Векторы - тема, которую некоторые люди считают легкой, в то время как некоторые находят ее довольно сложной. Хотя понимание определения и основ векторов является чем-то вроде очевидного для любого человека, особенно в евклидовой геометрии (двухмерной геометрии), все становится запутанным, когда мы переходим к трехмерным векторам и нелинейным (кривым) векторам.

Несмотря на то, что векторы математически просты и чрезвычайно полезны в физике, они не были разработаны в их современной форме. Только в конце 19-го века, когда Джосайя Уиллард Гиббс и Оливер Хевисайд (США и Англии, соответственно) каждый из них применяет векторный анализ, чтобы помочь выразить новые законы электромагнетизм .

Электромагнетизм предложен Джеймс Клерк Максвелл. Это довольно удивительно, поскольку примерно в то же время мы начали открывать субатомные частицы и развивать идею современного атома.

Короче говоря: Ортогональный, нормальный и перпендикулярный - это термины для описания объекта, который находится под углом 90 градусов по отношению к другому объекту. Поэтому при применении к векторам между ними есть лишь несколько технических различий. В двух словах, они похожи, но не одинаковы.

Присоединяйтесь ко мне, и я подробно объясню небольшие различия между этими математическими терминами.

Что такое вектор?

Вектор обычно изображается стрелкой с тем же направлением, что и величина, и длиной, пропорциональной амплитуде величины. Это величина, которая имеет и величину, и направление.

Хотя вектор имеет величину и направление, но не имеет положения. При условии, что длина исходного вектора не изменяется, сам вектор также не изменяется, если он смещен параллельно своему исходному положению.

Напротив, обычные величины, которые имеют амплитуду, но не имеют направления, называются скалярами. Например, скорость, ускорение и перемещение являются векторными величинами, в то время как скорость, время и масса - скалярами.

В двух словах, любая количественная величина, имеющая размер и направление, является векторной величиной и могут быть проиллюстрированы с помощью геометрии.

Множественные векторы можно складывать, вычитать и умножать друг на друга с учетом их направления и величины.

Прежде чем перейти к ортогональным, перпендикулярным и нормальным векторам, необходимо понять определение перпендикулярного, ортогонального и нормального векторов. Вкратце, эти математические термины одинаковы, но имеют небольшие различия в ситуационном использовании.

Ниже я привел таблицу, чтобы познакомить вас с некоторыми векторными и скалярными величинами.

Что такое векторы?

Посмотрите этот хорошо сделанный видеоролик, описывающий векторы:

Что такое векторы?

В чем разница между перпендикуляром, ортогональным и нормальным отрезками?

Самый честный ответ - "ничего". Бывают ситуации, когда один термин используется чаще, чем другой, но обычно их можно менять местами с незначительной потерей ясности, то есть в целом, контекст, который окружает каждый термин, должен учитывать, что он чрезвычайно гибок:

Перпендикуляр это отношение между "линейноподобными" объектами (линия, луч, отрезок) в классической геометрии, которое выполняется, если любой угол при их пересечении равен 90 градусам (или π/2π/2 радианов, или четверти окружности и т.д.).

Ортогональный это взаимодействие между векторами, которое удовлетворяется, когда билинейная форма исчезает. После преобразования пересечения прямых в пару векторов, перпендикулярность - это ортогональность в евклидовом пространстве (интегрируется с обычным точечным произведением), иногда конкретно плоскости.

Нормальный это вид вектора на многообразии (например, поверхности), заключенный в гипермерном (векторном) пространстве, ортогональном к пространству касательных в данной точке Это также название производной от касательного вектора параметризованной кривой, где бинормаль - "нормальный" (в обычном смысле) вектор к плоскости, образованной касательной и нормалью. Следует обратить внимание на то, что нормаль часто может ссылаться навектор единичной длины, как, например, в ортонорме.

В результате, реального различия нет, но "перпендикулярный" часто используется для двух измерений, "нормальный" - для трех, а "ортогональный" - когда геометрия полностью отброшена (так что можно говорить об ортогональных функциях).

Теперь, когда мы прояснили наши понятия, давайте посмотрим, чем отличаются эти термины в применении к геометрическим векторам.

Является ли нормальный вектор тем же самым, что и ортогональный?

На бумаге, Два перпендикулярных вектора ортогональны, и один из них нормален к другому, но нулевой вектор не нормален ни к одному вектору, в то время как он ортогонален к каждому вектору.

В целом, a "Нормаль" - это геометрическое описание 90-градусной линии, в то время как "ортогональный" используется выборочно как математическое.

Однако в то же время все они означают под прямым углом, И жаль, что для одного понятия существует столько разных слов.

Можно сказать, что два вектора находятся под прямым углом друг к другу, ортогональны или перпендикулярны, и все это означает одно и то же. Люди также говорят, что один вектор нормален к другому, и это означает практически то же самое.

Вы можете сказать, что набор векторов находится под углом 90 градусов или прямым углом друг к другу, он может быть взаимно или попарно ортогональным, взаимно или попарно перпендикулярным или нормальным друг к другу, и это означает то же самое.

