Vektory, téma, ktorú niektorí ľudia považujú za jednoduchú, zatiaľ čo niektorí ju považujú za pomerne náročnú, Zatiaľ čo pochopenie definície a základov vektorov je pre každého akousi samozrejmosťou, najmä v euklidovskej geometrii (dvojrozmerná geometria), veci sa stanú mätúcimi, keď prejdeme na trojrozmerné vektory a nelineárne (zakrivené) vektory.

Aj keď sú vektory matematicky jednoduché a mimoriadne užitočné vo fyzike, neboli vyvinuté vo svojej modernej podobe. Až koncom 19. storočia, keď Josiah Willard Gibbs a Oliver Heaviside (v Spojených štátoch amerických a v Anglicku) používajú vektorovú analýzu, aby pomohli vyjadriť nové zákony elektromagnetizmus .

Elektromagnetizmus navrhol James Clerk Maxwell. Je to dosť prekvapujúce, pretože to bolo približne v tom istom čase, keď sme začali objavovať subatomárne častice a rozvíjať myšlienku moderného atómu.

V skratke: Ortogonálne, normálne a kolmé sú pojmy, ktoré opisujú objekt, ktorý je v uhle 90 stupňov vzhľadom na iný objekt. Pri aplikácii na vektory je teda medzi nimi len niekoľko technických rozdielov. Stručne povedané, sú podobné, ale nie rovnaké.

Pridajte sa ku mne, aby som vám dôkladne vysvetlil drobné rozdiely medzi týmito matematickými pojmami.

Čo je vektor?

Vektor je zvyčajne reprezentovaný šípkou s rovnakým smerom ako veličina a dĺžkou úmernou amplitúde veličiny. Je to veličina, ktorá má veľkosť aj smer.

Hoci a vektor má veľkosť a smer, nemá polohu. Ak sa dĺžka pôvodného vektora nezmení, samotný vektor sa tiež nezmení, ak je posunutý rovnobežne so svojou pôvodnou polohou

Naproti tomu bežné veličiny, ktoré majú amplitúdu, ale nemajú smer, sa označujú ako skaláre. Napríklad rýchlosť, zrýchlenie a posunutie sú vektorové veličiny, zatiaľ čo rýchlosť, čas a hmotnosť sú skalárne hodnoty.

Takže v skratke, každá merateľná veličina s veľkosťou a smerom je vektorová veličina a možno ich znázorniť pomocou geometrie.

Viaceré vektory možno navzájom sčítať, odčítať a násobiť s ohľadom na ich smer a veľkosť.

Skôr ako prejdeme k ortogonálnym, kolmým a normálovým vektorom, musíme najprv pochopiť definíciu kolmého, ortogonálneho a normálového vektora. V skratke, tieto matematické pojmy sú rovnaké, ale majú mierne rozdiely v situačnom použití.

Nižšie uvádzam tabuľku, ktorá vám pomôže oboznámiť sa s niektorými vektorovými a skalárnymi veličinami.

Čo sú vektory?

Pozrite si toto dobre spracované video opisujúce vektory:

Čo sú vektory?

Aký je rozdiel medzi kolmým, kolmým a normálnym?

Najúprimnejšia odpoveď je "nič". Existujú situácie, v ktorých sa jeden z nich použije skôr ako druhý, ale zvyčajne sa dajú zameniť s malou stratou zrozumiteľnosti, teda vo všeobecnosti, kontext, ktorý obklopuje každý termín, majte na pamäti, že je to mimoriadne flexibilné:

Kolmý je vzťah medzi "priamkovými" objektmi (priamka, lúč, úsečka) v klasickej geometrii, ktorý je splnený, ak je ľubovoľný uhol v ich priesečníku 90 stupňov (alebo π/2π/2 radiánov, alebo štvrtina kruhu atď.).

Ortogonálne je interakcia medzi vektormi, ktorá je splnená, keď bilineárna forma zanikne. Po transformácii priesečníka priamok-podobných na dvojicu vektorov je kolmosť ortogonálnosťou v euklidovskom priestore (integrovaná s obvyklým bodovým súčinom), niekedy konkrétne rovinou.

