ডিস্ক পদ্ধতি, ধোয়ার পদ্ধতি এবং শেল পদ্ধতির মধ্যে পার্থক্য জানুন (ক্যালকুলাসে) - সমস্ত পার্থক্য
সুচিপত্র
ক্যালকুলাস একটি গাণিতিক ক্ষেত্র যা পরিবর্তনের অধ্যয়ন নিয়ে কাজ করে। এটি আধুনিক গণিতের সবচেয়ে চ্যালেঞ্জিং এবং বিমূর্ত ক্ষেত্রগুলির মধ্যে একটি এবং এটি প্রায় প্রতিটি বিজ্ঞান, প্রকৌশল এবং ব্যবসায়িক ক্ষেত্রে ব্যবহৃত হয়৷
ক্যালকুলাস আমাদের এমন পরিস্থিতিতে মডেল করতে সাহায্য করে যেখানে আমাদের পরিবর্তনের হার রয়েছে, যেমন বেগ বা ত্বরণ৷ এগুলিকে প্রায়শই "ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ" বলা হয়। ক্যালকুলাস আমাদের সীমাবদ্ধ সমস্যাগুলি সমাধান করতে দেয়: উদাহরণস্বরূপ, একটি বক্ররেখার নীচে ক্ষেত্রফল বা কঠিনের আয়তন খুঁজে বের করা৷
বিভিন্ন সমস্যা সমাধানের জন্য আপনি বিভিন্ন পদ্ধতি ব্যবহার করতে পারেন৷ এই পদ্ধতিগুলির মধ্যে কয়েকটির মধ্যে রয়েছে ডিস্ক, ওয়াশার এবং শেল পদ্ধতি।
ক্যালকুলাসে ডিস্ক, ওয়াশার এবং শেল পদ্ধতির মধ্যে প্রধান পার্থক্য হল যে তারা সকলেই একটি বক্ররেখা আনুমানিক করার জন্য বিভিন্ন পদ্ধতি ব্যবহার করে। ডিস্ক পদ্ধতিটি বক্ররেখার আনুমানিক চারপাশে একটি বৃত্তাকার অঞ্চল ব্যবহার করে, যখন ওয়াশারটি উপরে থেকে দেখা হলে একটি ওয়াশারের মতো আকৃতির একটি অঞ্চল ব্যবহার করে। উপর থেকে দেখা হলে শেল পদ্ধতিটি একটি শেলের আকৃতির একটি অঞ্চল ব্যবহার করে৷
আসুন এই সমস্ত পদ্ধতিগুলি নিয়ে বিস্তারিত আলোচনা করা যাক৷
ডিস্ক বলতে কী বোঝায়৷ পদ্ধতি?
ডিস্ক ইন্টিগ্রেশন পদ্ধতি, যা ইন্টিগ্রাল ক্যালকুলাস ডিস্ক সমীকরণ নামেও পরিচিত, এটির বিপ্লবের সমান্তরাল অক্ষ বরাবর একত্রিত হলে প্রতি বিপ্লবের ঘনত্বের আয়তন গণনা করে।
ক্যালকুলাস বোঝা বেশ জটিল।ডিস্ক পদ্ধতির সাথে জড়িতএকটি বস্তুকে অনেকগুলি ছোট ডিস্ক বা সিলিন্ডারে ভাগ করা এবং তারপরে এই ছোট ডিস্কগুলির ভলিউমগুলিকে একসাথে যুক্ত করে বস্তুর আয়তন নির্ধারণ করা।
একটি সিলিন্ডারের ব্যাসার্ধ একটি ফাংশন f(x) দ্বারা দেওয়া হয় এবং এর উচ্চতা x দ্বারা নির্ধারিত হয়। যখন x-এর পরিবর্তন শূন্যে পৌঁছায় এবং ডিস্কের সংখ্যা অসীমে বৃদ্ধি পায়, তখন আপনার কাছে একটি অনুমানের পরিবর্তে বস্তুর প্রকৃত ভলিউম থাকবে।
ডিস্ক ইন্টিগ্রেশন পদ্ধতির মাধ্যমে ভলিউম গণনা করার সূত্রটি নিম্নরূপ:
 | = | ফাংশন এবং ঘূর্ণনের অক্ষের মধ্যে দূরত্ব |
 | = | উর্ধ্ব সীমা |
 | = | নিম্ন সীমা |
 | = | x বরাবর স্লাইড |
ধোয়ার পদ্ধতি বলতে কী বোঝায়?
