Vektorid, teema, mida mõned inimesed peavad lihtsaks, samas kui mõned leiavad, et see on üsna keeruline, Kuigi vektorite määratluse ja põhitõdede mõistmine on kõigile selge, eriti eukleidilises geomeetrias (2-mõõtmeline geomeetria), muutuvad asjad segaseks, kui me liigume 3-mõõtmeliste vektorite ja mittelineaarsete (kõverate) vektorite juurde.

Kuigi vektorid on matemaatiliselt lihtsad ja äärmiselt kasulikud füüsikas, kui füüsika, ei arendatud neid oma tänapäevasel kujul. Alles 19. sajandi lõpus, kui Josiah Willard Gibbs ja Oliver Heaviside (vastavalt Ameerika Ühendriikide ja Inglismaa) kohaldavad kumbki vektoranalüüsi, et aidata väljendada uusi seadusi elektromagnetism .

Elektromagnetism on välja pakutud James Clerk Maxwell. See on üsna üllatav, sest see oli umbes samal ajal, kui me hakkasime avastama subatomaalseid osakesi ja arendama ideed tänapäeva aatomist.

Lühidalt: Ortogonaalne, normaalne ja risti on terminid, millega kirjeldatakse objekti, mis on teise objekti suhtes 90 kraadi all. Seega on nende vahel vaid mõned tehnilised erinevused, kui neid rakendada vektorite suhtes. Lühidalt öeldes on nad sarnased, kuid mitte samad.

Tulge minuga kaasa, kui ma selgitan põhjalikult nende matemaatiliste terminite väiksemaid erinevusi.

Mis on vektor?

Vektorit kujutatakse tavaliselt noolega, mille suund on sama kui suurusel ja mille pikkus on proportsionaalne suuruse amplituudiga. See on suurus, millel on nii suurus kui ka suund.

Kuigi vektor on suurus ja suund, tal ei ole asukohta. Eeldusel, et algse vektori pikkus ei muutu, ei muutu ka vektor ise, kui ta nihkub paralleelselt oma algse asukohaga.

Seevastu tavalisi suurusi, millel on amplituud, kuid ei ole suunda, nimetatakse skalaarideks. Näiteks kiirus, kiirendus ja nihkumine on vektorsuurused, samas kui kiirus, aeg ja mass on skalaaride väärtused.

Nii et lühidalt, iga suuruse ja suunaga mõõdetav suurus on vektorkogus. ja seda saab illustreerida geomeetria abil.

Mitut vektorit saab omavahel liita, lahutada ja korrutada, arvestades nende suunda ja suurust.

Nüüd, enne kui liigume ortogonaal-, risti ja normaalvektorite juurde, peame kõigepealt mõistma risti, ortogonaal- ja normaalvektorite määratlusi. Lühidalt öeldes on need matemaatilised terminid samad, kuid neil on olukorra kasutamisel mõningaid erinevusi.

Olen lisanud allpool oleva tabeli, et tutvuda mõne vektor- ja skalaarkogusega.

Mis on vektorid?

Vaadake seda hästi tehtud videot, milles kirjeldatakse vektoreid:

Mis on vektorid?

Mis vahe on risti, ortogonaal ja normaalne?

Kõige ausam vastus on "mitte midagi". On olukordi, kus ühte kasutatakse tõenäolisemalt kui teist, kuid tavaliselt saab neid omavahel vahetada, ilma et see kaotaks selgust, st üldiselt on kontekst, mis iga terminit ümbritseb, äärmiselt paindlik:

Ristkülikukujuline on klassikalises geomeetrias "joontega sarnaste" objektide (joon, kiir, joondsegment) vaheline seos, mis on rahuldatud, kui nende ristumisnurk on 90 kraadi (või π/2π/2 radiaani või veerand ringi jne).

Ortogonaalne on vektorite vaheline vastastikmõju, mis on rahuldatud, kui bilineaarne vorm kaob. Pärast sirgjoonte ristumise teisendamist vektoripaariks on ristiisus ortogonaalsus eukleidilises ruumis (integreeritud tavalise punktproduktsiooniga), mõnikord konkreetselt tasandis.

