Les vecteurs, un sujet que certains trouvent facile, tandis que d'autres le trouvent plutôt difficile. Alors que comprendre la définition et les bases des vecteurs est une sorte d'évidence pour tout le monde, en particulier en géométrie euclidienne (géométrie à 2 dimensions), les choses deviennent confuses lorsque nous passons aux vecteurs à 3 dimensions et aux vecteurs non linéaires (courbes).

Bien que les vecteurs soient mathématiquement simples et extrêmement utiles en physique, ils n'ont pas été développés sous leur forme moderne. Josiah Willard Gibbs et Oliver Heaviside (respectivement des États-Unis et de l'Angleterre) appliquent chacun l'analyse vectorielle afin d'aider à exprimer les nouvelles lois de l'Union européenne. électromagnétisme .

L'électromagnétisme est proposé par James Clerk C'est assez surprenant, car c'est à cette époque que l'on a commencé à découvrir les particules subatomiques et à développer l'idée de l'atome moderne.

En bref : Orthogonal, normal et perpendiculaire sont des termes qui décrivent un objet situé à 90 degrés par rapport à un autre objet. Il n'y a donc que quelques différences techniques entre eux lorsqu'ils sont appliqués à des vecteurs. En bref, ils sont similaires mais pas identiques.

Je vais vous expliquer en détail les différences mineures entre ces termes mathématiques.

Qu'est-ce qu'un vecteur ?

Le vecteur est généralement représenté par une flèche ayant la même direction que la quantité et une longueur proportionnelle à l'amplitude de la quantité. Il s'agit d'une quantité qui a à la fois une magnitude et une direction.

Bien qu'un vecteur Si la longueur du vecteur original n'est pas modifiée, un vecteur lui-même n'est pas modifié s'il est déplacé parallèlement à sa position d'origine.

La vitesse, l'accélération et le déplacement, par exemple, sont des grandeurs vectorielles, tandis que la vitesse, le temps et la masse sont des valeurs scalaires.

En résumé, toute quantité quantifiable ayant une taille et une direction est une quantité vectorielle et peuvent être illustrées par la géométrie.

Les vecteurs multiples peuvent être additionnés, soustraits et multipliés les uns par les autres, en fonction de leur direction et de leur ampleur.

Avant de passer aux vecteurs orthogonaux, perpendiculaires et normaux, nous devons d'abord comprendre la définition des termes perpendiculaire, orthogonal et normal. En bref, ces termes mathématiques sont identiques, mais présentent de légères différences dans leur utilisation en situation.

J'ai inclus un tableau ci-dessous pour vous familiariser avec certaines quantités vectorielles et scalaires.

Qu'est-ce qu'un vecteur ?

Jetez un coup d'œil à cette vidéo bien faite décrivant les vecteurs :

Qu'est-ce qu'un vecteur ?

Quelle est la différence entre perpendiculaire, orthogonal et normal ?

Il existe des situations où l'un est plus susceptible d'être utilisé que l'autre, mais ils peuvent généralement être interchangés avec peu de perte de clarté, c'est-à-dire en général, le contexte qui entoure chaque terme, gardez à l'esprit qu'il est extrêmement flexible :

Perpendiculaire est une relation entre des objets de type "ligne" (ligne, rayon, segment de ligne) en géométrie classique, qui est satisfaite lorsque tout angle à leur intersection est de 90 degrés (ou π/2π/2 radians, ou un quart de cercle, etc.)

Orthogonal Après avoir transformé une intersection de lignes en une paire de vecteurs, la perpendicularité est l'orthogonalité dans l'espace euclidien (intégrée avec le produit de points habituel), parfois spécifiquement dans un plan.

Normal est un type de vecteur sur un collecteur (par exemple, une surface) encapsulé dans un espace hyperdimensionnel (vectoriel) orthogonal à l'espace tangent en ce point C'est aussi le nom de la dérivée du vecteur tangent d'une courbe paramétrée, où binormal est le vecteur "normal" (au sens habituel) au plan formé par la tangente et la normale.vecteur de longueur unitaire, comme dans orthonormé.

