Vaikka vektoreiden määritelmän ja perusteiden ymmärtäminen on tavallaan itsestäänselvyys kenelle tahansa, erityisesti euklidisessa geometriassa (2-ulotteinen geometria), asiat menevät sekaisin, kun siirrytään 3-ulotteisiin vektoreihin ja epälineaarisiin (kaareviin) vektoreihin.

Vaikka vektorit ovat matemaattisesti yksinkertaisia ja erittäin hyödyllisiä fysiikassa, niitä ei kehitetty nykyaikaisessa muodossaan. Vasta 1800-luvun lopulla, kun Josiah Willard Gibbs ja Oliver Heaviside (Yhdysvalloissa ja Englannissa) soveltavat kumpikin vektorianalyysia, jotta ne voisivat ilmaista uudet lait, jotka koskevat sähkömagnetismi .

Sähkömagnetismia ehdottaa James Clerk Maxwell. Tämä on varsin yllättävää, sillä samoihin aikoihin aloimme löytää subatomisia hiukkasia ja kehittää ajatusta nykyaikaisesta atomista.

Lyhyesti sanottuna: Ortogonaalinen, normaali ja kohtisuorassa ovat termejä, joilla kuvataan kohdetta, joka on 90 astetta toiseen kohteeseen nähden. Niiden välillä on siis vain muutamia teknisiä eroja, kun niitä sovelletaan vektoreihin. Lyhyesti sanottuna ne ovat samankaltaisia, mutta eivät samoja.

Liity seuraani, kun selitän perusteellisesti näiden matemaattisten termien väliset pienet erot.

Mikä on vektori?

Vektori esitetään tyypillisesti nuolella, jonka suunta on sama kuin suureen suunta ja jonka pituus on verrannollinen suureen amplitudiin. Se on suure, jolla on sekä suuruus että suunta.

Vaikka vektori Jos alkuperäisen vektorin pituus ei muutu, vektori ei myöskään muutu, jos sitä siirretään alkuperäisen sijaintinsa suuntaisesti.

Sen sijaan tavallisia suureita, joilla on amplitudi mutta ei suuntaa, kutsutaan skalaareiksi. Esimerkiksi nopeus, kiihtyvyys ja siirtymä ovat vektorisuuruuksia, kun taas nopeus, aika ja massa ovat skalaariarvoja.

Lyhyesti sanottuna, mikä tahansa mitattavissa oleva suure, jolla on koko ja suunta, on vektorisuuri. ja niitä voidaan havainnollistaa geometrian avulla.

Useat vektorit voidaan lisätä toisiinsa, vähentää toisistaan ja kertoa keskenään niiden suunnan ja suuruuden suhteen.

Ennen kuin siirrymme kohtisuoraan, kohtisuoraan ja normaaliin vektoriin, meidän on ensin ymmärrettävä kohtisuoran, kohtisuoran ja normaalin määritelmä. Lyhyesti sanottuna nämä matemaattiset termit ovat samat, mutta niillä on pieniä eroja tilannekohtaisessa käytössä.

Olen lisännyt alla olevan taulukon, jotta voit tutustua joihinkin vektori- ja skalaarisuhteisiin.

Mitä vektorit ovat?

Katso tämä hyvin tehty video, jossa kuvataan vektoreita:

Mitä vektorit ovat?

Mitä eroa on kohtisuoralla, kohtisuoralla ja normaalilla?

On tilanteita, joissa toista käytetään todennäköisemmin kuin toista, mutta ne voidaan yleensä vaihtaa keskenään ilman, että niiden selkeys heikkenee, eli yleensä ottaen on otettava huomioon, että asiayhteys, joka ympäröi kutakin termiä, on erittäin joustava:

Kohtisuorassa on klassisen geometrian "viivan kaltaisten" objektien (viiva, säde, viivapätkä) välinen suhde, joka täyttyy, kun niiden leikkauskulma on 90 astetta (tai π/2π/2 radiaania tai ympyrän neljäsosa jne.).

Ortogonaalinen on vektoreiden välinen vuorovaikutus, joka täyttyy, kun bilineaarinen muoto katoaa. Kun viivamuotojen leikkauspiste on muunnettu vektoripariksi, kohtisuoruus on ortogonaalisuus euklidisessa avaruudessa (integroituna tavalliseen pistetuotteeseen), joskus erityisesti tasossa.

Normaali on eräänlainen vektori moninaisuudella (esimerkiksi pinnalla), joka on koteloitu hyperulotteiseen (vektori)avaruuteen, joka on kohtisuorassa tangenttiavaruuteen kyseisessä pisteessä Se on myös parametrisoidun käyrän tangenttivektorin derivaatan nimi, jossa binormaali on "normaali" (tavanomaisessa merkityksessä) vektori tangentin ja normaalin muodostamaan tasoon. Kannattaa huomioida, että normaali voi usein viitata siihen, ettäyksikköpituinen vektori, kuten ortonormaali.

