वेक्टर हा विषय काही लोकांना सोपा वाटतो, तर काहींना तो ऐवजी आव्हानात्मक वाटतो, जरी सदिशांची व्याख्या आणि मूलभूत गोष्टी समजून घेणे हे कोणासाठीही बिनबुडाचे आहे, विशेषत: युक्लिडियन भूमितीमध्ये (द्वि-आयामी भूमिती), गोष्टी प्राप्त होतात. जेव्हा आपण त्रिमितीय व्हेक्टर आणि नॉन-लिनियर (वक्र) व्हेक्टरकडे जातो तेव्हा गोंधळात टाकतो.

भौतिकशास्त्रात जरी सदिश गणितीयदृष्ट्या सोपे आणि अत्यंत उपयुक्त असले तरी, ते त्यांच्या आधुनिक स्वरूपात विकसित झाले नव्हते. 19व्या शतकाच्या उत्तरार्धात जेव्हा जोशिया विलार्ड गिब्स आणि ऑलिव्हर हेविसाइड (अनुक्रमे युनायटेड स्टेट्स आणि इंग्लंडचे) प्रत्येकाने वेक्टर विश्लेषण लागू केले जेणेकरुन नवीन कायदे व्यक्त करण्यात मदत होईल. 2>विद्युतचुंबकत्व .

विद्युतचुंबकत्व जेम्स क्लर्क मॅक्सवेल यांनी प्रस्तावित केले आहे. हे खूपच आश्चर्यकारक आहे, कारण त्याच वेळी आम्ही उप-अणु कण शोधण्यास सुरुवात केली आणि आधुनिक काळातील अणूची कल्पना विकसित केली.

थोडक्यात: ऑर्थोगोनल, सामान्य आणि लंब आहेत दुसर्‍या ऑब्जेक्टच्या संदर्भात 90 अंशांवर असलेल्या ऑब्जेक्टचे वर्णन करण्यासाठी संज्ञा. म्हणून सदिशांना लागू करताना त्यांच्यामध्ये फक्त काही तांत्रिक फरक आहेत. थोडक्यात, ते सारखेच असतात पण एकसारखे नसतात.

मी या गणितीय संज्ञांमधील किरकोळ फरक पूर्णपणे समजावून सांगत असताना माझ्याशी सामील व्हा.

सदिश म्हणजे काय?

वेक्टर सामान्यत: सारख्याच दिशेने असलेल्या बाणाद्वारे दर्शविला जातोपरिमाण आणि परिमाणाच्या मोठेपणाच्या प्रमाणात लांबी. हे एक परिमाण आहे ज्यामध्ये परिमाण आणि दिशा दोन्ही आहेत.

जरी वेक्टर ची परिमाण आणि दिशा असली तरी त्याला स्थान नाही. मूळ व्हेक्टरची लांबी बदलली जात नाही हे मान्य केले आहे, जर व्हेक्टर त्याच्या मूळ स्थानाच्या समांतर विस्थापित असेल तर तो स्वतः देखील बदलला जात नाही

विपरीत, सामान्य परिमाण ज्यांचे मोठेपणा आहे परंतु दिशा नाही त्यांना स्केलर म्हणून संबोधले जाते . उदाहरणार्थ, वेग, प्रवेग आणि विस्थापन हे सदिश परिमाण आहेत, तर वेग, वेळ आणि वस्तुमान ही स्केलरची मूल्ये आहेत.

म्हणून थोडक्यात, आकार आणि दिशा असलेले कोणतेही परिमाणयोग्य प्रमाण हे सदिश असते. प्रमाण आणि भूमिती वापरून चित्रित केले जाऊ शकते.

अनेक व्हेक्टर त्यांच्या दिशा आणि परिमाणानुसार एकमेकांमध्ये जोडले जाऊ शकतात, वजा केले जाऊ शकतात आणि गुणाकार करू शकतात.

आता, ऑर्थोगोनल, लंब आणि सामान्य व्हेक्टरवर जाण्यापूर्वी, आम्ही प्रथम लंब, ऑर्थोगोनल आणि नॉर्मलची व्याख्या समजून घेणे आवश्यक आहे. थोडक्यात, या गणितीय संज्ञा सारख्याच आहेत, तरीही परिस्थितीजन्य वापरामध्ये थोडाफार फरक आहे.

तुम्हाला काही सदिश आणि स्केलर परिमाणांची ओळख करून देण्यासाठी मी खाली एक सारणी समाविष्ट केली आहे.