En conséquence, il n'y a pas de réelle distinction, mais on utilise souvent "perpendiculaire" pour deux dimensions, "normal" pour trois, et "orthogonal" lorsque la géométrie est complètement abandonnée (on peut alors parler de fonctions orthogonales).

Maintenant que nous avons clarifié nos concepts, voyons comment ces terminologies diffèrent lorsqu'elles sont appliquées aux vecteurs géométriques.

Un vecteur normal est-il identique à un vecteur orthogonal ?

Sur papier, Deux vecteurs perpendiculaires sont orthogonaux et l'un est normal à l'autre, mais le vecteur zéro n'est normal à aucun vecteur alors qu'il est orthogonal à tous les vecteurs.

En général, a "Normal" est une description géométrique d'une ligne à 90 degrés, tandis que "orthogonal" est utilisé sélectivement comme une description mathématique.

Mais en même temps, ils signifient tous à angle droit, et il est dommage qu'il y ait autant de mots différents pour un même concept.

On peut dire que deux vecteurs sont à angle droit l'un par rapport à l'autre, qu'ils sont orthogonaux ou perpendiculaires, et cela signifie la même chose. On dit aussi qu'un vecteur est normal à un autre, et cela signifie à peu près la même chose.

Vous pouvez dire qu'un ensemble de vecteurs sont à 90 degrés ou à angle droit l'un par rapport à l'autre, qu'ils sont mutuellement ou par paire orthogonaux, mutuellement ou par paire perpendiculaires, ou normaux l'un par rapport à l'autre, et cela signifie la même chose.

On peut dire qu'un vecteur est perpendiculaire à une courbe ou à une surface, orthogonal à celle-ci, perpendiculaire à celle-ci ou normal à celle-ci, et ces termes ont tous la même signification. Cependant, lorsqu'il s'agit de courbes et de surfaces, le terme le plus approprié est celui de "normale"

Les gens l'utilisent de manière interchangeable lorsqu'il s'agit de deux vecteurs rectilignes, mais j'ai vu des utilisations spécifiques lorsqu'il s'agit de courbes ou de surfaces.

Ils impliquent tous l'existence d'un angle de quatre-vingt-dix degrés. Cependant, la cardinalité de l'ensemble des angles droits sépare généralement les usages. "Perpendiculaire" est souvent utilisé lorsqu'il s'agit de deux vecteurs.

Le terme "orthogonal" est souvent utilisé pour décrire un vecteur qui forme un angle de quatre-vingt-dix degrés avec au moins deux vecteurs distincts, mais pas nécessairement plusieurs (en d'autres termes, il s'agit d'une possibilité, mais seulement jusqu'au point où les vecteurs sont énumérés).

Le terme "normal" est utilisé lorsque le nombre de vecteurs formant un angle droit constitue un ensemble indénombrable, c'est-à-dire un plan entier. .

Cette image devrait vous aider à visualiser les principales différences.

Orthogonal, normal et perpendiculaire dans différents cas de vecteurs.

Orthogonal signifie-t-il perpendiculaire ?

Les termes "orthogonal" et "perpendiculaire" diffèrent de la propriété d'être perpendiculaire ( Perpendicularité Il s'agit de la relation entre deux lignes qui se rencontrent à 90 degrés ou à angle droit.

On dit que la propriété s'étend à d'autres objets géométriques apparentés, tandis que l'orthogonalité est la relation de deux lignes à angle droit.

Orthogonal signifie relatif ou impliquant des lignes qui sont perpendiculaires ou qui forment des angles droits, un autre terme pour cela est orthographique.

Lorsque les lignes sont perpendiculaires, elles se coupent à angle droit. Par exemple, les angles des rectangles et des carrés sont tous des angles droits.

Le vecteur zéro est-il orthogonal à tous les vecteurs ?