Tämän seurauksena ei ole mitään varsinaista eroa, mutta "kohtisuoraa" käytetään usein kahdesta ulottuvuudesta, "normaalia" kolmesta ulottuvuudesta ja "ortogonaalista" silloin, kun geometria on täysin hylätty (jolloin voidaan puhua ortogonaalisista funktioista).

Nyt kun olemme selvittäneet käsitteemme, katsotaanpa, miten nämä termit eroavat toisistaan, kun niitä sovelletaan geometrisiin vektoreihin.

Onko normaalivektori sama kuin ortogonaalinen?

Paperilla, Näyttää siltä, että niillä on sama määritelmä, mutta teoreettisesti niillä on selvästi erilaiset määritelmät. Kaksi kohtisuoraa vektoria ovat kohtisuorassa ja toinen on toista vastaan kohtisuorassa, mutta nollavektori ei ole kohtisuorassa minkään vektorin kanssa, kun taas se on kohtisuorassa jokaisen vektorin kanssa.

Yleisesti ottaen, a "Normaali" on 90 asteen linjan geometrinen kuvaus, kun taas "ortogonaalinen" on valikoivasti käytetty matemaattinen kuvaus.

Samaan aikaan ne kuitenkin kaikki tarkoittavat suorassa kulmassa, ja on sääli, että yhdelle käsitteelle on niin monta eri sanaa.

Voidaan sanoa, että kaksi vektoria on suorassa kulmassa toisiinsa nähden, että ne ovat kohtisuorassa tai kohtisuorassa toisiinsa nähden, ja ne kaikki tarkoittavat samaa asiaa. Ihmiset sanovat myös, että yksi vektori on normaali toiseen nähden, ja sekin tarkoittaa lähes samaa asiaa.

Voit sanoa, että joukko vektoreita on 90 asteen kulmassa tai suorassa kulmassa toisiinsa nähden, se voi olla toisiinsa nähden kohtisuorassa tai pareittain kohtisuorassa, toisiinsa nähden kohtisuorassa tai pareittain kohtisuorassa tai normaalisti, ja se tarkoittaa samaa asiaa.

Voit sanoa, että vektori on suorassa kulmassa käyrään tai pintaan nähden, kohtisuorassa siihen nähden, kohtisuorassa siihen nähden tai normaali siihen nähden, ja nämä kaikki tarkoittavat samaa asiaa. Kun puhutaan käyristä ja pinnoista, sopivampi termi on kuitenkin "normaali".

Ihmiset käyttävät sitä vaihtelevasti käsitellessään kahta suoraa vektoria, mutta olen nähnyt erityisiä käyttötapoja käsitellessäni käyriä tai pintoja. Katso alla olevaa kuvaa havainnollistamiseksi.

Ne kaikki viittaavat siihen, että on olemassa yhdeksänkymmenen asteen kulma. Suorakulmaisten kulmien joukon kardinaalisuus kuitenkin yleensä erottaa käytön toisistaan. "Kohtisuoraa" käytetään usein puhuttaessa kahdesta vektorista.

Termiä "ortogonaalinen" käytetään usein kuvaamaan vektoria, joka on yhdeksänkymmenen asteen kulmassa vähintään kahteen erilliseen vektoriin nähden, mutta ei välttämättä moneen vektoriin nähden (toisin sanoen se on mahdollista, mutta vain siihen pisteeseen asti, jossa vektorit on lueteltu).

'Normaalia' käytetään silloin, kun suorassa kulmassa olevien vektoreiden määrä muodostaa laskemattoman joukon, eli kokonaisen tason. .

Tämän kuvan pitäisi auttaa sinua hahmottamaan tärkeimmät erot.

Ortogonaalinen, normaali ja kohtisuorassa vektorien eri tapauksissa.

Tarkoittaako ortogonaalinen kohtisuoraa?

Ortogonaalinen ja kohtisuorassa oleva eroavat ominaisuudesta olla kohtisuorassa ( Kohtisuoruus ). Se on kahden 90 asteen kulmassa tai suorassa kulmassa kohtaavan suoran välinen suhde.

Ominaisuuden sanotaan ulottuvan muihin toisiin vastaaviin geometrisiin kohteisiin, kun taas ortogonaalinen on kahden suoran suhde, jotka ovat suorassa kulmassa toisiinsa.

Ortogonaalinen tarkoittaa kohtisuoraan tai suorassa kulmassa olevia viivoja, toinen termi tälle on ortografinen.