ওয়াশার পদ্ধতি একটি ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ সমাধান করার একটি উপায়। এটিকে ওয়াশার পদ্ধতি বলা হয় কারণ এটি কীভাবে কাজ করে তার সাদৃশ্য হিসাবে এটি একটি ওয়াশার ব্যবহার করে৷
একটি ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ বর্ণনা করে যে কীভাবে একটি অজানা ফাংশন সময়ের সাথে সাথে পরিবর্তিত হয়, এমনকি এটি ক্রমাগত না হলেও৷ এটি প্রায়শই তরঙ্গ বা সময়ের সাথে পরিবর্তিত অন্যান্য প্রক্রিয়ার মতো জিনিসগুলির মডেল করতে ব্যবহৃত হয়, কিন্তু অগত্যা একটি মসৃণ উপায়ে নয়৷
y(t) সমাধান করতে, আপনাকে সমস্ত সম্ভাব্য মানগুলির জন্য y(t) খুঁজে বের করতে হবে টি. যাইহোক, এটি কঠিন এবং সময়সাপেক্ষ হতে পারে কারণ অসীম সমাধান রয়েছে। ধোয়ার পদ্ধতি আপনাকে সমাধান খুঁজে পেতে সাহায্য করেসঠিক মানের পরিবর্তে অনুমান ব্যবহার করে৷
- এটি আপনার সমাধানটি কেমন হতে পারে তার প্রাথমিক অনুমান দিয়ে শুরু হয়: y(t) = f(t)৷
- তাহলে আপনি এই অনুমান এবং যা ঘটে তার মধ্যে ত্রুটি খুঁজে পাবেন: e(t)।
- আপনি তারপর আপনার অনুমান আপডেট করতে এই ত্রুটি শব্দটি ব্যবহার করুন: f'(t) = f* 2 – 2 f*e + c, যেখানে c একটি নির্বিচারে ধ্রুবক (আপনি কোন মানটি চয়ন করেন তা বিবেচ্য নয়)।
- তারপর প্রক্রিয়াটি পুনরাবৃত্তি করুন যতক্ষণ না ত্রুটিটি এপসিলনের চেয়ে ছোট হয়ে যায়।
শেল পদ্ধতি বলতে কী বোঝায়?
ক্যালকুলাসে, শেল পদ্ধতি হল একটি ঘনকেন্দ্রিক শেলগুলির একটি সিরিজের সাহায্যে একটি কঠিনের আয়তন খুঁজে বের করার একটি কৌশল। এটি প্রায়শই একটি অনিয়মিত আকারের কঠিন পদার্থের আয়তন খুঁজে পেতে ব্যবহৃত হয় যা সহজে সহজে বিভক্ত করা যায় না যার জন্য ভলিউমগুলি পরিচিত।
আপনি আপনার ব্যবহারিক জীবনে ক্যালকুলাস ব্যবহার করতে পারেন৷শেল পদ্ধতিটি আকৃতিটিকে অনেকগুলি পাতলা স্লাইসে বিভক্ত করে এবং তারপরে তাদের সমস্ত আয়তনকে যোগ করে। স্লাইসগুলিকে শেল হিসাবে বিবেচনা করা যেতে পারে, তাই "শেল পদ্ধতি।"
আরো দেখুন: PCA VS ICA (পার্থক্য জানুন) - সমস্ত পার্থক্যকেন্দ্র হিসাবে প্রতিটি সাবইন্টারভালের মধ্যবিন্দুর পরিবর্তে শেলের কেন্দ্র হিসাবে একটি বিন্দু বেছে নেওয়ার মাধ্যমে শেল পদ্ধতিটি অন্যান্য পদ্ধতির থেকে আলাদা। এর ফলে অন্যান্য পদ্ধতির তুলনায় আরো সঠিক আনুমানিকতা পাওয়া যায় কিন্তু ব্যবহারকারীর শেষ দিকে আরও কাজ করতে হয়।
পার্থক্য জানুন
শেল, ওয়াশার এবং ডিস্ক পদ্ধতি হল ক্যালকুলাস সমস্যা সমাধানের সব উপায়মিশ্রণ.