वेक्टर म्हणजे काय?

वेक्टर्सचे वर्णन करणारा हा उत्तम प्रकारे तयार केलेला व्हिडिओ पहा:

वेक्टर म्हणजे काय?

लंब, ऑर्थोगोनल आणि नॉर्मलमध्ये काय फरक आहे?

सर्वात प्रामाणिक उत्तर "काही नाही" आहे. अशी परिस्थिती असते जिथे एकाचा वापर दुसर्‍यापेक्षा जास्त केला जाण्याची शक्यता असते, परंतु ते सहसा स्पष्टतेच्या कमी नुकसानासह बदलले जाऊ शकतात, म्हणजे सर्वसाधारणपणे, प्रत्येक शब्दाच्या सभोवतालचा संदर्भ, लक्षात ठेवा की हे अत्यंत लवचिक आहे:<3

लंब हा शास्त्रीय भूमितीतील "रेषा-समान" वस्तू (रेषा, किरण, रेषाखंड) यांच्यातील संबंध आहे, जो त्यांच्या छेदनबिंदूवरील कोणताही कोन 90 अंश (किंवा) असेल तेव्हा समाधानी होतो π/2π/2 रेडियन, किंवा वर्तुळाचा एक चतुर्थांश, इ.).

ऑर्थोगोनल हे व्हेक्टरमधील परस्परसंवाद आहे जे द्विरेखीय स्वरूप नाहीसे झाल्यावर समाधानी होते. लाइन-लाइक्सच्या छेदनबिंदूचे व्हेक्टरच्या जोडीमध्ये रूपांतर केल्यानंतर, लंबकता ही युक्लिडियन स्पेसमधील ऑर्थोगोनॅलिटी असते (नेहमीच्या बिंदू उत्पादनासह एकत्रित केलेली), काहीवेळा विशेषतः एक समतलता असते.

सामान्य एक प्रकारचा असतो. मॅनिफोल्डवरील वेक्टरचे (उदाहरणार्थ, पृष्ठभाग) एका हायपरडायमेंशनल (वेक्टर) स्पेसमध्ये ऑर्थोगोनल ते स्पर्शिकेच्या जागेत अंतर्भूत केले जाते, हे पॅरामीटराइज्ड वक्रच्या स्पर्शिका वेक्टरच्या व्युत्पन्नाचे नाव देखील आहे, जेथे द्विसामान्य आहे"सामान्य" (सामान्य अर्थाने) स्पर्शिका आणि सामान्य द्वारे तयार केलेल्या विमानासाठी वेक्टर. तपासण्यासारखे काहीतरी आहे की सामान्य हा सहसा एकक-लांबीच्या सदिशाचा देखील संदर्भ घेऊ शकतो, जसे की ऑर्थोनॉर्मल.

परिणामी, कोणताही वास्तविक भेद नाही, परंतु "लंब" बहुतेक वेळा दोन आयामांसाठी वापरला जातो. , तीनसाठी “सामान्य” आणि भूमिती पूर्णपणे सोडून दिल्यावर “ऑर्थोगोनल” (जेणेकरून तुम्ही ऑर्थोगोनल फंक्शन्सबद्दल बोलू शकाल).

आता आम्ही आमच्या संकल्पना साफ केल्या आहेत, लागू केल्यावर या संज्ञा कशा वेगळ्या होतात ते पाहू. भौमितिक सदिशांना.

सामान्य वेक्टर ऑर्थोगोनल सारखाच असतो का?

कागदावर, त्यांची व्याख्या समान आहे असे दिसते, परंतु सैद्धांतिकदृष्ट्या, त्यांच्या स्पष्टपणे भिन्न व्याख्या आहेत. दोन लंब सदिश ऑर्थोगोनल आहेत आणि एक दुसर्‍यासाठी सामान्य आहे, परंतु शून्य सदिश कोणत्याही वेक्टरसाठी सामान्य नसतो तर प्रत्येक वेक्टरसाठी ऑर्थोगोनल असतो.

सामान्यपणे, एक "सामान्य" 90-अंश रेषेचे भौमितिक वर्णन आहे, तर “ऑर्थोगोनल” हे गणितीय म्हणून निवडकपणे वापरले जाते.

तथापि, त्या सर्वांचा अर्थ काटकोनात, आणि ही लाजिरवाणी गोष्ट आहे की एका संकल्पनेसाठी खूप भिन्न शब्द आहेत.

