Վեկտորները, մի թեմա, որը որոշ մարդկանց համար հեշտ է, մինչդեռ ոմանց համար բավականին դժվար է, չնայած վեկտորների սահմանումը և հիմունքները հասկանալը որևէ մեկի համար անիմաստ է, հատկապես էվկլիդեսյան երկրաչափությունում (2-չափ երկրաչափություն), ամեն ինչ դառնում է շփոթեցնող է, երբ մենք անցնում ենք եռաչափ վեկտորների և ոչ գծային (կոր) վեկտորների վրա:

Չնայած որ վեկտորները մաթեմատիկորեն պարզ են և չափազանց օգտակար ֆիզիկայի ժամանակ, դրանք չեն մշակվել իրենց ժամանակակից տեսքով: Միայն 19-րդ դարի վերջին, երբ Ջոսիա Ուիլարդ Գիբսը և Օլիվեր Հևիսայդը (համապատասխանաբար Միացյալ Նահանգներից և Անգլիայից) յուրաքանչյուրը կիրառում էին վեկտորային վերլուծություն՝ օգնելու արտահայտել <-ի նոր օրենքները։ 2>էլեկտրամագնիսականություն ։

Էլեկտրամագնիսականությունն առաջարկել է Ջեյմս Քլերկ Մաքսվելը։ Սա բավականին զարմանալի է, քանի որ սա մոտավորապես նույն ժամանակ էր, երբ մենք սկսեցինք հայտնաբերել ենթաատոմային մասնիկներ և զարգացնել ժամանակակից ատոմի գաղափարը:

Կարճ ասած՝ ուղղանկյուն, նորմալ և ուղղահայաց են: տերմիններ նկարագրելու առարկա, որը գտնվում է 90 աստիճանի վրա մեկ այլ առարկայի նկատմամբ: Այսպիսով, վեկտորների վրա կիրառելիս դրանց միջև կան միայն մի քանի տեխնիկական տարբերություններ: Մի խոսքով, դրանք նման են, բայց ոչ նույնը:

Միացեք ինձ, երբ ես մանրամասն բացատրում եմ այս մաթեմատիկական տերմինների միջև եղած փոքր տարբերությունները:

Ի՞նչ է վեկտորը:

Վեկտորը սովորաբար ներկայացված է սլաքով, որն ունի նույն ուղղությունը, ինչ սլաքըքանակ և երկարություն, որը համաչափ է մեծության ամպլիտուդին: Դա մի մեծություն է, որն ունի և՛ մեծություն, և՛ ուղղություն:

Չնայած վեկտորը ունի մեծություն և ուղղություն, այն չունի դիրք: Տրված է, որ սկզբնական վեկտորի երկարությունը չի փոխվում, ինքնին վեկտորը նույնպես չի փոխվում, եթե այն տեղափոխվում է իր սկզբնական դիրքին զուգահեռ

Ընդհակառակը, սովորական մեծությունները, որոնք ունեն ամպլիտուդ, բայց ուղղություն չունեն, կոչվում են սկալերներ։ . Արագությունը, արագացումը և տեղաշարժը, օրինակ, վեկտորային մեծություններ են, մինչդեռ արագությունը, ժամանակը և զանգվածը սկալյարների արժեքներ են:

Այսպիսով, մի խոսքով, չափով և ուղղությամբ ցանկացած չափելի մեծություն վեկտոր է: քանակ և կարելի է պատկերել երկրաչափության միջոցով:

Բազմաթիվ վեկտորներ կարելի է ավելացնել, հանել և բազմապատկել միմյանց հետ՝ ըստ դրանց ուղղության և մեծության:

Այժմ, նախքան ուղղանկյուն, ուղղահայաց և նորմալ վեկտորներին անցնելը, մենք նախ պետք է հասկանալ ուղղահայաց, ուղղանկյուն և նորմալ սահմանումը: Մի խոսքով, այս մաթեմատիկական տերմինները նույնն են, սակայն իրավիճակային օգտագործման մեջ փոքր տարբերություններ ունեն:

Ես ներառել եմ ստորև բերված աղյուսակը, որպեսզի ծանոթանաք որոշ վեկտորային և սկալյար մեծությունների հետ:

Ի՞նչ են վեկտորները:

Դիտեք այս լավ պատրաստված տեսանյութը, որը նկարագրում է վեկտորները.