শেল পদ্ধতিতে একটি অ্যানুলাসের ভলিউম খুঁজে বের করা জড়িত, যখন ডিস্ক পদ্ধতিতে একটি ফাংশনের বক্ররেখার নীচে ক্ষেত্রফল খুঁজে বের করা জড়িত। একটি ধোয়ার পদ্ধতি একটি শেল পদ্ধতির অনুরূপ, তবে এটি একটি অ্যানুলাসের ভলিউম খুঁজে পেতে একটি ভিন্ন কৌশল ব্যবহার করে৷
শেল পদ্ধতি
আনুমানিক ভলিউম নির্ধারণ করতে শেল পদ্ধতি ব্যবহার করা হয় কঠিন থেকে কাটা একটি অসীম সংখ্যক পাতলা খোলের আয়তনের যোগফল দিয়ে একটি নির্দিষ্ট ক্রস-সেকশন সহ বিপ্লবে কঠিনের। শেল পদ্ধতিটি তখনই বৈধ যখন ক্রস-সেকশনের একটি ধ্রুবক বেধ থাকে, তাই এটি একটি অনিয়মিত আকারের বস্তুর আয়তন খুঁজে বের করতে ব্যবহার করা যায় না।
ধোয়ার পদ্ধতি
ওয়াশার পদ্ধতি একই রকম শেল পদ্ধতিতে কঠিন থেকে অসীম সংখ্যক পাতলা খোসা কাটার পরিবর্তে, আপনি এটি থেকে মাত্র একটি পুরু শেল কেটেছেন (যার ধ্রুবক পুরুত্ব রয়েছে) এবং তারপরে একটি ধ্রুবক প্রস্থের সাথে ছোট ছোট টুকরোতে বিভক্ত করেছেন।
ডিস্ক পদ্ধতি
ডিস্ক পদ্ধতিতে তাদের কেন্দ্রের মধ্য দিয়ে যাওয়া একটি অক্ষের চারপাশে বিভিন্ন ব্যাসার্ধ এবং বিভিন্ন কৌণিক অবস্থান সহ বৃত্তের একটি সিরিজ অঙ্কন করা জড়িত; এই বৃত্তগুলি এমন বিন্দুতে ছেদ করে যেগুলি একে অপরের পরিধিতে থাকা আবশ্যক - অন্য কথায়, তারা ওভারল্যাপ করে - একটি বৃত্তের পরিধির অংশগুলিকে প্রতিনিধিত্ব করে এমন সেক্টর গঠন করতে।
প্রতিটি ব্যাসার্ধ আপনার বস্তুর চারপাশে কতবার ফিট হবে তার আনুমানিক অনুমান পেতে এই সেক্টরগুলি যোগ করা হয়তাদের মধ্যে ওভারল্যাপ হওয়ার আগে পরিধি আবার একই অক্ষ বরাবর তাদের নিম্নলিখিত ছেদগুলিতে ঘটে।
সারণীটি আপনাকে সংক্ষিপ্ত আকারে তিনটি পদ্ধতির মধ্যে পার্থক্য দেয়।
| শেল পদ্ধতি | ধোয়ার পদ্ধতি 15> | ডিস্ক পদ্ধতি |
| শেল পদ্ধতিটি কঠিন বস্তুকে পাতলা স্লাইসে স্লাইস করে এবং তাদের এলাকা যোগ করে কাজ করে। | ওয়াশার পদ্ধতিটি কঠিন বস্তুকে পাতলা স্লাইসে স্লাইস করে এবং তাদের ভলিউম যোগ করে কাজ করে। | ডিস্ক পদ্ধতি একটি চাপের বিপরীত দিকের দুটি বিন্দুর মধ্যে দূরত্বের সমান ব্যাসার্ধের একটি বৃত্ত নিয়ে এবং সেই চাপের মধ্যে সমস্ত এলাকা যোগ করে কাজ করে। |
এখানে একটি ভিডিও ক্লিপ রয়েছে যা তিনটি পদ্ধতিরই ব্যাখ্যা করে।
ডিস্ক, ওয়াশার এবং শেল মেথডকখন আপনার ওয়াশার পদ্ধতি বা ব্যবহার করা উচিত শেল পদ্ধতি?
