اگرچہ ویکٹرز ریاضیاتی طور پر سادہ اور طبیعیات میں انتہائی مفید ہوتے ہیں، لیکن وہ اپنی جدید شکل میں تیار نہیں ہوئے تھے۔ 19ویں صدی کے آخر تک نہیں جب جوشیا ولارڈ گبز اور اولیور ہیوی سائیڈ (بالترتیب امریکہ اور انگلینڈ کے) ہر ایک ویکٹر تجزیہ کا اطلاق کرتے ہیں تاکہ <کے نئے قوانین کو ظاہر کرنے میں مدد ملے۔ 2>برقی مقناطیسیت ۔

برقی مقناطیسیت کو جیمز کلرک میکسویل نے تجویز کیا ہے۔ یہ کافی حیران کن ہے، کیونکہ یہ اسی وقت تھا جب ہم نے ذیلی ایٹمی ذرات کو دریافت کرنا شروع کیا تھا اور جدید دور کے ایٹم کا خیال تیار کیا تھا۔

مختصر: آرتھوگونل، نارمل اور کھڑے کسی چیز کو بیان کرنے کے لیے اصطلاحات جو کسی دوسری چیز کے حوالے سے 90 ڈگری پر ہو۔ لہٰذا جب ویکٹر پر لاگو ہوتا ہے تو ان کے درمیان صرف چند تکنیکی فرق ہوتے ہیں۔ مختصر طور پر، وہ ملتے جلتے ہیں لیکن ایک جیسے نہیں ہیں۔

میرے ساتھ شامل ہوں کیونکہ میں ان ریاضیاتی اصطلاحات کے درمیان معمولی فرق کی اچھی طرح وضاحت کرتا ہوں۔

ویکٹر کیا ہے؟

ویکٹر کو عام طور پر ایک تیر کے ذریعہ دکھایا جاتا ہے جس کی سمت ایک ہی ہوتی ہے۔مقدار اور لمبائی مقدار کے طول و عرض کے متناسب۔ یہ ایک مقدار ہے جس کی شدت اور سمت دونوں ہیں۔

اگرچہ ایک ویکٹر کی شدت اور سمت ہے، لیکن اس کی کوئی پوزیشن نہیں ہے۔ یہ تسلیم کیا جاتا ہے کہ اصل ویکٹر کی لمبائی کو تبدیل نہیں کیا جاتا ہے، ایک ویکٹر خود بھی تبدیل نہیں ہوتا ہے اگر اسے اس کی اصل پوزیشن کے متوازی طور پر بے گھر کیا جاتا ہے

اس کے برعکس، عام مقداریں جن کا طول و عرض ہے لیکن کوئی سمت نہیں ہے اسے اسکیلرز کہا جاتا ہے۔ . رفتار، سرعت، اور نقل مکانی، مثال کے طور پر، ویکٹر کی مقداریں ہیں، جب کہ رفتار، وقت، اور بڑے پیمانے پر اسکیلرز کی قدریں ہیں۔

تو مختصراً، سائز اور سمت کے ساتھ کوئی بھی قابل مقدار مقدار ایک ویکٹر ہے۔ quantity اور جیومیٹری کا استعمال کرتے ہوئے اس کی مثال دی جا سکتی ہے۔

متعدد ویکٹرز کو ان کی سمت اور وسعت کے لحاظ سے ایک دوسرے سے جوڑا، گھٹایا اور ضرب کیا جا سکتا ہے۔

اب، آرتھوگونل، کھڑے، اور نارمل ویکٹر پر جانے سے پہلے، ہم سب سے پہلے کھڑے، آرتھوگونل اور نارمل کی تعریف کو سمجھنے کی ضرورت ہے۔ مختصراً، یہ ریاضی کی اصطلاحات ایک جیسی ہیں، لیکن حالات کے استعمال میں تھوڑا سا فرق ہے۔

میں نے ذیل میں ایک جدول شامل کیا ہے تاکہ آپ کو کچھ ویکٹر اور اسکیلر مقداروں سے واقف کرایا جا سکے۔

ویکٹرز کیا ہیں؟

ویکٹرز کی وضاحت کرنے والی اس اچھی طرح سے بنائی گئی ویڈیو پر ایک نظر ڈالیں:

ویکٹرز کیا ہیں؟

کھڑے، آرتھوگونل اور نارمل میں کیا فرق ہے؟

سب سے ایماندار جواب ہے "کچھ نہیں"۔ ایسے حالات ہوتے ہیں جہاں ایک کے دوسرے کے مقابلے میں استعمال ہونے کا زیادہ امکان ہوتا ہے، لیکن وہ عام طور پر وضاحت کے بہت کم نقصان کے ساتھ بدلے جا سکتے ہیں، یعنی عام طور پر، ہر اصطلاح کو گھیرنے والا سیاق و سباق، ذہن میں رکھیں کہ یہ انتہائی لچکدار ہے:<3

کھڑا کلاسیکی جیومیٹری میں "لائن نما" اشیاء (لائن، شعاع، لائن سیگمنٹ) کے درمیان ایک رشتہ ہے، جو اس وقت مطمئن ہوتا ہے جب ان کے چوراہے پر کوئی بھی زاویہ 90 ڈگری (یا π/2π/2 ریڈینز، یا دائرے کا ایک چوتھائی، وغیرہ۔)۔

آرتھوگونل ویکٹرز کے درمیان ایک تعامل ہے جو اس وقت مطمئن ہوتا ہے جب دو لکیری شکل ختم ہو جاتی ہے۔ لائن لائکس کے ایک چوراہے کو ویکٹر کے جوڑے میں تبدیل کرنے کے بعد، یوکلیڈین اسپیس (معمول کے ڈاٹ پروڈکٹ کے ساتھ مربوط) میں عمودی حیثیت آرتھوگونالٹی ہے، بعض اوقات خاص طور پر ایک طیارہ۔

عام ایک قسم ہے۔ کئی گنا (مثال کے طور پر، ایک سطح) پر ویکٹر کا ایک ہائپر ڈائمینشنل (ویکٹر) اسپیس آرتھوگونل میں ٹینجنٹ اسپیس میں اس مقام پر محیط ہے یہ پیرامیٹرائزڈ کریو کے ٹینجنٹ ویکٹر کے مشتق کا نام بھی ہے، جہاں بائنارمل ہے"نارمل" (معمولی معنوں میں) ٹینجنٹ اور نارمل سے بننے والے ہوائی جہاز کا ویکٹر۔ چیک کرنے کے لیے کچھ یہ ہے کہ نارمل اکثر اکائی کی لمبائی کے ویکٹر کا بھی حوالہ دے سکتا ہے، جیسا کہ آرتھونارمل میں۔

اس کے نتیجے میں، کوئی حقیقی فرق نہیں ہے، لیکن "لمبوت" اکثر دو جہتوں کے لیے استعمال ہوتا ہے۔ , تین کے لیے "عام"، اور "آرتھوگونل" جب جیومیٹری کو مکمل طور پر ترک کر دیا جاتا ہے (تاکہ آپ آرتھوگونل فنکشنز کے بارے میں بات کر سکیں)۔ جیومیٹریکل ویکٹر کے لیے۔

کیا ایک نارمل ویکٹر آرتھوگونل جیسا ہوتا ہے؟

کاغذ پر، ان کی ایک ہی تعریف معلوم ہوتی ہے، لیکن نظریاتی طور پر، ان کی واضح طور پر مختلف تعریفیں ہیں۔ دو عمودی ویکٹر آرتھوگونل ہیں اور ایک دوسرے کے لیے نارمل ہے، لیکن صفر ویکٹر کسی بھی ویکٹر کے لیے نارمل نہیں ہے جب کہ یہ ہر ویکٹر کے لیے آرتھوگونل ہے۔

عام طور پر، ایک "نارمل" 90-ڈگری لائن کی ہندسی وضاحت ہے، جب کہ "آرتھوگونل" کو منتخب طور پر ریاضی کے طور پر استعمال کیا جاتا ہے۔

تاہم ایک ہی وقت میں، ان سب کا مطلب صحیح زاویوں پر، اور یہ شرم کی بات ہے کہ ایک تصور کے لیے بہت سے مختلف الفاظ ہیں۔