Normálne je druh vektora na množinovom priestore (napríklad na povrchu), ktorý je uzavretý v hyperdimenzionálnom (vektorovom) priestore ortogonálnom k dotyčnicovému priestoru v danom bode Je to aj názov derivácie vektora dotyčnice parametrizovanej krivky, kde binormálny je "normálový" (v obvyklom zmysle) vektor k rovine tvorenej dotyčnicou a normálou. Niečo, čo treba skontrolovať, je, že normála sa často môže vzťahovať naaj vektor jednotkovej dĺžky, ako napríklad v ortonormálnom tvare.

Výsledkom je, že neexistuje žiadny skutočný rozdiel, ale "kolmý" sa často používa pre dva rozmery, "normálny" pre tri a "ortogonálny" pre prípad, keď je geometria úplne opustená (takže môžete hovoriť o ortogonálnych funkciách).

Teraz, keď sme si vyjasnili pojmy, pozrime sa, ako sa tieto terminológie líšia pri aplikácii na geometrické vektory.

Je normálový vektor to isté ako ortogonálny?

Na papieri, Zdá sa, že majú rovnakú definíciu, ale teoreticky majú výrazne odlišné definície. Dva kolmé vektory sú kolmé a jeden je normálový k druhému, ale nulový vektor nie je normálový k žiadnemu vektoru, zatiaľ čo je kolmý ku každému vektoru.

Vo všeobecnosti, a "Normálny" je geometrický opis 90-stupňovej čiary, zatiaľ čo "ortogonálny" sa používa ako matematický opis.

Zároveň však všetky znamenajú v pravom uhle, a je škoda, že pre jeden pojem existuje toľko rôznych slov.

Môžete povedať, že dva vektory sú navzájom v pravom uhle, ortogonálne alebo kolmé, a to všetko znamená to isté. Ľudia tiež hovoria, že jeden vektor je normála k druhému, a to v podstate znamená to isté.

Môžete povedať, že súbor vektorov je navzájom v uhle 90 stupňov alebo v pravom uhle, môže byť vzájomne alebo párovo ortogonálny, vzájomne alebo párovo kolmý alebo normálny k sebe, a to znamená to isté.

Môžete povedať, že vektor je kolmý na krivku alebo plochu, ortogonálny na ňu, kolmý na ňu alebo normálny na ňu, a všetky tieto výrazy znamenajú to isté. Keď však hovoríme o krivkách a plochách, vhodnejší termín je "normálny".

Ľudia ho používajú zameniteľne pri práci s dvoma priamymi vektormi, ale videl som špecifické použitie pri práci s krivkami alebo plochami. Pozrite si obrázok nižšie pre vizualizáciu.

Všetky znamenajú, že existuje deväťdesiatstupňový uhol. Kardinalita množiny pravých uhlov však vo všeobecnosti rozdeľuje použitie. "Kolmý" sa často používa, keď sa hovorí o dvoch vektoroch.

Termín "ortogonálny" sa často používa na označenie vektora, ktorý zviera deväťdesiatstupňový uhol s aspoň dvoma samostatnými vektormi, ale nemusí ich byť veľa (inými slovami, je to možné, ale len do bodu, kde sú vektory vymenované).

"Normálny" sa používa vtedy, keď počet vektorov, ktoré zvierajú pravý uhol, tvorí nepočetnú množinu, t. j. celú rovinu .

Tento obrázok by vám mal pomôcť predstaviť si hlavné rozdiely.

Ortogonálne, normálové a kolmé v rôznych prípadoch vektorov.

Znamená ortogonálny kolmý?

Ortogonálne a kolmé sa líšia od vlastnosti byť kolmý ( Kolmosť ). Je to vzťah medzi dvoma priamkami, ktoré sa stretávajú pod uhlom 90 stupňov alebo pravým uhlom.

Hovorí sa, že táto vlastnosť sa rozširuje na ďalšie príbuzné geometrické objekty. Zatiaľ čo ortogonálny je vzťah dvoch priamok zvierajúcich pravý uhol.

Ortogonálny znamená vzťahujúci sa k priamkam, ktoré sú na seba kolmé alebo ktoré zvierajú pravý uhol, alebo sa na nich podieľajú, iný výraz pre tento pojem je ortografický.

