Vektoren, ein Thema, das für manche Menschen einfach ist, während es für andere eine Herausforderung darstellt. Während das Verständnis der Definition und der Grundlagen von Vektoren für jeden ein Kinderspiel ist, insbesondere in der euklidischen Geometrie (2-dimensionale Geometrie), wird es verwirrend, wenn wir zu 3-dimensionalen Vektoren und nicht-linearen (gekrümmten) Vektoren übergehen.

Obwohl Vektoren mathematisch einfach und in der Physik äußerst nützlich sind, wurden sie nicht in ihrer modernen Form entwickelt. Erst gegen Ende des 19. Jahrhunderts, als Josiah Willard Gibbs und Oliver Heaviside (der Vereinigten Staaten bzw. Englands) wenden jeweils die Vektoranalyse an, um die neuen Gesetze der Elektromagnetismus .

Der Elektromagnetismus wird vorgeschlagen von James Clerk Das ist ziemlich überraschend, denn das war ungefähr zu der Zeit, als wir begannen, subatomare Teilchen zu entdecken und die Idee des modernen Atoms zu entwickeln.

Kurz gesagt: Orthogonal, normal und rechtwinklig sind Begriffe, die ein Objekt beschreiben, das in einem Winkel von 90 Grad zu einem anderen Objekt steht. Es gibt also nur wenige technische Unterschiede zwischen ihnen, wenn sie auf Vektoren angewendet werden. Kurz gesagt, sie sind ähnlich, aber nicht gleich.

Ich werde Ihnen die kleinen Unterschiede zwischen diesen mathematischen Begriffen genau erklären.

Was ist ein Vektor?

Ein Vektor wird in der Regel durch einen Pfeil dargestellt, der die gleiche Richtung wie die Größe hat und dessen Länge proportional zur Amplitude der Größe ist. Es handelt sich um eine Größe, die sowohl einen Betrag als auch eine Richtung hat.

Obwohl ein Vektor hat einen Betrag und eine Richtung, aber keine Position. Da die Länge des ursprünglichen Vektors nicht verändert wird, wird auch ein Vektor selbst nicht verändert, wenn er parallel zu seiner ursprünglichen Position verschoben wird

Im Gegensatz dazu werden gewöhnliche Größen, die eine Amplitude, aber keine Richtung haben, als Skalare bezeichnet: Geschwindigkeit, Beschleunigung und Verschiebung sind beispielsweise Vektorgrößen, während Geschwindigkeit, Zeit und Masse Skalarwerte sind.

Kurz und bündig, jede quantifizierbare Größe mit Größe und Richtung ist eine Vektorgröße und kann durch Geometrie veranschaulicht werden.

Mehrere Vektoren können addiert, subtrahiert und miteinander multipliziert werden, und zwar in Bezug auf ihre Richtung und ihren Betrag.

Bevor wir nun zu orthogonalen, senkrechten und normalen Vektoren übergehen, müssen wir zunächst die Definition von senkrecht, orthogonal und normal verstehen. Kurz gesagt, diese mathematischen Begriffe sind gleich, haben aber leichte Unterschiede in der situativen Verwendung.

Nachstehend finden Sie eine Tabelle, die Sie mit einigen vektoriellen und skalaren Größen vertraut machen soll.

Was sind Vektoren?

Schauen Sie sich dieses gut gemachte Video an, das Vektoren beschreibt:

Was sind Vektoren?

Was ist der Unterschied zwischen senkrecht, orthogonal und normal?

Es gibt Situationen, in denen der eine Begriff eher verwendet wird als der andere, aber in der Regel lassen sie sich mit geringem Verlust an Klarheit austauschen, d. h. im Allgemeinen ist der Kontext, in dem jeder Begriff verwendet wird, äußerst flexibel:

Senkrecht ist eine Beziehung zwischen "linienähnlichen" Objekten (Linie, Strahl, Liniensegment) in der klassischen Geometrie, die erfüllt ist, wenn ein beliebiger Winkel an ihrem Schnittpunkt 90 Grad beträgt (oder π/2π/2 Bogenmaß oder ein Viertel eines Kreises usw.).

Orthogonal ist eine Wechselwirkung zwischen Vektoren, die erfüllt ist, wenn die Bilinearform verschwindet. Nach der Umwandlung einer Schnittmenge von Linien in ein Vektorpaar ist die Rechtwinkligkeit die Orthogonalität im euklidischen Raum (integriert mit dem üblichen Punktprodukt), manchmal speziell in einer Ebene.

