Вектори - тема, яку дехто вважає легкою, а дехто - досить складною. Хоча розуміння визначення та основ векторів не викликає труднощів у будь-кого, особливо у евклідовій геометрії (двовимірній геометрії), все заплутується, коли ми переходимо до 3-вимірних векторів та нелінійних (кривих) векторів.

Незважаючи на те, що вектори є математично простими і надзвичайно корисними у фізиці, вони не були розроблені в їх сучасній формі. До кінця 19-го століття, коли Джосайя. Віллард Гіббс та Олівер Хевісайд (США та Англії, відповідно) застосовують векторний аналіз, щоб допомогти виразити нові закони електромагнетизм .

Електромагнетизм запропонований Джеймс Клерк Це досить дивно, адже приблизно в той самий час ми почали відкривати субатомні частинки та розвивати ідею сучасного атома.

Коротше кажучи: Ортогональний, нормальний і перпендикулярний - це терміни, що описують об'єкт, який знаходиться під кутом 90 градусів по відношенню до іншого об'єкта. Отже, між ними є лише кілька технічних відмінностей у застосуванні до векторів. Коротше кажучи, вони схожі, але не однакові.

Приєднуйтесь до мене, і я детально поясню незначні відмінності між цими математичними термінами.

Що таке вектор?

Вектор зазвичай зображується стрілкою, напрямок якої збігається з напрямком величини, а довжина пропорційна амплітуді цієї величини. Це величина, яка має як величину, так і напрямок.

Хоча вектор має величину і напрямок, але не має положення. Якщо довжина початкового вектора не змінюється, то сам вектор також не змінюється, якщо його змістити паралельно початковому положенню

На противагу цьому, звичайні величини, які мають амплітуду, але не мають напрямку, називаються скалярами. Наприклад, швидкість, прискорення і переміщення є векторними величинами, тоді як швидкість, час і маса є скалярними величинами.

Отже, в двох словах, будь-яка кількісно вимірювана величина, що має розмір і напрямок, є векторною величиною і може бути проілюстрована за допомогою геометрії.

Кілька векторів можна додавати, віднімати і множити один на одного, незалежно від їх напрямку і величини.

Тепер, перш ніж перейти до ортогональних, перпендикулярних і нормальних векторів, нам потрібно зрозуміти визначення перпендикулярного, ортогонального і нормального векторів. Якщо коротко, то ці математичні терміни однакові, але мають невеликі відмінності в ситуативному використанні.

Я включив таблицю нижче, щоб ознайомити вас з деякими векторними та скалярними величинами.

Що таке вектори?

Погляньте на це добре зроблене відео з описом векторів:

Що таке вектори?

Яка різниця між перпендикулярним, ортогональним і нормальним?

Найчесніша відповідь - "нічого". Існують ситуації, коли один з них частіше використовується, ніж інший, але зазвичай вони можуть бути взаємозамінні з невеликою втратою ясності, тобто загалом контекст, який оточує кожен термін, майте на увазі, що це надзвичайно гнучкий термін:

Перпендикулярно відношення між "лінійними" об'єктами (пряма, промінь, відрізок) у класичній геометрії, яке виконується, коли будь-який кут при їх перетині дорівнює 90 градусам (або π/2π/2 радіанів, або чверті кола тощо).

Ортогональні це взаємодія між векторами, яка задовольняється, коли зникає білінійна форма. Після перетворення перетину подібних ліній на пару векторів, перпендикулярність - це ортогональність в евклідовому просторі (інтегрована зі звичайним точковим добутком), іноді конкретно площині.

Нормально. це різновид вектора на многовиді (наприклад, поверхні), інкапсульованого у гіпервимірному (векторному) просторі, ортогональному до простору дотичних у цій точці Це також назва похідної вектора дотичної параметризованої кривої, де бінорма - це "нормальний" (у звичайному розумінні) вектор до площини, утвореної дотичною та нормаллю. Слід зазначити, що нормаль часто може означати вектор, якийтакож вектор одиничної довжини, наприклад, ортонормований.

В результаті, реальної різниці немає, але "перпендикулярний" часто використовується для двох вимірів, "нормальний" - для трьох, а "ортогональний" - для тих випадків, коли геометрія повністю відкинута (так можна говорити про ортогональні функції).

Тепер, коли ми прояснили наші поняття, давайте подивимося, як ці термінології відрізняються в застосуванні до геометричних векторів.

Чи нормальний вектор - це те саме, що ортогональний?

На папері, здається, що вони мають однакове визначення, але теоретично вони мають різні визначення. Два перпендикулярні вектори ортогональні і один нормальний до іншого, але нульовий вектор не є нормальним до жодного вектора, в той час як він ортогональний до кожного вектора.

Загалом, "Нормальний" - це геометричний опис 90-градусної лінії, тоді як "ортогональний" вибірково використовується як математичний.

Однак, водночас, всі вони означають під прямим кутом, і дуже шкода, що існує так багато різних слів для позначення одного поняття.

Можна сказати, що два вектори знаходяться під прямим кутом один до одного, ортогональні або перпендикулярні, і все це означає одне і те ж. Ще кажуть, що один вектор нормальний до іншого, і це практично означає те ж саме.

Ви можете сказати, що набір векторів знаходиться під 90 градусів або під прямим кутом один до одного, вони можуть бути взаємно або попарно ортогональними, взаємно або попарно перпендикулярними або нормальними один до одного, і це означає одне і те ж саме.

