ویکٹر، هڪ موضوع ڪجهه ماڻهن کي سولو لڳندو آهي، جڏهن ته ڪن کي اهو ڪافي مشڪل لڳندو آهي، جڏهن ته ویکٹرز جي وصف ۽ بنيادي ڳالهين کي سمجھڻ هر ڪنهن لاءِ بي پرواهه هوندو آهي، خاص ڪري euclidean جاميٽري (2-dimensional geometry) ۾، شيون حاصل ٿينديون آهن. مونجهارو آهي جڏهن اسان 3-dimensional vectors ۽ non-linear (curved) vectors تي هلون ٿا.

جيتوڻيڪ ویکٹر رياضياتي طور سادو ۽ انتهائي ڪارآمد آهن جڏهن ته فزڪس ۾، اهي پنهنجي جديد شڪل ۾ ترقي نه ڪيا ويا هئا. 19هين صديءَ جي آخر تائين نه جڏهن جوشيا ولارڊ گبز ۽ اوليور هيويسائيڊ (ترتيب آمريڪا ۽ انگلينڊ جا) هر هڪ ویکٹر تجزيي کي لاڳو ڪن ٿا ته جيئن نئين قانونن جي اظهار ۾ مدد ڪن. 2>اليڪٽرومگنيٽزم .

برقناطيسيزم جيمس ڪلرڪ ميڪسويل پاران تجويز ڪيل آهي. اها ڪافي حيرت انگيز ڳالهه آهي، ڇاڪاڻ ته اهو ئي وقت هو جڏهن اسان ذيلي ائٽمي ذرڙن کي دريافت ڪرڻ شروع ڪيو ۽ جديد دور جي ايٽم جو خيال پيدا ڪيو. ڪنهن شئي کي بيان ڪرڻ لاءِ اصطلاح جيڪي ڪنهن ٻئي شئي جي حوالي سان 90 درجا آهن. تنهنڪري انهن جي وچ ۾ صرف چند ٽيڪنيڪل فرق آهن جڏهن ویکٹر تي لاڳو ٿين ٿا. مختصر طور تي، اهي هڪجهڙا آهن پر هڪجهڙا نه آهن.

مون سان شامل ٿيو جيئن آئون انهن رياضياتي اصطلاحن جي وچ ۾ معمولي فرق کي چڱي طرح بيان ڪريان.

ویکٹر ڇا آهي؟

ویکٹر کي عام طور تي تير سان ظاھر ڪيو ويندو آھي ساڳئي طرف سانمقدار ۽ ڊيگهه مقدار جي طول و عرض جي متناسب. اهو هڪ مقدار آهي جنهن جي شدت ۽ سمت ٻنهي آهي.

جيتوڻيڪ هڪ ویکٹر جي شدت ۽ هدايت آهي، ان جي ڪا پوزيشن ناهي. تسليم ڪيو ويو آهي ته اصل ويڪٽر جي ڊيگهه کي تبديل نه ڪيو ويو آهي، هڪ ویکٹر بذات خود به تبديل نه ڪيو ويندو آهي جيڪڏهن ان کي ان جي اصلي پوزيشن سان متوازي بيدل ڪيو وڃي

ان جي برعڪس، عام مقدار جن ۾ هڪ طول و عرض آهي پر ڪا به هدايت نه آهي اسڪيلر طور حوالو ڏنو ويو آهي. . رفتار، رفتار، ۽ بي گھرڻ، مثال طور، ویکٹر مقدار آھن، جڏھن ته رفتار، وقت، ۽ ماس اسڪالر جا قدر آھن.

تنھنڪري مختصر طور تي، سائيز ۽ سمت سان ڪا به قابل مقدار مقدار ویکٹر آھي. مقدار ۽ جاميٽري استعمال ڪندي بيان ڪري سگھجي ٿو.

ڪيترن ويڪٽرن کي شامل ڪري سگھجي ٿو، گھٽائي سگھجي ٿو، ۽ ھڪ ٻئي سان ضرب ڪري سگھجن ٿا، انھن جي سمت ۽ ماپ جي لحاظ سان.

ھاڻي، آرٿوگونل، عمودي، ۽ عام ويڪٽرن تي ھلڻ کان اڳ، اسين سڀ کان پهرين عمودي، آرٿوگونل ۽ نارمل جي تعريف کي سمجهڻ جي ضرورت آهي. مختصر ۾، اهي رياضياتي اصطلاح ساڳيا آهن، پر حالتن جي استعمال ۾ ٿورا فرق آهن.