Normal ist eine Art Vektor auf einer Mannigfaltigkeit (z. B. einer Oberfläche), die in einem hyperdimensionalen (Vektor-)Raum orthogonal zum Tangentenraum an diesem Punkt gekapselt ist. Es ist auch der Name der Ableitung des Tangentenvektors einer parametrisierten Kurve, wobei binormal der "normale" (im üblichen Sinne) Vektor zur Ebene ist, die durch die Tangente und die Normale gebildet wird. Es ist zu beachten, dass sich normal oft auf eineVektor mit Einheitslänge, wie z. B. in orthonormal.

Infolgedessen gibt es keine wirkliche Unterscheidung, aber "senkrecht" wird häufig für zwei Dimensionen verwendet, "normal" für drei und "orthogonal" für den Fall, dass die Geometrie vollständig aufgegeben wird (damit man von orthogonalen Funktionen sprechen kann).

Nachdem wir nun unsere Begriffe geklärt haben, wollen wir sehen, wie sich diese Begriffe bei der Anwendung auf geometrische Vektoren unterscheiden.

Ist ein Normalvektor das Gleiche wie ein Orthogonalvektor?

Auf dem Papier, Zwei Vektoren, die senkrecht zueinander stehen, sind orthogonal, und einer ist normal zum anderen, aber der Nullvektor ist nicht normal zu irgendeinem Vektor, während er orthogonal zu allen Vektoren ist.

Generell, a "Normal" ist eine geometrische Bezeichnung für eine 90-Grad-Linie, während "orthogonal" selektiv als mathematische Bezeichnung verwendet wird.

Gleichzeitig bedeuten sie aber auch alle im rechten Winkel zueinander, und es ist eine Schande, dass es so viele verschiedene Wörter für einen Begriff gibt.

Man kann sagen, dass zwei Vektoren im rechten Winkel zueinander stehen, dass sie orthogonal oder senkrecht zueinander sind, und das bedeutet alles dasselbe. Man sagt auch, dass ein Vektor normal zu einem anderen ist, und das bedeutet so ziemlich dasselbe.

Man kann sagen, dass eine Reihe von Vektoren im 90-Grad-Winkel oder im rechten Winkel zueinander stehen, sie können gegenseitig oder paarweise orthogonal, gegenseitig oder paarweise senkrecht oder normal zueinander sein, und das bedeutet dasselbe.

Man kann sagen, dass ein Vektor im rechten Winkel zu einer Kurve oder Fläche steht, orthogonal zu ihr, senkrecht zu ihr oder normal zu ihr, und das bedeutet alles dasselbe.

Die Leute verwenden ihn austauschbar, wenn es um zwei gerade Vektoren geht, aber ich habe spezielle Verwendungen gesehen, wenn es um Kurven oder Oberflächen geht. Sehen Sie sich das Bild unten zur Veranschaulichung an.

Sie implizieren alle das Vorhandensein eines Neunzig-Grad-Winkels. Die Kardinalität der Menge der rechten Winkel trennt jedoch im Allgemeinen die Verwendung. "Senkrecht" wird häufig verwendet, wenn von zwei Vektoren die Rede ist.

Der Begriff "orthogonal" wird häufig verwendet, um einen Vektor zu beschreiben, der in einem 90-Grad-Winkel zu mindestens 2 separaten Vektoren steht, aber nicht notwendigerweise zu vielen (mit anderen Worten, es ist eine Möglichkeit, aber nur bis zu dem Punkt, an dem die Vektoren aufgezählt werden).

Normal" wird verwendet, wenn die Anzahl der Vektoren, die im rechten Winkel zueinander stehen, eine nicht abzählbare Menge bilden, d. h. eine ganze Ebene .

Dieses Bild soll Ihnen helfen, die wichtigsten Unterschiede zu erkennen.

Orthogonal, normal und rechtwinklig in verschiedenen Fällen von Vektoren.

Ist orthogonal gleichbedeutend mit rechtwinklig?

Orthogonal und Rechtwinklig unterscheiden sich von der Eigenschaft, rechtwinklig zu sein ( Rechtwinkligkeit Es ist die Beziehung zwischen zwei Linien, die sich im 90-Grad-Winkel oder im rechten Winkel treffen.

