I vettori, un argomento che per alcuni è facile, mentre per altri è piuttosto impegnativo. Mentre la comprensione della definizione e delle nozioni di base dei vettori è un po' scontata per chiunque, soprattutto nella geometria euclidea (geometria bidimensionale), le cose si fanno confuse quando si passa ai vettori tridimensionali e ai vettori non lineari (curvi).

Anche se i vettori sono matematicamente semplici ed estremamente utili in fisica, non sono stati sviluppati nella loro forma moderna. Solo alla fine del XIX secolo, quando Josiah Willard Gibbs e Oliver Heaviside (rispettivamente degli Stati Uniti e dell'Inghilterra) applicano ciascuno l'analisi vettoriale per contribuire a esprimere le nuove leggi di elettromagnetismo .

L'elettromagnetismo è proposto da James Clerk Maxwell. Questo è abbastanza sorprendente, perché è stato lo stesso periodo in cui abbiamo iniziato a scoprire le particelle subatomiche e a sviluppare l'idea dell'atomo moderno.

In breve: Ortogonale, normale e perpendicolare sono termini che descrivono un oggetto che si trova a 90 gradi rispetto a un altro oggetto. Esistono quindi solo alcune differenze tecniche tra loro quando vengono applicate ai vettori. In poche parole, sono simili ma non uguali.

Scoprite con me le piccole differenze tra questi termini matematici.

Che cos'è un vettore?

Il vettore è tipicamente rappresentato da una freccia con la stessa direzione della quantità e una lunghezza proporzionale all'ampiezza della quantità. È una quantità che ha sia la grandezza che la direzione.

Anche se un vettore Se la lunghezza del vettore originale non viene alterata, anche il vettore stesso non viene alterato se viene spostato parallelamente alla sua posizione originale.

Al contrario, le grandezze ordinarie che hanno un'ampiezza ma non una direzione sono definite scalari: la velocità, l'accelerazione e lo spostamento, ad esempio, sono grandezze vettoriali, mentre la velocità, il tempo e la massa sono valori scalari.

Quindi, in poche parole, qualsiasi grandezza quantificabile con dimensione e direzione è una grandezza vettoriale e può essere illustrato con la geometria.

I vettori multipli possono essere sommati, sottratti e moltiplicati tra loro, con riferimento alla loro direzione e alla loro grandezza.

Prima di passare ai vettori ortogonali, perpendicolari e normali, è necessario comprendere la definizione di perpendicolare, ortogonale e normale. In breve, questi termini matematici sono uguali, ma presentano lievi differenze nell'uso in situazioni particolari.

Di seguito ho riportato una tabella per farvi conoscere alcune grandezze vettoriali e scalari.

Cosa sono i vettori?

Date un'occhiata a questo video ben fatto che descrive i vettori:

Cosa sono i vettori?

Qual è la differenza tra perpendicolare, ortogonale e normale?

La risposta più onesta è "niente". Ci sono situazioni in cui è più probabile che venga usato uno piuttosto che l'altro, ma di solito possono essere scambiati con poca perdita di chiarezza, cioè in generale, il contesto che circonda ogni termine, tenete presente che questo è estremamente flessibile:

Perpendicolare è una relazione tra oggetti "simili a linee" (linea, semiretta, segmento di linea) nella geometria classica, che è soddisfatta quando qualsiasi angolo alla loro intersezione è di 90 gradi (o π/2π/2 radianti, o un quarto di cerchio, ecc.).

Ortogonale Dopo aver trasformato un'intersezione di rette simili in una coppia di vettori, la perpendicolarità è l'ortogonalità nello spazio euclideo (integrata con il consueto prodotto di punti), a volte specificamente in un piano.

Normale è un tipo di vettore su un manifold (ad esempio, una superficie) incapsulato in uno spazio iperdimensionale (vettoriale) ortogonale allo spazio tangente in quel punto È anche il nome della derivata del vettore tangente di una curva parametrizzata, dove binormale è il vettore "normale" (nel senso usuale) al piano formato dalla tangente e dalla normale. Una cosa da verificare è che la normale può spesso riferirsi ad unanche un vettore di lunghezza unitaria, come in ortonormale.

Di conseguenza, non esiste una vera e propria distinzione, ma spesso si usa "perpendicolare" per le due dimensioni, "normale" per le tre, e "ortogonale" per quando la geometria è completamente abbandonata (quindi si può parlare di funzioni ortogonali).

Ora che abbiamo chiarito i concetti, vediamo come queste terminologie differiscono quando vengono applicate ai vettori geometrici.

Un vettore normale è uguale a un ortogonale?

Sulla carta, Due vettori perpendicolari sono ortogonali e uno è normale all'altro, ma il vettore zero non è normale a nessun vettore mentre è ortogonale a tutti i vettori.

In generale, a "Normale" è una descrizione geometrica di una linea a 90 gradi, mentre "ortogonale" è usato selettivamente come una descrizione matematica.

Tuttavia, allo stesso tempo, tutti significano ad angolo retto, ed è un peccato che ci siano così tante parole diverse per un unico concetto.

Si può dire che due vettori sono perpendicolari tra loro, ortogonali o perpendicolari, e tutto ciò significa la stessa cosa. Si dice anche che un vettore è normale a un altro, e questo significa più o meno la stessa cosa.

