Vektorok, egy olyan téma, amelyet egyesek könnyűnek találnak, míg másoknak inkább kihívást jelent, Míg a vektorok definíciójának és alapjainak megértése bárki számára egyfajta nem-agyi dolog, különösen az euklideszi geometriában (2 dimenziós geometria), a dolgok összezavarodnak, amikor a 3 dimenziós vektorokra és a nemlineáris (görbült) vektorokra lépünk.

Bár a vektorok matematikailag egyszerűek és rendkívül hasznosak a fizikában, modern formájukban mégsem alakultak ki. Csak a 19. század végén, amikor a Josiah Willard Gibbs és Oliver Heaviside (az Egyesült Államokban és Angliában) mindketten vektoranalízist alkalmaznak annak érdekében, hogy segítsenek kifejezni az új törvényeket. elektromágnesesség .

Az elektromágnesességet javasolta James Clerk Maxwell. Ez eléggé meglepő, hiszen nagyjából ugyanabban az időben kezdtük felfedezni a szubatomi részecskéket és kidolgozni a modern atom fogalmát.

Röviden: Az ortogonális, normális és merőleges kifejezések olyan tárgyakat jelölnek, amelyek 90 fokban állnak egy másik tárgyhoz képest. Tehát csak néhány technikai különbség van köztük, amikor vektorokra alkalmazzák őket. Dióhéjban összefoglalva: hasonlóak, de nem ugyanazok.

Csatlakozzon hozzám, amikor alaposan elmagyarázom a matematikai kifejezések közötti apró különbségeket.

Mi az a vektor?

A vektort jellemzően egy nyíl ábrázolja, amelynek iránya megegyezik a mennyiség irányával, és amelynek hossza arányos a mennyiség amplitúdójával. Ez egy olyan mennyiség, amelynek mind nagysága, mind iránya van.

Bár a vektor Ha az eredeti vektor hossza nem változik, akkor maga a vektor sem változik, ha az eredeti helyzetével párhuzamosan eltoljuk.

Ezzel szemben az amplitúdóval rendelkező, de irány nélküli közönséges mennyiségeket skalárnak nevezzük. A sebesség, a gyorsulás és az elmozdulás például vektoros mennyiségek, míg a sebesség, az idő és a tömeg skalár értékek.

Tehát dióhéjban, minden mérhető mennyiség, amelynek mérete és iránya van, vektormennyiség. és a geometria segítségével szemléltethető.

Több vektor összeadható, kivonható és szorozható egymással, irányuk és nagyságuk tekintetében.

Mielőtt rátérnénk az ortogonális, merőleges és normális vektorokra, először is meg kell értenünk a merőleges, az ortogonális és a normális definícióját. Röviden, ezek a matematikai kifejezések ugyanazok, de a szituációs használatukban némi különbség van.

Az alábbi táblázatban megismertetlek néhány vektoros és skaláris mennyiséggel.

Mik azok a vektorok?

Nézze meg ezt a jól elkészített videót a vektorok leírásáról:

Mik azok a vektorok?

Mi a különbség a merőleges, az ortogonális és a normális között?

A legőszintébb válasz a "semmi". Vannak helyzetek, amikor az egyiket nagyobb valószínűséggel használják, mint a másikat, de általában felcserélhetőek, az egyértelműség kis veszteségével, vagyis általában az egyes kifejezéseket körülvevő kontextusban, ne feledje, hogy ez rendkívül rugalmas:

Merőleges a klasszikus geometriában az "egyenesszerű" objektumok (egyenes, sugár, vonalszakasz) közötti kapcsolat, amely akkor teljesül, ha bármelyikük metszéspontjában lévő szög 90 fok (vagy π/2π/2 radián, vagy egy kör negyed része stb.).

Ortogonális a vektorok közötti kölcsönhatás, amely akkor teljesül, ha a bilineáris alak eltűnik. Miután egy vonal-szerűség metszéspontját vektorpárrá transzformáltuk, a merőlegesség az euklideszi térben (a szokásos pontszorzóval integrálva), néha kifejezetten egy síkban az ortogonalitás.