तुम्ही असे म्हणू शकता की दोन वेक्टर एकमेकांच्या काटकोनात आहेत, ऑर्थोगोनल किंवा लंब आहेत आणि या सर्वांचा अर्थ एकच आहे. लोक असेही म्हणतात की एक वेक्टर दुसर्‍यासाठी सामान्य आहे आणि त्याचा अर्थ बराचसा समान आहेगोष्ट.

तुम्ही असे म्हणू शकता की व्हेक्टरचा एक संच एकमेकांच्या ९० अंशांवर किंवा काटकोनात असतो, तो कदाचित परस्पर किंवा जोडीने ऑर्थोगोनल, परस्पर किंवा जोडीने लंब किंवा एकमेकांना सामान्य असू शकतो आणि याचा अर्थ समान आहे गोष्ट.

तुम्ही म्हणू शकता की व्हेक्टर वक्र किंवा पृष्ठभागाच्या काटकोनात आहे, त्याला ऑर्थोगोनल आहे, त्याला लंब आहे किंवा त्याच्यासाठी सामान्य आहे आणि या सर्वांचा अर्थ एकच आहे. तथापि, वक्र आणि पृष्ठभागांबद्दल बोलत असताना, अधिक योग्य शब्द "सामान्य" आहे

दोन सरळ व्हेक्टर हाताळताना लोक ते एकमेकांना बदलून वापरतात, परंतु मी वक्र किंवा पृष्ठभाग हाताळताना विशिष्ट वापर पाहिले आहेत. व्हिज्युअलायझेशनसाठी खालील प्रतिमेवर एक नजर टाका.

ते सर्व सूचित करतात की नव्वद-अंश कोन अस्तित्वात आहे. तथापि, काटकोनांच्या संचाचे मुख्यत्व सामान्यतः वापर वेगळे करते. दोन सदिशांबद्दल बोलताना ‘लंब’ वापरला जातो.

'ऑर्थोगोनल' हा शब्द वारंवार नव्वद अंशाच्या कोनात असलेल्या सदिशाचे वर्णन करण्यासाठी वापरला जातो जो किमान 2 स्वतंत्र व्हेक्टरसाठी असतो, परंतु अनेक नसतात (दुसर्‍या शब्दात, ही एक शक्यता असते परंतु केवळ बिंदू जेथे व्हेक्टर गणले जातात).

'सामान्य' वापरला जातो जेव्हा काटकोनात असलेल्या सदिशांची संख्या एक अगणित संच तयार करते, म्हणजे संपूर्ण समतल .

हे चित्र तुम्हाला मुख्य फरकांची कल्पना करण्यात मदत करेल.

ऑर्थोगोनल, सामान्य आणि लंब सदिशांच्या वेगवेगळ्या प्रकरणांमध्ये.

आहेऑर्थोगोनल म्हणजे लंब?

ऑर्थोगोनल आणि लंब हे लंब असण्याच्या गुणधर्मापेक्षा वेगळे आहेत ( लंबता ). हे दोन रेषांमधील संबंध आहे जे 90 अंश किंवा काटकोनात भेटतात.

मालमत्ता इतर संबंधित भौमितिक वस्तूंपर्यंत विस्तारित असल्याचे म्हटले जाते. ऑर्थोगोनल म्हणजे काटकोनातील दोन रेषांचा संबंध.

ऑर्थोगोनल म्हणजे लंब असलेल्या किंवा काटकोन असलेल्या रेषांशी संबंधित किंवा समाविष्ट करणे, यासाठी दुसरी संज्ञा ऑर्थोग्राफिक आहे.

जेव्हा रेषा लंब असतात, त्या काटकोनात छेदतात. उदाहरणार्थ, आयत आणि चौकोनाचे कोपरे सर्व काटकोन असतात.

प्रत्येक वेक्टरला शून्य वेक्टर ऑर्थोगोनल आहे का?

जर 2 सदिशांमधील गुणाकार 0 असेल तर ते एकमेकांना ऑर्थोगोनल मानले जातात, त्यामुळे x,y ∈ X in (X,) = 0 असल्यास ऑर्थोगोनल आहेत, आता x आणि y मध्ये असल्यास (X,) ऑर्थोगोनल आहेत तर याचा अर्थ x चे कोणतेही स्केलर गुणक देखील y चे ऑर्थोगोनल आहे.