Si può dire che un insieme di vettori si trovano a 90 gradi o ad angolo retto l'uno rispetto all'altro, oppure che sono reciprocamente o doppiamente ortogonali, reciprocamente o doppiamente perpendicolari o normali l'uno all'altro, e questo significa la stessa cosa.

Si può dire che un vettore è perpendicolare a una curva o a una superficie, ortogonale a essa, perpendicolare a essa o normale a essa, e tutti questi significano la stessa cosa. Tuttavia, quando si parla di curve e superfici, il termine più appropriato è "normale".

Si usa in modo intercambiabile quando si ha a che fare con due vettori rettilinei, ma ho visto usi specifici quando si ha a che fare con curve o superfici. Guardate l'immagine qui sotto per visualizzarla.

Tutti implicano l'esistenza di un angolo di novanta gradi, ma la cardinalità dell'insieme degli angoli retti ne separa generalmente l'uso. "Perpendicolare" è spesso usato quando si parla di due vettori.

Il termine "ortogonale" è spesso usato per descrivere un vettore che si trova ad un angolo di novanta gradi rispetto ad almeno due vettori distinti, ma non necessariamente molti (in altre parole, è una possibilità ma solo fino al punto in cui i vettori sono enumerati).

Si parla di 'normale' quando il numero di vettori che si trovano ad angolo retto formano un insieme non numerabile, cioè un intero piano. .

Questa immagine dovrebbe aiutarvi a visualizzare le differenze principali.

Ortogonale, Normale e Perpendicolare in diversi casi di vettori.

Ortogonale significa perpendicolare?

Ortogonale e Perpendicolare differiscono dalla proprietà di essere perpendicolari ( Perpendicolarità È il rapporto tra due linee che si incontrano a 90 gradi o ad angolo retto.

Si dice che la proprietà si estende ad altri oggetti geometrici correlati, mentre l'ortogonale è la relazione di due linee ad angolo retto.

Ortogonale significa che riguarda o coinvolge linee che sono perpendicolari o che formano angoli retti; un altro termine per questo è ortografico.

Quando le linee sono perpendicolare, si intersecano ad angolo retto. Ad esempio, gli angoli dei rettangoli e dei quadrati sono tutti retti.

Il vettore zero è ortogonale a ogni vettore?

Se il prodotto tra 2 vettori è 0, allora sono considerati ortogonali tra loro, quindi x,y ∈ X in (X,) sono ortogonali se =0, ora se x e y in (X,) sono ortogonali allora significa che qualsiasi multiplo scalare di x è anche ortogonale a y .

Date un'occhiata a un esempio di lavoro.

1. x,y>=k< x,y =k0=0
2. ora prendiamo k=0
3. poi< 0 ,y>=0
4. il che significa che il vettore zero è ortogonale a ogni altro vettore.

Un altro modo per considerare la posizione di un vettore zero rispetto a un vettore normale è:

1. Si considerino due vettori qualsiasi A e B che agisce con un angolo θ.θ.
2. Supponiamo che A×B=0A×B=0
3. ABsinθn=0ABsinθn=0(n è un vettore unitario).
4. A=0A=0 o B=0B=0 o sinθ=0sinθ=0
5. A=0A=0 o B=0B=0 o θ=0,πθ=0,π
6. A=0A=0 o B=0B=0 o A & B sono paralleli.
7. Supponiamo che A.B=0A.B=0
8. ABcosθ=0ABcosθ=0
9. A=0A=0 o B=0B=0 o cosθ=0cosθ=0
10. A=0A=0 o B=0B=0 o θ=π2θ=π2
11. A=0A=0 o B=0B=0 o A & B sono perpendicolari.
12. Ora creiamo una situazione come la seguente:
13. Supponiamo che A×B=0A×B=0 e A.B=0A.B=0
14. Questo è possibile solo se A=0A=0 o B=0B=0
15. Qui vediamo che entrambe le condizioni possono essere vere solo se uno dei vettori è zero.
16. Supponiamo che B=0B=0
17. Dalla prima condizione si può dedurre che O è parallelo a A.
18. Dalla seconda condizione si può dedurre che O è perpendicolare a A.

Il vettore nullo ha quindi una direzione arbitraria: può essere parallelo, perpendicolare o con qualsiasi altro angolo rispetto a qualsiasi vettore.

Conclusione

Ecco i dettagli principali di questo articolo:

• Un vettore è una quantità fisica con una grandezza e una direzione.
• Ortogonale, normale e perpendicolare sono termini che descrivono un oggetto che si trova a 90 gradi rispetto a un altro oggetto. Pertanto, esistono solo poche differenze tecniche tra questi termini quando vengono applicati ai vettori.
• Tutti implicano l'esistenza di un angolo di novanta gradi, ma la cardinalità dell'insieme degli angoli retti ne separa generalmente l'uso. "Perpendicolare" è spesso usato quando si parla di due vettori.
• Il termine "ortogonale" è spesso usato per descrivere un vettore che si trova ad un angolo di novanta gradi rispetto ad almeno due vettori distinti, ma non necessariamente molti (in altre parole, è una possibilità ma solo fino al punto in cui i vettori sono enumerati).
• Si parla di "normale" quando il numero di vettori che formano un angolo retto forma un insieme non numerabile, cioè un intero piano.
• Nel linguaggio quotidiano sono praticamente la stessa cosa.

Spero che questo articolo vi aiuti a capire meglio la differenza tra ortogonale, normale e perpendicolare quando si tratta di vettori.

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