Man sagt, dass sich die Eigenschaft auf andere verwandte geometrische Objekte erstreckt, während orthogonal die Beziehung zwischen zwei Linien im rechten Winkel ist.

Orthogonal bedeutet, dass es sich um Linien handelt, die senkrecht zueinander stehen oder einen rechten Winkel bilden; ein anderer Begriff dafür ist orthografisch.

Wenn die Linien rechtwinklig sind, schneiden sie sich im rechten Winkel. Zum Beispiel sind die Ecken von Rechtecken und Quadraten alle rechtwinklig.

Ist der Nullvektor orthogonal zu jedem Vektor?

Wenn das Produkt zwischen 2 Vektoren 0 ist, dann werden sie als orthogonal zueinander betrachtet, also sind x,y ∈ X in (X,) orthogonal, wenn =0, wenn also x und y in (X,) orthogonal sind, dann bedeutet das, dass jedes skalare Vielfache von x auch orthogonal zu y ist .

Schauen Sie sich ein praktisches Beispiel an.

1. x,y>=k< x,y >=k0=0
2. Nehmen Sie nun k=0
3. dann< 0 ,y>=0
4. was bedeutet, dass der Nullvektor orthogonal zu allen anderen Vektoren ist.

Eine andere Möglichkeit, die Position eines Nullvektors in Bezug auf einen Normalenvektor zu betrachten, ist:

1. Betrachten Sie zwei beliebige Vektoren A und B die unter dem Winkel θ.θ wirken.
2. Angenommen, A×B=0A×B=0
3. ABsinθn=0ABsinθn=0(n ist ein Einheitsvektor.)
4. A=0A=0 oder B=0B=0 oder sinθ=0sinθ=0
5. A=0A=0 oder B=0B=0 oder θ=0,πθ=0,π
6. A=0A=0 oder B=0B=0 oder A & B sind parallel.
7. Angenommen, A.B=0A.B=0
8. ABcosθ=0ABcosθ=0
9. A=0A=0 oder B=0B=0 oder cosθ=0cosθ=0
10. A=0A=0 oder B=0B=0 oder θ=π2θ=π2
11. A=0A=0 oder B=0B=0 oder A & B senkrecht zueinander stehen.
12. Nun schaffen wir eine Situation wie folgt:
13. Angenommen, A×B=0A×B=0 und A.B=0A.B=0
14. Dies ist nur möglich, wenn A=0A=0 oder B=0B=0
15. Hier sehen wir, dass beide Bedingungen nur wahr sein können, wenn einer der Vektoren Null ist.
16. Angenommen, B=0B=0
17. Aus der ersten Bedingung lässt sich ableiten, dass O ist parallel zu A.
18. Aus der zweiten Bedingung lässt sich ableiten, dass O steht senkrecht zu A.

Der Nullvektor hat also eine beliebige Richtung, er kann parallel, senkrecht oder in einem beliebigen anderen Winkel zu einem beliebigen Vektor stehen.

Schlussfolgerung

Hier sind die wichtigsten Details aus diesem Artikel:

• Ein Vektor ist eine physikalische Größe mit einem Betrag und einer Richtung
• Orthogonal, normal und senkrecht sind Begriffe, die ein Objekt beschreiben, das in einem Winkel von 90 Grad zu einem anderen Objekt steht. Es gibt also nur wenige technische Unterschiede zwischen ihnen, wenn sie auf Vektoren angewendet werden.
• Sie implizieren alle das Vorhandensein eines Neunzig-Grad-Winkels. Die Kardinalität der Menge der rechten Winkel trennt jedoch im Allgemeinen die Verwendung. "Senkrecht" wird häufig verwendet, wenn von zwei Vektoren die Rede ist.
• Der Begriff "orthogonal" wird häufig verwendet, um einen Vektor zu beschreiben, der in einem 90-Grad-Winkel zu mindestens 2 separaten Vektoren steht, aber nicht notwendigerweise zu vielen (mit anderen Worten, es ist eine Möglichkeit, aber nur bis zu dem Punkt, an dem die Vektoren aufgezählt werden).
• Normal" wird verwendet, wenn die Anzahl der Vektoren, die im rechten Winkel zueinander stehen, eine nicht abzählbare Menge bilden, d. h. eine ganze Ebene.
• In der Alltagssprache sind sie praktisch identisch.

Ich hoffe, dieser Artikel hilft Ihnen, den Unterschied zwischen orthogonal, normal und senkrecht im Umgang mit Vektoren besser zu verstehen.

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