آپ کہہ سکتے ہیں کہ دو ویکٹر ایک دوسرے کے دائیں زاویوں پر ہیں، آرتھوگونل، یا کھڑے ہیں، اور ان سب کا مطلب ایک ہی ہے۔ لوگ یہ بھی کہتے ہیں کہ ایک ویکٹر دوسرے کے لیے نارمل ہے، اور اس کا مطلب ایک ہی ہے۔بات۔

آپ کہہ سکتے ہیں کہ ویکٹرز کا ایک سیٹ ایک دوسرے کے 90 ڈگری یا دائیں زاویے پر ہے، ہو سکتا ہے یہ باہمی یا جوڑے کی طرف آرتھوگونل، باہمی طور پر یا جوڑے کی طرف کھڑا ہو، یا ایک دوسرے کے لیے نارمل ہو، اور اس کا مطلب ایک ہی ہے۔ چیز۔

آپ کہہ سکتے ہیں کہ ایک ویکٹر کسی وکر یا سطح کے دائیں زاویوں پر ہے، اس کے لیے آرتھوگونل، اس کے لیے کھڑا، یا اس کے لیے نارمل، اور ان سب کا مطلب ایک ہی چیز ہے۔ تاہم جب منحنی خطوط اور سطحوں کے بارے میں بات کرتے ہیں تو، زیادہ مناسب اصطلاح ہے "نارمل"

لوگ دو سیدھے ویکٹرز کے ساتھ کام کرتے وقت اسے ایک دوسرے کے ساتھ استعمال کرتے ہیں، لیکن میں نے منحنی خطوط یا سطحوں سے نمٹنے کے دوران مخصوص استعمال دیکھے ہیں۔ تصور کے لیے نیچے دی گئی تصویر پر ایک نظر ڈالیں۔

ان سب کا مطلب ہے کہ نوے ڈگری کا زاویہ موجود ہے۔ تاہم، صحیح زاویوں کے سیٹ کی بنیادی حیثیت عام طور پر استعمال کو الگ کرتی ہے۔ دو ویکٹرز کے بارے میں بات کرتے وقت 'لمبائی' اکثر استعمال ہوتا ہے۔ 1><0 وہ نقطہ جہاں ویکٹرز کو شمار کیا جاتا ہے)۔

'نارمل' اس وقت استعمال ہوتا ہے جب صحیح زاویہ پر موجود ویکٹرز کی تعداد ایک بے شمار سیٹ بناتی ہے، یعنی ایک پورا طیارہ ۔

اس تصویر سے آپ کو کلیدی فرقوں کو دیکھنے میں مدد ملے گی۔

ویکٹرز کی مختلف صورتوں میں آرتھوگونل، نارمل، اور پینڈیکولر۔

ہےآرتھوگونل مطلب کھڑا؟

آرتھوگونل اور پینڈیکولر کھڑے ہونے کی خاصیت سے مختلف ہیں ( استعمال )۔ یہ دو لائنوں کے درمیان تعلق ہے جو 90 ڈگری یا صحیح زاویہ پر ملتے ہیں.

کہا جاتا ہے کہ جائیداد دیگر متعلقہ جیومیٹرک اشیاء تک پھیلی ہوئی ہے۔ جب کہ آرتھوگونل دائیں زاویوں پر دو لائنوں کا تعلق ہے۔

آرتھوگونل کا مطلب ہے ان لکیروں سے متعلق یا ان کو شامل کرنا جو کھڑے ہیں یا جو دائیں زاویہ بناتے ہیں، اس کے لیے ایک اور اصطلاح آرتھوگرافک ہے۔

جب لکیریں کھڑی ہوتی ہیں، تو وہ ایک دائیں زاویہ پر آپس میں ملتی ہیں۔ مثال کے طور پر، مستطیل اور مربع کے کونے تمام صحیح زاویہ ہوتے ہیں۔

کیا زیرو ویکٹر ہر ویکٹر کے لیے آرتھوگونل ہوتا ہے؟

اگر 2 ویکٹروں کے درمیان مصنوعہ 0 ہے، تو وہ ایک دوسرے کے لیے آرتھوگونل تصور کیے جاتے ہیں، لہذا x,y ∈ X in (X,) آرتھوگونل ہیں اگر =0، اب اگر x اور y میں (X،) آرتھوگونل ہیں تو اس کا مطلب ہے کہ x کا کوئی بھی اسکیلر ملٹیپل بھی y کے لیے آرتھوگونل ہے۔