काम केलेले उदाहरण पहा.

1. x,y>=k< x,y >=k0= 0
2. आता घ्या k=0
3. नंतर< 0 ,y>=0
4. ज्याचा अर्थ असा की शून्य सदिश प्रत्येक इतर वेक्टरसाठी ऑर्थोगोनल आहे.

शून्य वेक्टरच्या स्थितीचा विचार करण्याचा आणखी एक मार्ग सामान्य वेक्टर आहे:

1. कोणत्याही दोन सदिशांचा विचार करा A आणि B कोनात कार्य करणा-याθ.θ.
2. समजा A×B=0A×B=0
3. ABsinθn=0ABsinθn=0(n एकक सदिश आहे.)
4. A=0A=0 किंवा B=0B=0 किंवा sinθ=0sinθ=0
5. A=0A=0 किंवा B=0B =0 किंवा θ=0,πθ=0,π
6. A=0A=0 किंवा B=0B=0 किंवा A & B समांतर आहेत.
7. समजा A.B=0A.B=0
8. ABcosθ=0ABcosθ=0
9. A=0A=0 किंवा B=0B=0 किंवा cosθ=0cosθ=0
10. A=0A=0 किंवा B=0B=0 किंवा θ=π2θ =π2
11. A=0A=0 किंवा B=0B=0 किंवा A & B लंब आहेत.
12. आता आपण खालीलप्रमाणे परिस्थिती निर्माण करतो:
13. समजा A×B=0A×B=0 आणि A.B=0A.B=0
14. हे तेव्हाच शक्य आहे जेव्हा A=0A=0 किंवा B=0B=0
15. येथे आपण पाहतो दोन्ही अटी फक्त सत्य असू शकतात जर सदिशांपैकी एक शून्य असेल.
16. समजा B=0B=0
17. पहिल्या स्थितीपासून, आम्ही असा अंदाज लावू शकतो की O A.
18. दुसऱ्या अटीवरून, आम्ही अनुमान लावू शकतो की O A ला लंब आहे.

म्हणून, नल वेक्टर(शून्य वेक्टर) ला अनियंत्रित दिशा आहे. ते समांतर किंवा लंब किंवा कोणत्याही वेक्टरला इतर कोणत्याही कोनात असू शकते.

निष्कर्ष

या लेखातील मुख्य तपशील येथे आहेत:

• वेक्टर हे परिमाण आणि दिशा असलेले कोणतेही भौतिक प्रमाण आहे
• ऑर्थोगोनल, सामान्य आणि लंब हे दुसर्‍या ऑब्जेक्टच्या संदर्भात 90 अंशांवर असलेल्या वस्तूचे वर्णन करण्यासाठी संज्ञा आहेत. तर, दरम्यान फक्त काही तांत्रिक फरक आहेतजेव्हा ते वेक्टरवर लागू होतात.
• ते सर्व सूचित करतात की नव्वद-अंश कोन अस्तित्वात आहे. तथापि, काटकोनांच्या संचाचे मुख्यत्व सामान्यतः वापर वेगळे करते. दोन सदिशांबद्दल बोलताना ‘लंब’ वापरला जातो.
• 'ऑर्थोगोनल' हा शब्द नेहमी नव्वद अंशाच्या कोनात असलेल्या सदिशाचे वर्णन करण्यासाठी वापरला जातो जो किमान 2 स्वतंत्र व्हेक्टरसाठी असतो, परंतु अनेक आवश्यक नसतात (दुसऱ्या शब्दात, ही एक शक्यता असते परंतु केवळ बिंदू जेथे वेक्टरची गणना केली जाते).
• 'सामान्य' वापरला जातो जेव्हा काटकोनात असणा-या सदिशांची संख्या एक अगणित संच बनवते, म्हणजे संपूर्ण समतल.
• रोजच्या भाषेत, ते अक्षरशः समान असतात.<21

मला आशा आहे की हा लेख सदिशांशी व्यवहार करताना ऑर्थोगोनल, सामान्य आणि लंब यांच्यातील फरक अधिक चांगल्या प्रकारे समजून घेण्यास मदत करेल.

एक सक्रिय आणि अ मध्ये काय फरक आहे प्रतिक्रियात्मक शक्ती? (कॉन्ट्रास्ट)

वेक्टर आणि टेन्सरमध्ये काय फरक आहे? (स्पष्टीकरण)

समीकरणे आणि कार्ये यांच्यातील फरक-1