مون هيٺ ڏنل جدول شامل ڪيو آهي ته جيئن توهان کي ڪجهه ویکٹر ۽ اسڪيلر مقدارن کان واقف ڪريان.

ویکٹر ڇا آهن؟

ویکٹرز جي وضاحت ڪندي هن سٺي ٺاهيل وڊيو تي هڪ نظر وٺو:

ویکٹر ڇا آهن؟

عمودي، آرٿوگونل، ۽ نارمل جي وچ ۾ ڇا فرق آهي؟

سڀ کان وڌيڪ ايماندار جواب آهي "ڪجهه به ناهي". اهڙيون حالتون آهن جتي هڪ ٻئي جي ڀيٽ ۾ وڌيڪ استعمال ٿيڻ جو امڪان آهي، پر اهي عام طور تي وضاحت جي ٿورڙي نقصان سان مٽائي سگهجن ٿيون، عام طور تي، اهو حوالو جيڪو هر اصطلاح جي چوڌاري آهي، ذهن ۾ رکو ته اهو انتهائي لچڪدار آهي:

Perpendicular ڪلاسيڪي جاميٽري ۾ ”لائن جھڙي“ شين (ليڪ، شعاع، لڪير واري ڀاڱي) جي وچ ۾ هڪ تعلق آهي، جيڪو ان وقت مطمئن ٿئي ٿو جڏهن انهن جي چوڪ تي ڪو به زاويو 90 درجا (يا π/2π/2 شعاع، يا دائري جو چوٿون حصو، وغيره).

Orthogonal ویکٹرز جي وچ ۾ هڪ رابطي آهي جيڪو مطمئن ٿئي ٿو جڏهن بائلينر فارم غائب ٿي وڃي ٿو. ليڪ پسندن جي هڪ چونڪ کي ویکٹر جي هڪ جوڙي ۾ تبديل ڪرڻ کان پوءِ، اڪيليڊن اسپيس ۾ عمودي (orthogonality) (معمولي ڊاٽ پراڊڪٽ سان ضم ٿيل) آهي، ڪڏهن ڪڏهن خاص طور تي هڪ جهاز.

عام هڪ قسم آهي. ویکٹر جو هڪ ميني فولڊ تي (مثال طور، هڪ مٿاڇري) هڪ hyperdimensional (ویکٹر) خلائي orthogonal ۾ ان نقطي تي tangent خلا ۾ encapsulated، اهو پڻ هڪ parameterized وکر جي tangent vector جي نڪتل جو نالو آهي، جتي binormal آهي.”عام“ (معمولي معنيٰ ۾) جهاز ڏانهن ویکٹر جيڪو tangent ۽ نارمل سان ٺهيل آهي. چيڪ ڪرڻ لاءِ ڪجهه اهو آهي ته نارمل اڪثر ڪري هڪ يونٽ ڊگھائي ويڪر ڏانهن اشارو ڪري سگهي ٿو، جيئن آرٿونارمل ۾.

نتيجي طور، ڪو به حقيقي فرق نه آهي، پر ”لمب“ اڪثر ڪري ٻن طول و عرض لاءِ استعمال ٿيندو آهي. , “عام” ٽن لاءِ، ۽ “orthogonal” ان لاءِ جڏهن جاميٽري کي مڪمل طور تي ختم ڪيو ويو آهي (تنهنڪري توهان orthogonal functions بابت ڳالهائي سگهو ٿا).

هاڻي جڏهن اسان پنهنجا تصور صاف ڪري چڪا آهيون، اچو ته ڏسون ته اهي اصطلاح ڪيئن مختلف ٿين ٿا جڏهن لاڳو ٿين ٿا. جاميٽري ويڪٽرن ڏانهن.

ڇا هڪ عام ويڪر هڪ آرٿوگونل وانگر ساڳيو آهي؟

ڪاغذ تي، لڳي ٿو ته اهي ساڳيا وصف آهن، پر نظرياتي طور تي، انهن جون مختلف معنائون آهن. ٻه عمودي ویکٹر آرٿوگونل هوندا آهن ۽ هڪ ٻئي لاءِ نارمل هوندو آهي، پر صفر ویکٹر ڪنهن به ویکٹر لاءِ نارمل نه هوندو آهي جڏهن ته اهو هر ويڪٽر لاءِ آرٿوگونل هوندو آهي.

عام طور تي، a ”عام“ هڪ 90-درجي لڪير جي جاميٽري وضاحت آهي، جڏهن ته "orthogonal" کي منتخب طور تي رياضياتي طور استعمال ڪيو ويندو آهي.