کام کی گئی مثال پر ایک نظر ڈالیں۔

1. x,y>=k< x,y >=k0= 0
2. اب لیں k=0
3. پھر< 0 ,y>=0
4. جس کا مطلب ہے کہ صفر ویکٹر ہر دوسرے ویکٹر کے لیے آرتھوگونل ہوتا ہے۔

ایک اور طریقہ سے زیرو ویکٹر کی پوزیشن پر غور کرنا عام ویکٹر یہ ہے:

1. کسی بھی دو ویکٹرز پر غور کریں A اور B زاویہ پر عمل کرتے ہوئےθ.θ.
2. فرض کریں A×B=0A×B=0
3. ABsinθn=0ABsinθn=0(n یونٹ ویکٹر ہے۔)
4. A=0A=0 یا B=0B=0 or sinθ=0sinθ=0
5. A=0A=0 یا B=0B =0 یا θ=0,πθ=0,π
6. A=0A=0 یا B=0B=0 یا A & B متوازی ہیں۔
7. فرض کریں A.B=0A.B=0
8. ABcosθ=0ABcosθ=0
9. A=0A=0 یا B=0B=0 یا cosθ=0cosθ=0
10. A=0A=0 یا B=0B=0 یا θ=π2θ =π2
11. A=0A=0 یا B=0B=0 یا A & B کھڑے ہیں۔
12. اب ہم مندرجہ ذیل صورت حال بناتے ہیں:
13. فرض کریں A×B=0A×B=0 اور A.B=0A.B=0
14. یہ صرف اس صورت میں ممکن ہے جب A=0A=0 یا B=0B=0
15. یہاں ہم دیکھتے ہیں کہ دونوں حالتیں صرف اس صورت میں درست ہو سکتی ہیں جب ویکٹر میں سے ایک صفر ہو۔
16. فرض کریں B=0B=0
17. پہلی شرط سے، ہم یہ اندازہ لگا سکتے ہیں کہ O A کے متوازی ہے۔
18. دوسری شرط سے، ہم اندازہ لگا سکتے ہیں کہ O A.

اس لیے، null vector(zero vector) کی ایک صوابدیدی سمت ہے۔ یہ کسی بھی ویکٹر کے متوازی یا کھڑے یا کسی دوسرے زاویے پر ہو سکتا ہے۔

نتیجہ

اس مضمون کی اہم تفصیلات یہ ہیں:

• ایک ویکٹر کوئی بھی جسمانی مقدار ہے جس کی شدت اور سمت ہے
• آرتھوگونل، نارمل، اور پینڈیکولر ایسی اصطلاحات ہیں جو کسی چیز کو بیان کرنے کے لیے ہیں جو کسی دوسری چیز کے حوالے سے 90 ڈگری پر ہے۔ لہذا، کے درمیان صرف چند تکنیکی اختلافات ہیںجب ان کا اطلاق ویکٹر پر ہوتا ہے۔
• ان سب کا مطلب یہ ہے کہ نوے ڈگری کا زاویہ موجود ہے۔ تاہم، صحیح زاویوں کے سیٹ کی بنیادی حیثیت عام طور پر استعمال کو الگ کرتی ہے۔ دو ویکٹرز کے بارے میں بات کرتے وقت 'لمبائی' اکثر استعمال ہوتا ہے۔ 21><18 نقطہ جہاں ویکٹر کی گنتی کی جاتی ہے)۔
18

مجھے امید ہے کہ یہ مضمون آپ کو ویکٹرز سے نمٹنے کے دوران آرتھوگونل، نارمل، اور پرپینڈیکولر کے درمیان فرق کو بہتر طور پر سمجھنے میں مدد کرے گا۔

ایک فعال اور ایک کے درمیان کیا فرق ہے؟ رد عمل کی قوت؟ (متضاد)

ویکٹر اور ٹینسرز میں کیا فرق ہے؟ (وضاحت کردہ)

مساوات اور افعال کے درمیان فرق -1