Keď sú linky kolmé, pretínajú sa v pravom uhle. Napríklad všetky rohy obdĺžnikov a štvorcov sú pravouhlé.

Je nulový vektor ortogonálny ku každému vektoru?

Ak je súčin medzi 2 vektormi rovný 0, potom sa považujú za navzájom ortogonálne, Takže x,y ∈ X v (X,) sú ortogonálne, ak =0, teraz ak x a y v (X,) sú ortogonálne, potom to znamená, že akýkoľvek skalárny násobok x je tiež ortogonálny k y .

Pozrite si spracovaný príklad.

1. x,y>=k< x,y >=k0=0
2. teraz vezmeme k=0
3. potom< 0 ,y>=0
4. čo znamená, že nulový vektor je ortogonálny ku každému inému vektoru.

Iný spôsob, ako uvažovať polohu nulového vektora vzhľadom na normálový vektor, je:

1. Uvažujme ľubovoľné dva vektory A a B pôsobiace pod uhlom θ.θ.
2. Predpokladajme, že A×B=0A×B=0
3. ABsinθn=0ABsinθn=0(n je jednotkový vektor.)
4. A=0A=0 alebo B=0B=0 alebo sinθ=0sinθ=0
5. A=0A=0 alebo B=0B=0 alebo θ=0,πθ=0,π
6. A=0A=0 alebo B=0B=0 alebo A & amp; B sú paralelné.
7. Predpokladajme, že A.B=0A.B=0
8. ABcosθ=0ABcosθ=0
9. A=0A=0 alebo B=0B=0 alebo cosθ=0cosθ=0
10. A=0A=0 alebo B=0B=0 alebo θ=π2θ=π2
11. A=0A=0 alebo B=0B=0 alebo A & amp; B sú kolmé.
12. Teraz vytvoríme nasledujúcu situáciu:
13. Predpokladajme, že A×B=0A×B=0 a A.B=0A.B=0
14. To je možné len vtedy, ak A=0A=0 alebo B=0B=0
15. Tu vidíme, že obe podmienky môžu platiť len vtedy, ak je jeden z vektorov nulový.
16. Predpokladajme, že B=0B=0
17. Z prvej podmienky môžeme vyvodiť, že O je rovnobežný s A.
18. Z druhej podmienky môžeme vyvodiť, že O je kolmá na A.

Nulový vektor (nulový vektor) má teda ľubovoľný smer. Môže byť rovnobežný, kolmý alebo pod akýmkoľvek iným uhlom k ľubovoľnému vektoru.

Záver

Tu sú kľúčové informácie z tohto článku:

• Vektor je fyzikálna veličina s veľkosťou a smerom
• Ortogonálne, normálové a kolmé sú pojmy na opis objektu, ktorý je vzhľadom na iný objekt v uhle 90 stupňov. Pri ich aplikácii na vektory teda existuje len niekoľko technických rozdielov.
• Všetky znamenajú, že existuje deväťdesiatstupňový uhol. Kardinalita množiny pravých uhlov však vo všeobecnosti rozdeľuje použitie. "Kolmý" sa často používa, keď sa hovorí o dvoch vektoroch.
• Termín "ortogonálny" sa často používa na označenie vektora, ktorý zviera deväťdesiatstupňový uhol s aspoň dvoma samostatnými vektormi, ale nemusí ich byť veľa (inými slovami, je to možné, ale len do bodu, kde sú vektory vymenované).
• Pojem "normálny" sa používa vtedy, keď počet vektorov, ktoré zvierajú pravý uhol, tvorí nepočítateľnú množinu, t. j. celú rovinu.
• V bežnom jazyku sú prakticky rovnaké.

Dúfam, že tento článok vám pomôže lepšie pochopiť rozdiel medzi ortogonálnym, normálnym a kolmým pri práci s vektormi.

AKÝ JE ROZDIEL MEDZI AKTÍVNOU A REAKTÍVNOU SILOU? (KONTRAST)

AKÝ JE ROZDIEL MEDZI VEKTORMI A TENZORMI? (VYSVETLENÉ)

ROZDIEL MEDZI ROVNICAMI A FUNKCIAMI-1