Normál egyfajta vektor egy sokaságon (például egy felületen), amely egy hiperdimenziós (vektor)térbe van foglalva, amely az adott pont érintőterére ortogonális Ez a neve egy paraméterezett görbe érintővektorának deriváltjának is, ahol a binormális a "normális" (a szokásos értelemben vett) vektor az érintő és a normális által alkotott síkhoz képest. Valamit meg kell nézni, hogy a normális gyakran utalhat aegységnyi hosszúságú vektor is, mint például az ortonormálisban.

Ennek eredményeképpen nincs igazi megkülönböztetés, de a "merőleges" szót gyakran használják két dimenzióra, a "normális" szót három dimenzióra, az "ortogonális" szót pedig arra az esetre, ha a geometria teljesen elhagyott (így beszélhetünk ortogonális függvényekről).

Most, hogy tisztáztuk a fogalmainkat, lássuk, hogyan különböznek ezek a terminológiák a geometriai vektorokra alkalmazva.

A normális vektor ugyanaz, mint az ortogonális?

Papíron, látszólag azonos definícióval rendelkeznek, de elméletileg határozottan különböző definíciókkal rendelkeznek. Két egymásra merőleges vektor ortogonális, és az egyik normális a másikra, de a nullvektor nem normális egyetlen vektorra sem, míg minden vektorra ortogonális.

Általánosságban, a "normális" egy 90 fokos vonal geometriai leírása, míg az "ortogonális" szelektíven használt matematikai kifejezés.

Ugyanakkor azonban mindannyian azt jelentik, hogy derékszögben, és szégyen, hogy ennyi különböző szó van egy fogalomra.

Mondhatjuk, hogy két vektor derékszögben áll egymásra, ortogonális vagy merőleges, és ez mind ugyanazt jelenti. Azt is mondják, hogy egy vektor normális egy másikra, és ez nagyjából ugyanazt jelenti.

Mondhatjuk, hogy a vektorok egy halmaza 90 fokban vagy derékszögben áll egymáshoz képest, lehet, hogy kölcsönösen vagy párosan ortogonálisak, kölcsönösen vagy párosan merőlegesek vagy normálisak egymásra, és ez ugyanazt jelenti.

Mondhatjuk, hogy egy vektor merőleges egy görbére vagy felületre, ortogonális rá, merőleges rá, vagy normális rá, és ezek mind ugyanazt jelentik. Amikor azonban görbékről és felületekről beszélünk, a megfelelőbb kifejezés a "normális".

Az emberek felcserélhetően használják, amikor két egyenes vektorral van dolguk, de láttam speciális felhasználásokat, amikor görbékkel vagy felületekkel van dolguk. Nézd meg az alábbi képet a szemléltetéshez.

Mindegyik azt jelenti, hogy létezik kilencven fokos szög. A derékszögek halmazának kardinalitása azonban általában elkülöníti a használatot. A "merőleges" kifejezést gyakran használják, amikor két vektorról beszélnek.

Az "ortogonális" kifejezést gyakran használják egy olyan vektor leírására, amely legalább 2 különálló vektorral kilencven fokos szöget zár be, de nem feltétlenül többel (más szóval, ez egy lehetőség, de csak addig a pontig, ahol a vektorok felsorolásra kerülnek).

A "normál" kifejezést akkor használjuk, ha a derékszögben álló vektorok száma megszámlálhatatlan halmazt alkot, azaz egy teljes síkot. .

Ez a kép segíthet szemléltetni a legfontosabb különbségeket.

Ortogonális, normális és merőleges a vektorok különböző eseteiben.

Az ortogonális azt jelenti, hogy merőleges?

Az ortogonális és a merőleges eltér a merőlegesség tulajdonságától ( Merőlegesség ). Két olyan egyenes viszonya, amelyek 90 fokban vagy derékszögben találkoznak.

A tulajdonságról azt mondják, hogy kiterjed más kapcsolódó geometriai objektumokra is. Míg az ortogonális két egyenes derékszögű viszonya.

Az ortogonális olyan vonalakkal kapcsolatos vagy azokat érinti, amelyek merőlegesek egymásra vagy derékszöget alkotnak, egy másik kifejezés erre az ortográfiai.