Ի՞նչ են վեկտորները:

Ո՞րն է տարբերությունը ուղղահայաց, ուղղանկյունի և նորմալի միջև:

Ամենազնիվ պատասխանը «ոչինչ» է: Կան իրավիճակներ, երբ մեկը ավելի հավանական է օգտագործել, քան մյուսը, բայց դրանք սովորաբար կարող են փոխանակվել պարզության փոքր կորստով, այսինքն՝ ընդհանուր առմամբ, այն համատեքստը, որը շրջապատում է յուրաքանչյուր տերմին, հիշեք, որ սա չափազանց ճկուն է.

ուղղահայաց դասական երկրաչափության մեջ «գծանման» առարկաների (գիծ, ճառագայթ, ուղիղ հատված) հարաբերություն է, որը բավարարվում է, երբ դրանց հատման ցանկացած անկյուն 90 աստիճան է (կամ π/2π/2 ռադիաններ, կամ շրջանագծի քառորդը և այլն):

Ուղղղաձիգ վեկտորների միջև փոխազդեցություն է, որը բավարարվում է, երբ երկգծային ձևը անհետանում է: Գծային նմանակների հատումը զույգ վեկտորների փոխակերպելուց հետո ուղղահայացությունը ուղղանկյունություն է էվկլիդյան տարածության մեջ (ինտեգրված սովորական կետային արտադրյալի հետ), երբեմն հատուկ հարթությունում:

Նորմալը մի տեսակ է: վեկտորի բազմազանության (օրինակ՝ մակերեսի) վրա, որը պարփակված է գերծավալային (վեկտոր) տարածության մեջ, ուղղահայաց դեպի շոշափող տարածությունն այդ կետում: Այն նաև պարամետրացված կորի շոշափող վեկտորի ածանցյալի անվանումն է, որտեղ երկնորմալ է«նորմալ» (սովորական իմաստով) վեկտորը հարթության վրա, որը ձևավորվում է շոշափողի և նորմալի կողմից: Ստուգելու բանն այն է, որ նորմալը հաճախ կարող է վերաբերել նաև միավորի երկարության վեկտորին, ինչպես օրինակ օրթոնորմալում:

Արդյունքում իրական տարբերություն չկա, բայց «ուղղահայացը» հաճախ օգտագործվում է երկու չափումների համար: , «նորմալ» երեքի համար և «ուղղանկյուն», երբ երկրաչափությունն ամբողջությամբ լքված է (այսպես կարող եք խոսել ուղղանկյուն ֆունկցիաների մասին):

Այժմ, երբ մենք մաքրեցինք մեր հասկացությունները, տեսնենք, թե ինչպես են այս տերմինաբանությունները տարբերվում, երբ կիրառվում են: երկրաչափական վեկտորներին:

Արդյո՞ք նորմալ վեկտորը նույնն է, ինչ ուղղանկյունը:

Թղթի վրա նրանք կարծես թե ունեն նույն սահմանումը, բայց տեսականորեն նրանք ունեն հստակ տարբեր սահմանումներ: Երկու ուղղահայաց վեկտորները ուղղանկյուն են, իսկ մեկը նորմալ է մյուսին, բայց զրոյական վեկտորը նորմալ չէ որևէ վեկտորի համար, մինչդեռ այն ուղղանկյուն է յուրաքանչյուր վեկտորի համար:

Ընդհանուր առմամբ, «Նորմալ» 90 աստիճան գծի երկրաչափական նկարագրությունն է, մինչդեռ «ուղղանկյունը» ընտրովի օգտագործվում է որպես մաթեմատիկական:

Սակայն միևնույն ժամանակ բոլորը նշանակում են ուղիղ անկյան տակ, և ամոթ է, որ մեկ հասկացության համար կան այդքան տարբեր բառեր:

Դուք կարող եք ասել, որ երկու վեկտորները միմյանց նկատմամբ ուղիղ անկյան տակ են՝ ուղղանկյուն կամ ուղղահայաց, և ամեն ինչ նույնն է նշանակում: Մարդիկ նաև ասում են, որ մի վեկտորը նորմալ է մյուսի համար, և դա մոտավորապես նույնն է նշանակումբան։

Դուք կարող եք ասել, որ վեկտորների մի շարք իրար նկատմամբ 90 աստիճան կամ ուղիղ անկյան տակ են, այն կարող է լինել փոխադարձ կամ զույգ ուղղանկյուն, փոխադարձ կամ զույգ ուղղահայաց, կամ նորմալ միմյանց նկատմամբ, և դա նշանակում է նույնը։ բան:

Դուք կարող եք ասել, որ վեկտորը ուղղանկյուն է կորի կամ մակերևույթի նկատմամբ, ուղղանկյուն է նրան, ուղղահայաց կամ նորմալ, և բոլորը նույն բանն են նշանակում: Այնուամենայնիվ, երբ խոսում ենք կորերի և մակերևույթների մասին, ավելի հարմար տերմինը «նորմալ» է

Մարդիկ այն օգտագործում են փոխադարձաբար, երբ գործ ունեն երկու ուղիղ վեկտորների հետ, բայց ես տեսել եմ հատուկ կիրառումներ, երբ գործ ունենք կորերի կամ մակերեսների հետ: Տեսողականացման համար նայեք ստորև ներկայացված պատկերին:

Դրանք բոլորը ենթադրում են, որ գոյություն ունի իննսուն աստիճանի անկյուն: Այնուամենայնիվ, ուղիղ անկյունների բազմության կարդինալությունը սովորաբար առանձնացնում է օգտագործումը: «Ուղղահայաց»-ը հաճախ օգտագործվում է երկու վեկտորի մասին խոսելիս:

«ուղղանկյուն» տերմինը հաճախ օգտագործվում է նկարագրելու վեկտորը, որը գտնվում է իննսուն աստիճանի անկյան տակ առնվազն 2 առանձին վեկտորների նկատմամբ, բայց պարտադիր չէ, որ շատերը (այլ կերպ ասած, դա հնարավոր է, բայց միայն կետը, որտեղ թվարկված են վեկտորները):

«Նորմալ» օգտագործվում է, երբ ուղիղ անկյան տակ գտնվող վեկտորների թիվը կազմում է անհաշվելի բազմություն, այսինքն՝ մի ամբողջ հարթություն :

Այս նկարը պետք է օգնի ձեզ պատկերացնել հիմնական տարբերությունները:

Վեկտորների տարբեր դեպքերում ուղղանկյուն, նորմալ և ուղղահայաց:

ԱրդյոքՈւղղանկյուն միջին ուղղահայաց?

Ուղղանկյունը և ուղղահայացը տարբերվում են ուղղահայաց լինելու հատկությունից ( ուղղահայացություն ): Դա երկու գծերի փոխհարաբերությունն է, որոնք հանդիպում են 90 աստիճան կամ ուղիղ անկյան տակ:

Ասվում է, որ գույքը տարածվում է այլ հարակից երկրաչափական օբյեկտների վրա: Մինչ ուղղանկյունը ուղիղ անկյան տակ գտնվող երկու տողերի հարաբերությունն է:

Ուղղանկյուն նշանակում է, որը վերաբերում է կամ ներառում է ուղղահայաց կամ ուղիղ անկյուններ կազմող գծերը, դրա մեկ այլ տերմին ուղղագրական է:

Երբ ուղիղները ուղղահայաց են, դրանք հատվում են ուղիղ անկյան տակ: Օրինակ, ուղղանկյունների և քառակուսիների անկյունները բոլորն ուղղանկյուն են:

Արդյո՞ք զրոյական վեկտորը ուղղանկյուն է յուրաքանչյուր վեկտորի նկատմամբ:

Եթե 2 վեկտորների միջև արտադրյալը 0 է, ապա դրանք համարվում են ուղղանկյուն միմյանց նկատմամբ, ուստի x,y ∈ X-ում (X,) ուղղանկյուն են, եթե =0, այժմ, եթե x և y-ում: (X,) ուղղանկյուն են, ապա դա նշանակում է, որ x-ի ցանկացած սկալյար բազմապատիկ նույնպես ուղղանկյուն է y -ին:

Նայեք մշակված օրինակին:

1. x,y>=k< x,y >=k0= 0
2. այժմ վերցրեք k=0
3. այնուհետև< 0 ,y>=0
4. ինչը նշանակում է, որ զրոյական վեկտորը ուղղանկյուն է յուրաքանչյուր մյուս վեկտորի նկատմամբ: նորմալ վեկտորը հետևյալն է.θ.θ.
5. Ենթադրենք A×B=0A×B=0
6. ABsinθn=0ABsinθn=0(n-ը միավոր վեկտոր է):
7. A=0A=0 կամ B=0B=0 կամ sinθ=0sinθ=0
8. A=0A=0 կամ B=0B =0 կամ θ=0,πθ=0,π
9. A=0A=0 կամ B=0B=0 կամ A & B զուգահեռ են:
10. Ենթադրենք A.B=0A.B=0
11. ABcosθ=0ABcosθ=0
12. A=0A=0 կամ B=0B=0 կամ cosθ=0cosθ=0
13. A=0A=0 կամ B=0B=0 կամ θ=π2θ =π2
14. A=0A=0 կամ B=0B=0 կամ A & B ուղղահայաց են:
15. Այժմ մենք ստեղծում ենք հետևյալ իրավիճակ.
16. Ենթադրենք A×B=0A×B=0 և A.B=0A.B=0
17. Սա հնարավոր է միայն այն դեպքում, եթե A=0A=0 կամ B=0B=0
18. Այստեղ մենք տեսնում ենք. որ երկու պայմանները կարող են ճշմարիտ լինել միայն այն դեպքում, եթե վեկտորներից մեկը զրո է:
19. Ենթադրենք B=0B=0
20. Առաջին պայմանից, մենք կարող ենք եզրակացնել, որ O զուգահեռ է A-ին:
21. Երկրորդ պայմանից կարող ենք եզրակացնել, որ O ուղղահայաց է A-ին:

Այսպիսով, զրոյական վեկտորը (զրոյական վեկտոր) ունի կամայական ուղղություն: Այն կարող է լինել ցանկացած վեկտորի զուգահեռ կամ ուղղահայաց կամ ցանկացած այլ անկյան տակ:

Եզրակացություն

Ահա այս հոդվածի հիմնական մանրամասները.

• Վեկտորը մեծությամբ և ուղղությամբ ցանկացած ֆիզիկական մեծություն է
• Ուղղանկյուն, նորմալ և ուղղահայաց տերմիններ են, որոնք նկարագրում են մի առարկա, որը գտնվում է 90 աստիճանի վրա մեկ այլ առարկայի նկատմամբ: Այսպիսով, կան միայն մի քանի տեխնիկական տարբերություններդրանք, երբ կիրառվում են վեկտորների վրա:
• Դրանք բոլորը ենթադրում են, որ գոյություն ունի իննսուն աստիճանի անկյուն: Այնուամենայնիվ, ուղիղ անկյունների բազմության կարդինալությունը սովորաբար առանձնացնում է օգտագործումը: «Ուղղահայաց»-ը հաճախ օգտագործվում է երկու վեկտորի մասին խոսելիս:
• «ուղղանկյուն» տերմինը հաճախ օգտագործվում է նկարագրելու վեկտորը, որը գտնվում է իննսուն աստիճանի անկյան տակ առնվազն 2 առանձին վեկտորների նկատմամբ, բայց պարտադիր չէ, որ շատերը (այլ կերպ ասած, դա հնարավոր է, բայց միայն կետ, որտեղ թվարկված են վեկտորները):
• «Նորմալ» օգտագործվում է, երբ ուղիղ անկյան տակ գտնվող վեկտորների թիվը կազմում է անհաշվելի բազմություն, այսինքն՝ մի ամբողջ հարթություն։
• Առօրյա լեզվով դրանք գրեթե նույնն են։

Հուսով եմ, որ այս հոդվածը կօգնի ձեզ ավելի լավ հասկանալ ուղղանկյուն, նորմալ և ուղղահայաց տարբերությունը վեկտորների հետ գործ ունենալիս:

Ո՞ՆՉ Է ՏԱՐԲԵՐՈՒԹՅՈՒՆԸ ԱԿՏԻՎԻ ԵՎ Ա ՌԵԱԿՏԻՎ ՈՒԺ. (ՀԱԿԱԴՐՈՒԹՅՈՒՆԸ)

Ո՞ՐՆ Է ՏԱՐԲԵՐՈՒԹՅՈՒՆԸ ՎԵԿՏՈՐՆԵՐԻ ԵՎ ՏԵՆԶՈՐՆԵՐԻ ՄԻՋԵՎ: (ԲԱՑԱՏՐՎԱԾ)

ՀԱՎԱՍԱՐՈՒՄՆԵՐԻ ԵՎ ՖՈՒՆԿՑԻԱՆԵՐԻ ՏԱՐԲԵՐՈՒԹՅՈՒՆԸ-1