جڏهن ته ساڳئي وقت، انهن سڀني جو مطلب آهي ساڄي زاوين تي، ۽ اها شرم جي ڳالهه آهي ته هڪ تصور لاءِ ڪيترائي مختلف لفظ آهن.

توهان چئي سگهو ٿا ته ٻه ویکٹر هڪ ٻئي جي ساڄي زاويه تي آهن، آرٿوگونل يا عمودي، ۽ انهن سڀني جو مطلب ساڳيو آهي. ماڻهو اهو به چون ٿا ته هڪ ویکٹر ٻئي لاءِ عام آهي، ۽ ان جو گهڻو مطلب ساڳيو آهيشيءِ.

توهان اهو چئي سگهو ٿا ته ويڪٽرن جو هڪ سيٽ 90 درجا يا هڪ ٻئي جي ساڄي زاويه تي آهن، اهو ٿي سگهي ٿو ته هڪ ٻئي لاءِ هڪجهڙائي يا گڏيل طور تي آرٿوگونل، گڏيل طور تي يا گڏيل طور تي عمودي، يا هڪ ٻئي ڏانهن نارمل، ۽ ان جو مطلب ساڳيو آهي. شيءِ.

توهان اهو چئي سگهو ٿا ته هڪ ویکٹر ڪنهن وکر يا مٿاڇري تي ساڄي زاويه تي آهي، ان ڏانهن آرٿوگونل، ان ڏانهن عمودي، يا ان ڏانهن نارمل، ۽ انهن سڀني جو مطلب ساڳيو آهي. جڏهن ته وکر ۽ سطحن جي باري ۾ ڳالهائيندي، وڌيڪ مناسب اصطلاح آهي “عام”

ماڻهو ان کي هڪ ٻئي سان استعمال ڪندا آهن جڏهن ٻه سڌا ويڪٽرن سان ڊيل ڪندا آهن، پر مون خاص استعمال ڏٺا آهن جڏهن وکر يا سطحن سان معاملو ڪندا آهن. ڏسڻ لاءِ هيٺ ڏنل تصوير تي هڪ نظر وجهو.

اهي سڀ ظاهر ڪن ٿا ته هڪ نون ڊگري زاويه موجود آهي. بهرحال، ساڄي زاوين جي سيٽ جي بنيادي حيثيت عام طور تي استعمال کي الڳ ڪري ٿي. 'Perpendicular' اڪثر استعمال ٿيندو آهي جڏهن ٻن ويڪٽرن بابت ڳالهايو وڃي.

اصطلاح 'orthogonal' اڪثر ڪري استعمال ڪيو ويندو آهي هڪ ويڪٽر کي بيان ڪرڻ لاءِ جيڪو ننهن ڊگرين جي زاويي تي گهٽ ۾ گهٽ 2 جدا جدا ویکٹرن تي هجي، پر ضروري ناهي ته گهڻا هجن (ٻين لفظن ۾، اهو هڪ امڪان آهي پر صرف ان لاءِ. پوائنٽ جتي ویکٹر ڳڻيا ويندا آهن).

'نارمل' استعمال ڪيو ويندو آهي جڏهن ويڪٽرن جو تعداد جيڪي ساڄي زاوي تي هوندا آهن هڪ اڻ ڳڻيو سيٽ ٺاهيندا آهن، يعني هڪ سڄو جهاز .

ھي تصوير توھان کي اھم فرق ڏسڻ ۾ مدد ڏيڻ گھرجي.

ویکٹرز جي مختلف صورتن ۾ آرٿوگونل، نارمل ۽ عمودي.

آھيOrthogonal مطلب Perpendicular؟

Orthogonal ۽ Perpendicular عمودي هجڻ جي ملڪيت کان مختلف آهن ( Perpendicularity ). اهو ٻن لائينن جي وچ ۾ تعلق آهي جيڪو 90 درجا يا ساڄي زاوي تي ملن ٿا.

پراپرٽي کي چئبو آهي ٻين لاڳاپيل جاميٽري شين تائين وڌايو وڃي. جڏهن ته آرٿوگونل ٻن لائينن جو تعلق آهي ساڄي زاوين تي.

آرٿوگونل جو مطلب آهي انهن لائينن سان واسطو رکڻ يا ان کي شامل ڪرڻ جيڪي عمودي هجن يا جيڪي ساڄي زاويه ٺاهيندا آهن، ان لاءِ ٻيو اصطلاح آرٿوگرافڪ آهي.

جڏهن لڪيرون عمودي ٿين ٿيون، اهي هڪ ساڄي زاويه تي هڪ ٻئي کي ٽڪرا ٽڪرا ڪن ٿيون. مثال طور، مستطيل ۽ چورس جا ڪنڊا سڀ ساڄي زاويه آهن.

