沿って滑る

ウォッシャー方式とはどういうものか？

ワッシャー・メソッドとは、微分方程式の解法の一つで、その仕組みを洗濯機に例えていることからワッシャー・メソッドと呼ばれています。

微分方程式は、未知の関数が時間の経過とともにどのように変化するかを記述するもので、波のような、必ずしも滑らかではない時間の経過とともに変化するプロセスをモデル化するためによく使われる。

y(t)を解くには、考えられるすべてのtの値についてy(t)を求める必要がありますが、解が無限に存在するため、困難で時間がかかります。 ワッシャー法は、正確な値ではなく、近似値を使って解を求めることを支援します。

• y(t)=f(t)という解答を最初に推測するところから始まります。
• そして、この推測と実際に起こることとの誤差、すなわちe(t)を求めます。
• そして、このエラータームを使って、推測を更新するのです： f'(t) = f* 2 - 2 f*e + c、 ここで、cは任意の定数です（どのような値を選んでもかまいません）。
• そして、誤差がεより小さくなるまで、この作業を繰り返す。

シェルメソッドの意味するところ

微積分学において、シェル法とは、同心円状のシェルで近似して立体の体積を求める手法で、体積がわかっている単純な形に簡単に分割できない不規則な形の立体の体積を求めるときによく使われる。

シェル法は、図形を薄くスライスして、その体積をすべて合計する方法です。 スライスをシェルとみなすことができるので、「シェル法」と呼ばれます。

シェル法は、他の方法と異なり、各サブ区間の中点を中心とするのではなく、シェルの中心となる点を選択する。 これにより、他の方法よりも正確な近似値が得られるが、ユーザー側での作業が必要になる。

違いを知る

シェル法、ワッシャ法、ディスク法は、いずれも積分を伴う微積分問題の解法である。

シェル法は環状体の体積を、ディスク法は関数の曲線下の面積を求めます。 ワッシャー法はシェル法と似ていますが、環状体の体積を求める手法が異なります。

シェル方式

シェル法は、指定された断面を持つ回転中の固体の体積を、その固体から切り出した無限の薄いシェルの体積を合計することで近似する方法です。 シェル法は断面の厚さが一定の場合にのみ有効なので、不定形の物体の体積を求めるには使えません。

ウォッシャー方式

ワッシャ法とは、固体から薄い殻を無限に切り出すのではなく、厚い殻（厚さが一定）を1つだけ切り出し、それを一定の幅で小片に分割することを除いて、シェル法に似ている。

ディスク方式

ディスク法は、中心を通る軸の周りに、半径や角度位置の異なる円をいくつも描き、それらの円が互いの外周に重なるように交わることで、円周の一部を表すセクタを形成する方法である。

そして、これらのセクタを加算することで、各半径がオブジェクトの外周に何回収まるかを概算し、同じ軸に沿った次の交点で再び重なりが発生するようにします。

表は、3つの方法の違いをまとめたものです。

ここでは、3つの方法について解説したビデオクリップを紹介します。

ウォッシャー方式とシェル方式、どちらを使うべき？

円柱の表面積を計算する方法はいくつかあり、シェル法もその一つですが、必ずしも最も効率的で正確な方法とは言えません。

ワッシャー・メソッドはメソッドというより、「他のことをすると何が残るのか」という言い方に過ぎません。

では、どちらを使うべきかというと、何を測定しようとしているかによります！

壁に塗るペンキの量を知りたい場合は、シェル法の方がデータ数が多いので、ワッシャー法よりも良い結果が得られます。 しかし、タイヤに必要なゴムの量を測る場合は、ワッシャー法の方がデータ数が少ないので、より良い結果が得られます。

ディスクかウォッシャーか、どう判断する？

ワッシャとディスクの違いは、回転対称の度合いにあります。 ディスクには対称軸がないため、どの角度から回転させても同じように見えます。 しかし、ワッシャには対称軸があり、それは物体の半分を揃える線となります。

微積分では、次の式でディスクとワッシャーの違いを知ることができます：

円盤：（直径）2-（半径）2＝円盤の面積

ワッシャ：（直径）2 <（半径）2

最終的な感想

• 微積分におけるディスク法、ワッシャ法、シェル法の主な違いは、同じ問題に対してそれぞれ異なる結果が得られることである。
• 円盤法は、曲線を分割してその面積を足し合わせて、曲線下の面積を求める方法です。 この方法は、曲線が多い関数には有効ですが、曲線が少ない場合には有効ではありません。
• ワッシャ法とは、曲線下の面積を分割し、その外周を加算する方法です。 この方法は、曲線が少ない関数には有効ですが、曲線が多い場合にはあまり有効ではありません。
• シェル法は、曲線の高さと幅を掛け合わせて面積を求める方法です。 この方法は、近似値を早く求める場合には有効ですが、正確な答えを求める場合には、特に有効ではありません。

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