একটি সিলিন্ডারের পৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল গণনা করার জন্য বেশ কিছু পদ্ধতি বিদ্যমান। শেল পদ্ধতিটি তাদের মধ্যে একটি, তবে এটি সর্বদা সবচেয়ে কার্যকর বা সঠিক উপায় নয়৷
ওয়াশার পদ্ধতিটি আসলে একটি পদ্ধতি নয় - এটি বলার আরেকটি উপায়, "আপনি যখন এটি করেন তখন কী অবশিষ্ট থাকে অন্যান্য জিনিস?" সিলিন্ডারের ভিতরে কী ঘটে সে সম্পর্কে এটি আপনাকে কিছু বলে না; শুধুমাত্র বহিরাগত বিষয় কি।
তাহলে আপনি কোনটি ব্যবহার করবেন? এটা নির্ভর করে আপনি কি পরিমাপ করার চেষ্টা করছেন!
যদি জানতে চান কতআপনার দেয়ালের জন্য পেইন্টের প্রয়োজন হবে, শেল পদ্ধতি আপনাকে ওয়াশার পদ্ধতির চেয়ে ভাল ফলাফল দেবে কারণ এটি আরও ডেটা পয়েন্ট ব্যবহার করে। কিন্তু আপনি যদি আপনার টায়ারের জন্য কতটা রাবার প্রয়োজন তা পরিমাপ করার চেষ্টা করছেন, ওয়াশার পদ্ধতিটি আরও ভাল কাজ করবে কারণ এটি কম ডেটা পয়েন্ট ব্যবহার করে।
এটি একটি ডিস্ক বা ওয়াশার হলে আপনি কীভাবে জানবেন?
একটি ওয়াশার এবং একটি ডিস্কের মধ্যে পার্থক্য তাদের ঘূর্ণনশীল প্রতিসাম্যের ডিগ্রির মধ্যে রয়েছে। একটি ডিস্কের প্রতিসাম্যের কোনো অক্ষ নেই, তাই এটি যেকোনো কোণ দিয়ে ঘোরানো যায় এবং একই রকম দেখা যায়। একটি ওয়াশারে অবশ্য প্রতিসাম্যের একটি অক্ষ রয়েছে—একটি রেখা যা বস্তুর দুটি অংশকে সারিবদ্ধ করে৷
ক্যালকুলাসে, আপনি নিম্নলিখিত সমীকরণটি ব্যবহার করে একটি ডিস্ক এবং একটি ওয়াশারের মধ্যে পার্থক্য বলতে পারেন:
আরো দেখুন: ঈশ্বরের কাছে প্রার্থনা বনাম. যীশুর কাছে প্রার্থনা (সবকিছু) - সমস্ত পার্থক্যডিস্ক: (ব্যাস) 2 – (ব্যাসার্ধ) 2 = ডিস্কের এলাকা
ওয়াশার: (ব্যাস) 2 < (ব্যাসার্ধ)2
চূড়ান্ত চিন্তা
- ক্যালকুলাসে ডিস্ক, ওয়াশার এবং শেল পদ্ধতির মধ্যে প্রধান পার্থক্য হল যে তাদের প্রত্যেকের একই সমস্যার জন্য আলাদা ফলাফল রয়েছে।
- ডিস্ক পদ্ধতির মধ্যে একটি বক্ররেখার নিচের অংশকে ভাগে ভাগ করে এবং তাদের ক্ষেত্রগুলিকে যোগ করে খুঁজে বের করা জড়িত। এই পদ্ধতিটি অনেকগুলি বক্ররেখার ফাংশনের জন্য ভাল কাজ করে কিন্তু কম বক্ররেখা থাকলে কম ভাল৷
- ওয়াশার পদ্ধতিতে একটি বক্ররেখার নীচের অংশকে ভাগে ভাগ করা এবং তাদের পরিধি যুক্ত করা জড়িত৷ এই পদ্ধতিটি খুব কম বক্ররেখা সহ ফাংশনের জন্য ভাল কাজ করে তবে সেখানে থাকাকালীন এতটা দুর্দান্ত নয়আরো বক্ররেখা আছে।
- শেল পদ্ধতিতে প্রতিটি বক্ররেখার উচ্চতাকে এর প্রস্থ দ্বারা গুণ করে এর ক্ষেত্রফল আনুমানিক করা হয়। এই পদ্ধতিটি ভাল কাজ করে যখন আপনাকে দ্রুত একটি আনুমানিক ধারণা পেতে হয় কিন্তু সঠিক উত্তর পাওয়ার চেষ্টা করার সময় এটি বিশেষভাবে ভাল কাজ করে না৷