ڇا زيرو ویکٹر هر ویکٹر لاءِ آرٿوگونل آهي؟

جيڪڏهن 2 ویکٹرن جي وچ ۾ پيداوار 0 آهي، ته پوءِ اهي هڪ ٻئي لاءِ آرٿوگونل سمجهيا وڃن، تنهنڪري x,y ∈ X in (X,) orthogonal if = 0، هاڻي جيڪڏهن x ۽ y ۾ (X،) orthogonal آهن پوءِ ان جو مطلب اهو آهي ته x جو ڪو به اسڪيلر ملٽيپ پڻ y ڏانهن آرٿوگونل آهي.

هڪ ڪم ٿيل مثال تي هڪ نظر وجهو.

1. x,y>=k< x,y >=k0= 0
3. جنهن جو مطلب اهو آهي ته صفر ویکٹر هر ٻئي ويڪٽر لاءِ آرٿوگونل هوندو آهي.

ٻيو طريقو هڪ صفر ويڪٽر جي پوزيشن تي غور ڪرڻ لاءِ عام ویکٹر آهي:

1. ڪنهن به ٻن ويڪٽرن تي غور ڪريو A ۽ B زاوي تي ڪم ڪندڙθ.θ.
2. فرض ڪريو A×B=0A×B=0
3. ABsinθn=0ABsinθn=0(n يونٽ ويڪٽر آهي.)
4. A=0A=0 or B=0B=0 or sinθ=0sinθ=0
5. A=0A=0 or B=0B =0 يا θ=0,πθ=0,π
6. A=0A=0 or B=0B=0 or A & B متوازي آهن.
7. فرض ڪريو A.B=0A.B=0
8. ABcosθ=0ABcosθ=0
9. A=0A=0 or B=0B=0 or cosθ=0cosθ=0
10. A=0A=0 or B=0B=0 or θ=π2θ =π2
11. A=0A=0 or B=0B=0 or A & B عمودي آهن.
12. هاڻي اسان هيٺ ڏنل صورتحال ٺاهيندا آهيون: 21>
13. فرض ڪريو A×B=0A×B=0 ۽ A.B=0A.B=0
14. اهو تڏهن ئي ممڪن آهي جڏهن A=0A=0 يا B=0B=0
15. هتي اسان ڏسون ٿا ته ٻئي حالتون تڏهن صحيح ٿي سگهن ٿيون جڏهن هڪ ویکٹر صفر هجي.
16. فرض ڪريو B=0B=0
17. پهرين شرط کان، اسان اهو اندازو لڳائي سگهون ٿا ته O متوازي آهي A.
18. ٻئي شرط مان، اسان اهو اندازو لڳائي سگهون ٿا ته O A.

تڏھن، null vector(zero vector) کي ھڪ صوابديدي طرف آھي. اهو ٿي سگهي ٿو متوازي يا عمودي يا ڪنهن ٻئي زاوي تي ڪنهن به ویکٹر ڏانهن.

نتيجو

هتي هن مضمون جا اهم تفصيل آهن:

• هڪ ویکٹر ڪنهن به فزيڪل مقدار آهي جنهن جي شدت ۽ هدايت آهي
• Orthogonal، normal ۽ perpendicular اهي اصطلاح آهن جيڪي ڪنهن شئي کي بيان ڪرڻ لاءِ آهن جيڪي ٻي شئي جي حوالي سان 90 درجا آهن. تنهن ڪري، وچ ۾ صرف چند ٽيڪنيڪل اختلاف آهنانهن کي جڏهن ویکٹر تي لاڳو ڪيو وڃي.
• اهي سڀ ظاهر ڪن ٿا ته هڪ نون ڊگري زاويه موجود آهي. بهرحال، ساڄي زاوين جي سيٽ جي بنيادي حيثيت عام طور تي استعمال کي الڳ ڪري ٿي. 'Perpendicular' اڪثر استعمال ٿيندو آهي جڏهن ٻن ويڪٽرن بابت ڳالهايو وڃي. 21><18 پوائنٽ جتي ویکٹر ڳڻيا ويا آهن). 21>

مون کي اميد آهي ته هي آرٽيڪل توهان جي مدد ڪندو آرٿوگونل، نارمل ۽ پرپينڊيڪيولر وچ ۾ فرق کي بهتر سمجهڻ ۾ رد عمل واري قوت؟ (The Contrast)

ڇا فرق آهي ویکٹر ۽ ٽينسر جي وچ ۾؟ (وضاحت ڪئي وئي)

مساوات ۽ ڪمن جي وچ ۾ فرق-1