Можна сказати, що вектор знаходиться під прямим кутом до кривої або поверхні, ортогональний до неї, перпендикулярний до неї або нормальний до неї, і всі ці терміни означають одне і те ж. Однак, коли ми говоримо про криві та поверхні, більш доречним є термін "нормаль"

Люди використовують їх як взаємозамінні, коли мають справу з двома прямими векторами, але я бачив специфічне використання при роботі з кривими або поверхнями. Погляньте на зображення нижче для візуалізації.

Всі вони передбачають існування кута в дев'яносто градусів. Однак, кардинальність набору прямих кутів зазвичай розділяє використання. "Перпендикуляр" часто використовується, коли йдеться про два вектори.

Термін "ортогональний" часто використовується для опису вектора, який знаходиться під кутом дев'яносто градусів до принаймні 2 окремих векторів, але не обов'язково до багатьох (іншими словами, це можливо, але тільки до точки, де вектори перераховані).

"Нормальний" використовується, коли кількість векторів, які знаходяться під прямим кутом, утворюють незліченну множину, тобто цілу площину .

Ця картинка має допомогти вам візуалізувати ключові відмінності.

Ортогональні, нормальні та перпендикулярні у різних випадках векторів.

Чи означає ортогональний перпендикулярний?

Ортогональні та перпендикулярні відрізняються властивістю бути перпендикулярними ( Перпендикулярність Це відношення між двома лініями, які перетинаються під 90 градусів або прямим кутом.

Вважається, що ця властивість поширюється і на інші споріднені геометричні об'єкти. Ортогональним називається відношення двох прямих під прямим кутом.

Ортогональні - це лінії, що стосуються або включають лінії, які є перпендикулярними або утворюють прямі кути, інший термін для цього - орфографічні.

Коли лінії перпендикулярні, вони перетинаються під прямим кутом. Наприклад, кути прямокутників і квадратів - це прямі кути.

Чи є нульовий вектор ортогональним до кожного вектора?

Якщо добуток двох векторів дорівнює 0, то вони вважаються ортогональними один до одного, тобто x,y ∈ X в (X,) ортогональні, якщо =0, тепер, якщо x та y в (X,) ортогональні, то це означає, що будь-який скаляр, кратний x, також ортогональний до y .

Погляньте на працюючий приклад.

1. x,y>=k< x,y >=k0=0
2. тепер візьмемо k=0
3. тоді< 0 y>=0
4. що означає, що нульовий вектор ортогональний до всіх інших векторів.

Інший спосіб розглянути положення нульового вектора по відношенню до нормального вектора:

1. Розглянемо довільні два вектори A і B що діє під кутом θ.θ.
2. Нехай A×B=0A×B=0
3. ABsinθn=0ABsinθn=0(n - одиничний вектор).
4. A=0A=0 або B=0B=0 або sinθ=0sinθ=0
5. A=0A=0 або B=0B=0 або θ=0,πθ=0,π
6. A=0A=0 або B=0B=0 або A & B паралельні.
7. Нехай A.B=0A.B=0
8. ABcosθ=0ABcosθ=0
9. A=0A=0 або B=0B=0 або cosθ=0cosθ=0
10. A=0A=0 або B=0B=0 або θ=π2θ=π2
11. A=0A=0 або B=0B=0 або A & B перпендикулярні.
12. Тепер створюємо ситуацію наступним чином:
13. Нехай A×B=0A×B=0 і A.B=0A.B=0
14. Це можливо лише якщо A=0A=0 або B=0B=0
15. Тут ми бачимо, що обидві умови можуть бути істинними лише тоді, коли один з векторів дорівнює нулю.
16. Нехай B=0B=0
17. З першої умови можна зробити висновок, що O паралельна A.
18. З другої умови можна зробити висновок, що O перпендикулярна до A.

Отже, нульовий вектор має довільний напрямок. Він може бути паралельним або перпендикулярним, або під будь-яким іншим кутом до будь-якого вектора.

Висновок

Ось ключові деталі з цієї статті:

• Вектор - це будь-яка фізична величина, що має величину та напрямок
• Ортогональний, нормальний і перпендикулярний - це терміни, що описують об'єкт, який знаходиться під кутом 90 градусів по відношенню до іншого об'єкта. Отже, між ними є лише кілька технічних відмінностей, коли вони застосовуються до векторів.
• Всі вони передбачають існування кута в дев'яносто градусів. Однак кардинальність набору прямих кутів зазвичай розділяє використання. "Перпендикулярний" часто використовується, коли йдеться про два вектори.
• Термін "ортогональний" часто використовується для опису вектора, який знаходиться під кутом дев'яносто градусів до принаймні 2 окремих векторів, але не обов'язково до багатьох (іншими словами, це можливо, але тільки до точки, де вектори перераховані).
• "Нормальний" використовується, коли кількість векторів, що знаходяться під прямим кутом, утворюють незліченну множину, тобто цілу площину.
• У повсякденній мові вони практично однакові.

Сподіваюся, ця стаття допоможе вам краще зрозуміти різницю між ортогональним, нормальним і перпендикулярним при роботі з векторами.

У ЧОМУ РІЗНИЦЯ МІЖ АКТИВНОЮ ТА РЕАКТИВНОЮ СИЛОЮ (КОНТРАСТ)

У ЧОМУ РІЗНИЦЯ МІЖ ВЕКТОРАМИ ТА ТЕНЗОРАМИ (ПОЯСНЮЄТЬСЯ)

РІЗНИЦЯ МІЖ РІВНЯННЯМИ ТА ФУНКЦІЯМИ-1