Kun linjat ovat kohtisuorassa, ne leikkaavat toisensa suorassa kulmassa. Esimerkiksi suorakulmioiden ja neliöiden kulmat ovat kaikki suorakulmaisia.

Onko nollavektori ortogonaalinen jokaisen vektorin kanssa?

Jos kahden vektorin tulo on 0, niitä pidetään toisiinsa nähden kohtisuorassa, Joten x,y ∈ X (X,) ovat kohtisuorassa, jos =0, Jos x ja y (X,) ovat kohtisuorassa, se tarkoittaa, että mikä tahansa x:n skalaarinen kerrannainen on myös kohtisuorassa y:n kanssa. .

Tutustu toimivaan esimerkkiin.

1. x,y>=k< x,y >=k0=0
2. otetaan nyt k=0
3. sitten< 0 ,y>=0
4. mikä tarkoittaa, että nollavektori on ortogonaalinen kaikkiin muihin vektoreihin nähden.

Toinen tapa tarkastella nollavektorin sijaintia normaalivektoriin nähden on:

1. Tarkastellaan mitä tahansa kahta vektoria A ja B joka vaikuttaa kulmassa θ.θ.
2. Oletetaan, että A×B=0A×B=0
3. ABsinθn=0ABsinθn=0(n on yksikkövektori.)
4. A=0A=0 tai B=0B=0 tai sinθ=0sinθ=0
5. A=0A=0 tai B=0B=0 tai θ=0,πθ=0,π
6. A=0A=0 tai B=0B=0 tai A & B ovat yhdensuuntaisia.
7. Oletetaan, että A.B=0A.B=0
8. ABcosθ=0ABcosθ=0 ABcosθ=0
9. A=0A=0 tai B=0B=0 tai cosθ=0kosθ=0
10. A=0A=0 tai B=0B=0 tai θ=π2θ=π2.
11. A=0A=0 tai B=0B=0 tai A & B ovat kohtisuorassa.
12. Nyt luodaan seuraava tilanne:
13. Oletetaan, että A×B=0A×B=0 ja A.B=0A.B=0.
14. Tämä on mahdollista vain, jos A=0A=0 tai B=0B=0.
15. Tässä nähdään, että molemmat ehdot voivat pitää paikkansa vain, jos toinen vektoreista on nolla.
16. Oletetaan, että B=0B=0
17. Ensimmäisestä ehdosta voidaan päätellä, että O on samansuuntainen kuin A.
18. Toisesta ehdosta voidaan päätellä, että O on kohtisuorassa A.

Nollavektorilla (nollavektorilla) on siis mielivaltainen suunta: se voi olla yhdensuuntainen tai kohtisuorassa tai missä tahansa muussa kulmassa mihin tahansa vektoriin nähden.

Päätelmä

Tässä ovat tärkeimmät yksityiskohdat tästä artikkelista:

• Vektori on mikä tahansa fysikaalinen suure, jolla on suuruus ja suunta.
• Ortogonaalinen, normaali ja kohtisuorassa ovat termejä, joilla kuvataan kohdetta, joka on 90 asteen kulmassa toiseen kohteeseen nähden. Vektoreihin sovellettuna niiden välillä on siis vain muutamia teknisiä eroja.
• Ne kaikki viittaavat siihen, että on olemassa yhdeksänkymmenen asteen kulma. Suorakulmaisten kulmien joukon kardinaalisuus kuitenkin yleensä erottaa käytön toisistaan. "Kohtisuoraa" käytetään usein puhuttaessa kahdesta vektorista.
• Termiä "ortogonaalinen" käytetään usein kuvaamaan vektoria, joka on yhdeksänkymmenen asteen kulmassa vähintään kahteen erilliseen vektoriin nähden, mutta ei välttämättä moneen vektoriin nähden (toisin sanoen se on mahdollista, mutta vain siihen pisteeseen asti, jossa vektorit on lueteltu).
• 'Normaalia' käytetään silloin, kun suorassa kulmassa olevien vektoreiden määrä muodostaa laskemattoman joukon eli kokonaisen tason.
• Arkikielessä ne ovat käytännössä samoja.

Toivon, että tämä artikkeli auttaa sinua ymmärtämään paremmin ortogonaalisen, normaalin ja kohtisuoran eron vektoreiden käsittelyssä.

MIKÄ ERO ON AKTIIVISEN JA REAKTIIVISEN VOIMAN VÄLILLÄ? (VASTAKKAINASETTELU).

MIKÄ ERO ON VEKTOREIDEN JA TENSOREIDEN VÄLILLÄ? (SELITETTY)

YHTÄLÖIDEN JA FUNKTIOIDEN VÄLINEN ERO-1