Si le produit entre 2 vecteurs est égal à 0, alors ils sont considérés comme orthogonaux l'un par rapport à l'autre. Ainsi, x,y ∈ X dans (X,) sont orthogonaux si =0, maintenant si x et y dans (X,) sont orthogonaux, cela signifie que tout multiple scalaire de x est également orthogonal à y. .

Voici un exemple concret.

1. x,y>=k<; x,y >=k0=0
2. prenons maintenant k=0
3. puis<; 0 y>=0
4. ce qui signifie que le vecteur zéro est orthogonal à tous les autres vecteurs.

Une autre façon de considérer la position d'un vecteur zéro par rapport à un vecteur normal est la suivante :

1. Considérons deux vecteurs quelconques A et B agissant à l'angle θ.θ.
2. Supposons que A×B=0A×B=0
3. ABsinθn=0ABsinθn=0(n est le vecteur unitaire.)
4. A=0A=0 ou B=0B=0 ou sinθ=0sinθ=0
5. A=0A=0 ou B=0B=0 ou θ=0,πθ=0,π
6. A=0A=0 ou B=0B=0 ou A & ; B sont parallèles.
7. Supposons que A.B=0A.B=0
8. ABcosθ=0ABcosθ=0
9. A=0A=0 ou B=0B=0 ou cosθ=0cosθ=0
10. A=0A=0 ou B=0B=0 ou θ=π2θ=π2
11. A=0A=0 ou B=0B=0 ou A & ; B sont perpendiculaires.
12. Nous créons maintenant la situation suivante :
13. Supposons que A×B=0A×B=0 et A.B=0A.B=0
14. Ceci n'est possible que si A=0A=0 ou B=0B=0.
15. Nous voyons ici que les deux conditions ne peuvent être vraies que si l'un des vecteurs est nul.
16. Supposons que B=0B=0
17. De la première condition, on peut déduire que O est parallèle à A.
18. De la deuxième condition, on peut déduire que O est perpendiculaire à A.

Le vecteur nul (vecteur zéro) a donc une direction arbitraire : il peut être parallèle ou perpendiculaire à n'importe quel vecteur ou former un angle quelconque avec lui.

Conclusion

Voici les principaux détails de cet article :

• Un vecteur est une quantité physique ayant une magnitude et une direction.
• Orthogonal, normal et perpendiculaire sont des termes qui décrivent un objet situé à 90 degrés par rapport à un autre objet. Il n'y a donc que quelques différences techniques entre ces termes lorsqu'ils sont appliqués à des vecteurs.
• Ils impliquent tous l'existence d'un angle de quatre-vingt-dix degrés. Cependant, la cardinalité de l'ensemble des angles droits sépare généralement les usages. "Perpendiculaire" est souvent utilisé lorsqu'il s'agit de deux vecteurs.
• Le terme "orthogonal" est souvent utilisé pour décrire un vecteur qui forme un angle de quatre-vingt-dix degrés avec au moins deux vecteurs distincts, mais pas nécessairement plusieurs (en d'autres termes, il s'agit d'une possibilité, mais seulement jusqu'au point où les vecteurs sont énumérés).
• Le terme "normal" est utilisé lorsque le nombre de vecteurs formant un angle droit constitue un ensemble indénombrable, c'est-à-dire un plan entier.
• Dans le langage courant, ils sont pratiquement identiques.

J'espère que cet article vous aidera à mieux comprendre la différence entre orthogonal, normal et perpendiculaire lorsqu'il s'agit de vecteurs.

QUELLE EST LA DIFFÉRENCE ENTRE UNE FORCE ACTIVE ET UNE FORCE RÉACTIVE (LE CONTRASTE) ?

QUELLE EST LA DIFFÉRENCE ENTRE LES VECTEURS ET LES TENSEURS ?

LA DIFFÉRENCE ENTRE LES ÉQUATIONS ET LES FONCTIONS-1