Amikor a vonalak merőlegesek, derékszögben metszik egymást. Például a téglalapok és négyzetek sarkai mind derékszögűek.

A nullvektor ortogonális minden vektorral?

Ha 2 vektor szorzata 0, akkor ortogonálisnak tekintjük őket egymásra, Tehát x,y ∈ X az (X,)-ben (X,) ortogonálisak, ha =0, most ha x és y az (X,)-ben (X,) ortogonálisak, akkor ez azt jelenti, hogy x bármely skaláris többszöröse is ortogonális y-ra. .

Nézzen meg egy működő példát.

1. x,y>=k< x,y >=k0=0
2. most vegyük k=0
3. akkor< 0 ,y>=0
4. ami azt jelenti, hogy a nullvektor minden más vektorral ortogonális.

Egy másik módja annak, hogy a nullvektor helyzetét egy normális vektorhoz képest vizsgáljuk, a következő:

1. Tekintsünk két tetszőleges vektort A és B θ.θ szögben hat.
2. Tegyük fel, hogy A×B=0A×B=0
3. ABsinθn=0ABsinθn=0(n az egységvektor.)
4. A=0A=0 vagy B=0B=0 vagy sinθ=0sinθ=0
5. A=0A=0 vagy B=0B=0 vagy θ=0,πθ=0,π
6. A=0A=0 vagy B=0B=0 vagy A & B párhuzamosak.
7. Tegyük fel, hogy A.B=0A.B=0
8. ABcosθ=0ABcosθ=0
9. A=0A=0 vagy B=0B=0 vagy cosθ=0cosθ=0
10. A=0A=0 vagy B=0B=0 vagy θ=π2θ=π2
11. A=0A=0 vagy B=0B=0 vagy A & B merőlegesek egymásra.
12. Most a következő helyzetet teremtjük meg:
13. Tegyük fel, hogy A×B=0A×B=0 és A.B=0A.B=0
14. Ez csak akkor lehetséges, ha A=0A=0 vagy B=0B=0
15. Itt láthatjuk, hogy mindkét feltétel csak akkor lehet igaz, ha az egyik vektor nulla.
16. Tegyük fel, hogy B=0B=0
17. Az első feltételből arra következtethetünk, hogy O párhuzamos a A.
18. A második feltételből arra következtethetünk, hogy O merőleges A.

Tehát a nullvektor (nullvektor) tetszőleges irányú, lehet párhuzamos, merőleges vagy bármely más szögben bármely vektorral.

Következtetés

Íme a cikk legfontosabb részletei:

• A vektor bármely fizikai mennyiség, amelynek van nagysága és iránya.
• Az ortogonális, a normális és a merőleges olyan objektum leírására szolgáló kifejezések, amely egy másik objektumhoz képest 90 fokban van. Tehát csak néhány technikai különbség van közöttük, amikor vektorokra alkalmazzák őket.
• Mindegyik azt jelenti, hogy létezik kilencven fokos szög. A derékszögek halmazának kardinalitása azonban általában elkülöníti a használatot. A "merőleges" kifejezést gyakran használják, amikor két vektorról beszélnek.
• Az "ortogonális" kifejezést gyakran használják egy olyan vektor leírására, amely legalább 2 különálló vektorral kilencven fokos szöget zár be, de nem feltétlenül többel (más szóval, ez egy lehetőség, de csak addig a pontig, ahol a vektorok felsorolásra kerülnek).
• A "normál" kifejezést akkor használjuk, ha a derékszögben álló vektorok száma megszámlálhatatlan halmazt, azaz egy teljes síkot alkot.
• A mindennapi nyelvben gyakorlatilag ugyanazok.

Remélem, hogy ez a cikk segít jobban megérteni az ortogonális, a normális és a merőleges közötti különbséget, amikor vektorokkal foglalkozunk.

MI A KÜLÖNBSÉG AZ AKTÍV ÉS A REAKTÍV ERŐ KÖZÖTT? (AZ ELLENTÉT)

MI A KÜLÖNBSÉG A VEKTOROK ÉS A TENZOROK KÖZÖTT? (MAGYARÁZAT)

AZ EGYENLETEK ÉS A FÜGGVÉNYEK KÖZÖTTI KÜLÖNBSÉG-1