Tavaline on mingi vektor manifesti (näiteks pinna) peal, mis on kapseldatud hüperdimensionaalsesse (vektor)ruumi, mis on ortogonaalne antud punkti puutuja ruumi suhtes See on ka parameetriga kõvera puutuja vektori tuletise nimetus, kus binormaalne on "normaalne" (tavalises mõttes) vektor puutuja ja normaali poolt moodustatud tasandile. Midagi, mida tuleb kontrollida, on see, et normaalne võib sageli viidata sellele, etühikupikkusega vektor samuti, nagu näiteks ortonormaalne.

Selle tulemusena ei ole tegelikku vahet, kuid "risti" kasutatakse sageli kahe mõõtme puhul, "normaalne" kolme mõõtme puhul ja "ortogonaalne" siis, kui geomeetria on täielikult hüljatud (nii saab rääkida ortogonaalsetest funktsioonidest).

Nüüd, kui me oleme oma mõisted selgeks teinud, vaatame, kuidas need terminid erinevad, kui neid rakendatakse geomeetriliste vektorite suhtes.

Kas normaalne vektor on sama mis ortogonaalne?

Paberil, näib, et neil on sama definitsioon, kuid teoreetiliselt on neil selgelt erinevad definitsioonid. Kaks risti vektorit on ortogonaalsed ja üks on teise suhtes normaalne, kuid nullvektor ei ole ühegi vektori suhtes normaalne, samas kui ta on iga vektori suhtes ortogonaalne.

Üldiselt, a "Normaalne" on 90-kraadise joone geomeetriline kirjeldus, samas kui "ortogonaalne" on valikuliselt kasutatav matemaatiline kirjeldus.

Kuid samal ajal tähendavad nad kõik, et täisnurga all, ja on kahju, et ühe mõiste jaoks on nii palju erinevaid sõnu.

Võite öelda, et kaks vektorit on teineteise suhtes täisnurga all, ortogonaalselt või risti, ja see kõik tähendab sama asja. Samuti öeldakse, et üks vektor on teise suhtes normaalne, ja see tähendab peaaegu sama asja.

Võite öelda, et vektorite kogum on üksteise suhtes 90 kraadi või täisnurga all, see võib olla vastastikku või paarikaupa ortogonaalne, vastastikku või paarikaupa risti või normaalne, ja see tähendab sama asja.

Võib öelda, et vektor on kõvera või pinnaga risti, ortogonaalselt, risti või normaalselt, ja need kõik tähendavad sama asja. Kui aga räägitakse kõveratest ja pindadest, on sobivam termin "normaalne".

Inimesed kasutavad seda vaheldumisi, kui tegemist on kahe sirgvektoriga, kuid olen näinud konkreetseid kasutusi, kui tegemist on kõverate või pindadega. Visuaalseks illustratsiooniks vaadake allolevat pilti.

Nad kõik eeldavad üheksakümnekraadise nurga olemasolu. Kuid täisnurkade kogumi kardinaalsus eraldab üldiselt kasutamise. "Ristkülikut" kasutatakse sageli, kui räägitakse kahest vektorist.

Terminit "ortogonaalne" kasutatakse sageli sellise vektori kirjeldamiseks, mis on üheksakümnekraadise nurga all vähemalt kahe eraldi vektoriga, kuid mitte tingimata paljude vektoritega (teisisõnu, see on võimalik, kuid ainult kuni vektorite loendamiseni).

"Normaalset" kasutatakse siis, kui täisnurga all olevate vektorite arv moodustab loendamatu hulga, st terve tasandi. .

See pilt peaks aitama teil visualiseerida peamisi erinevusi.

Ortogonaalne, normaalne ja risti vektorite erinevatel juhtudel.

Kas ortogonaalne tähendab risti?

Ortogonaal ja risti erinevad omaduselt risti ( Perpendikulaarsus ). See on suhe kahe joone vahel, mis kohtuvad 90 kraadi või täisnurga all.

Omadus laieneb väidetavalt ka teistele seotud geomeetrilistele objektidele. samas kui ortogonaalne on kahe täisnurga all oleva joone suhe.