Можно сказать, что вектор находится под прямым углом к кривой или поверхности, ортогонален ей, перпендикулярен ей или нормален к ней, и все они означают одно и то же. Однако когда речь идет о кривых и поверхностях, более подходящим термином является "нормальный".

Люди используют это понятие как взаимозаменяемое, когда имеют дело с двумя прямыми векторами, но я встречал особые случаи его использования при работе с кривыми или поверхностями. Для наглядности посмотрите на изображение ниже.

Все они подразумевают существование девяностоградусного угла. Однако кардинальность множества прямых углов обычно разделяет их использование. 'Перпендикуляр' часто используется, когда речь идет о двух векторах.

Термин "ортогональный" часто используется для описания вектора, который находится под углом девяносто градусов по крайней мере к двум отдельным векторам, но не обязательно ко многим (другими словами, это возможно, но только до того момента, когда векторы перечислены).

Нормальный" используется, когда количество векторов, находящихся под прямым углом, образует несчетное множество, т.е. всю плоскость. .

Этот рисунок должен помочь вам представить основные различия.

Ортогональный, нормальный и перпендикулярный в различных случаях векторов.

Означает ли ортогональный перпендикуляр?

Ортогональный и перпендикулярный отличаются от свойства быть перпендикулярным ( Перпендикулярность ). Это отношение между двумя линиями, которые пересекаются под углом 90 градусов или прямым углом.

Считается, что это свойство распространяется на другие родственные геометрические объекты. В то время как ортогональность - это отношение двух линий под прямым углом.

Ортогональный означает относящийся к линиям, которые перпендикулярны или образуют прямые углы, другой термин для этого - ортографический.

Когда линии перпендикулярные, они пересекаются под прямым углом. Например, углы прямоугольников и квадратов - это прямые углы.

Является ли нулевой вектор ортогональным к каждому вектору?

Если произведение двух векторов равно 0, то они считаются ортогональными друг другу. Таким образом, x,y ∈ X в (X,) ортогональны, если =0. Если x и y в (X,) ортогональны, то это означает, что любое скалярное кратное x также ортогонально y. .

Посмотрите пример из практики.

1. x,y>=k< x,y >=k0=0
2. теперь возьмем k=0
3. тогда< 0 ,y>=0
4. что означает, что нулевой вектор ортогонален всем остальным векторам.

Другой способ рассмотреть положение нулевого вектора относительно нормального вектора:

1. Рассмотрим любые два вектора A и B действующий под углом θ.θ.
2. Предположим, что A×B=0A×B=0
3. ABsinθn=0ABsinθn=0 (n - единичный вектор).
4. A=0A=0 или B=0B=0 или sinθ=0sinθ=0
5. A=0A=0 или B=0B=0 или θ=0,πθ=0,π
6. A=0A=0 или B=0B=0 или A & B параллельны.
7. Предположим, что A.B=0A.B=0
8. ABcosθ=0ABcosθ=0
9. A=0A=0 или B=0B=0 или cosθ=0cosθ=0
10. A=0A=0 или B=0B=0 или θ=π2θ=π2
11. A=0A=0 или B=0B=0 или A & B перпендикулярны.
12. Теперь мы создаем следующую ситуацию:
13. Предположим, что A×B=0A×B=0 и A.B=0A.B=0
14. Это возможно только в том случае, если A=0A=0 или B=0B=0
15. Здесь мы видим, что оба условия могут быть верны, только если один из векторов равен нулю.
16. Предположим, что B=0B=0
17. Из первого условия можно сделать вывод, что O параллельно A.
18. Из второго условия можно сделать вывод, что O перпендикулярно A.

Итак, нулевой вектор (нулевой вектор) имеет произвольное направление. Он может быть параллелен, перпендикулярен или находиться под любым другим углом к любому вектору.

Заключение

Вот основные детали из этой статьи:

• Вектор - это любая физическая величина, имеющая величину и направление
• Ортогональный, нормальный и перпендикулярный - это термины для описания объекта, который находится под углом 90 градусов по отношению к другому объекту. Таким образом, существует лишь несколько технических различий между ними, когда они применяются к векторам.
• Все они подразумевают существование девяностоградусного угла. Однако кардинальность множества прямых углов обычно разделяет их использование. 'Перпендикуляр' часто используется, когда речь идет о двух векторах.
• Термин "ортогональный" часто используется для описания вектора, который находится под углом девяносто градусов по крайней мере к двум отдельным векторам, но не обязательно ко многим (другими словами, это возможно, но только до того момента, когда векторы перечислены).
• Нормаль" используется, когда число векторов, находящихся под прямым углом, образует несчетное множество, т.е. всю плоскость.
• В повседневном языке они практически не отличаются друг от друга.

Надеюсь, эта статья поможет вам лучше понять разницу между ортогональными, нормальными и перпендикулярными векторами.

В ЧЕМ РАЗНИЦА МЕЖДУ АКТИВНОЙ И РЕАКТИВНОЙ СИЛОЙ? (КОНТРАСТ)

В ЧЕМ РАЗНИЦА МЕЖДУ ВЕКТОРАМИ И ТЕНЗОРАМИ? (ОБЪЯСНЕНИЕ)

РАЗНИЦА МЕЖДУ УРАВНЕНИЯМИ И ФУНКЦИЯМИ-1