Ortogonaalne tähendab, et see on seotud või hõlmab risti või täisnurga moodustavaid sirgeid, teine termin selle kohta on ortograafiline.

Kui liinid on risti, nad lõikuvad täisnurga all. Näiteks ristküliku ja ruudu nurgad on kõik täisnurksed.

Kas nullvektor on iga vektoriga ortogonaalne?

Kui 2 vektori korrutis on 0, siis loetakse neid üksteise suhtes ortogonaalseks, Seega x,y ∈ X (X,) on ortogonaalsed, kui =0, nüüd kui x ja y (X,) on ortogonaalsed, siis tähendab see, et x-i mis tahes skalaarkordaja on ka y-ga ortogonaalne. .

Vaadake töötatud näidet.

1. x,y>=k< x,y >=k0=0
2. nüüd võtame k=0
3. siis< 0 ,y>=0
4. mis tähendab, et nullvektor on ortogonaalne iga teise vektoriga.

Teine viis nullvektori asendi vaatlemiseks normaalvektori suhtes on:

1. Vaadeldakse kahte mis tahes vektorit A ja B mis toimivad nurga θ.θ all.
2. Oletame, et A×B=0A×B=0
3. ABsinθn=0ABsinθn=0(n on ühikuvektor.)
4. A=0A=0 või B=0B=0 või sinθ=0sinθ=0
5. A=0A=0 või B=0B=0 või θ=0,πθ=0,π
6. A=0A=0 või B=0B=0 või A & B on paralleelsed.
7. Oletame, et A.B=0A.B=0
8. ABcosθ=0ABcosθ=0
9. A=0A=0 või B=0B=0 või cosθ=0cosθ=0
10. A=0A=0 või B=0B=0 või θ=π2θ=π2
11. A=0A=0 või B=0B=0 või A & B on risti.
12. Nüüd loome järgmise olukorra:
13. Oletame, et A×B=0A×B=0 ja A.B=0A.B=0
14. See on võimalik ainult siis, kui A=0A=0 või B=0B=0.
15. Siin näeme, et mõlemad tingimused võivad olla tõesed ainult siis, kui üks vektoritest on null.
16. Oletame, et B=0B=0
17. Esimesest tingimusest võib järeldada, et O on paralleelne A.
18. Teisest tingimusest võib järeldada, et O on risti A.

Niisiis, nullvektoril (nullvektoril) on suvaline suund. See võib olla paralleelne või risti või mis tahes muu nurga all mis tahes vektoriga.

Kokkuvõte

Siin on peamised üksikasjad sellest artiklist:

• Vektor on mis tahes füüsikaline suurus, millel on suurus ja suund.
• Ortogonaalne, normaalne ja risti on terminid, mis kirjeldavad objekti, mis on teise objekti suhtes 90 kraadi all. Seega on nende vahel vaid mõned tehnilised erinevused, kui neid rakendatakse vektorite suhtes.
• Nad kõik eeldavad üheksakümnekraadise nurga olemasolu. Kuid täisnurkade kogumi kardinaalsus eraldab üldiselt kasutamise. "Ristkülikut" kasutatakse sageli, kui räägitakse kahest vektorist.
• Terminit "ortogonaalne" kasutatakse sageli sellise vektori kirjeldamiseks, mis on üheksakümnekraadise nurga all vähemalt kahe eraldi vektoriga, kuid mitte tingimata paljude vektoritega (teisisõnu, see on võimalik, kuid ainult kuni vektorite loendamiseni).
• 'Normaalset' kasutatakse siis, kui täisnurga all olevate vektorite arv moodustab loendamatu hulga, st terve tasandi.
• Igapäevakeeles on need praktiliselt samad.

Ma loodan, et see artikkel aitab teil paremini mõista erinevust ortogonaalse, normaalse ja risti vektoritega tegelemisel.

MIS VAHE ON AKTIIVSE JA REAKTIIVSE JÕU VAHEL? (KONTRAST)

MIS VAHE ON VEKTORITEL JA TENSORITEL? (SELGITATUD)

ERINEVUS VÕRRANDITE JA FUNKTSIOONIDE VAHEL-1