వెక్టర్స్, ఒక అంశం కొంతమందికి సులువుగా ఉంటుంది, అయితే కొందరు దీనిని సవాలుగా భావిస్తారు, అయితే వెక్టర్స్ యొక్క నిర్వచనం మరియు ప్రాథమికాలను అర్థం చేసుకోవడం ఎవరికైనా, ప్రత్యేకించి యూక్లిడియన్ జ్యామితిలో (2-డైమెన్షనల్ జ్యామితి) ఒక రకమైన ఆలోచన కాదు. మేము 3-డైమెన్షనల్ వెక్టర్స్ మరియు నాన్-లీనియర్ (వక్ర) వెక్టర్స్‌పైకి వెళ్లినప్పుడు గందరగోళంగా ఉంటుంది.

వెక్టర్‌లు గణితశాస్త్రంలో సరళమైనవి మరియు భౌతిక శాస్త్రంలో చాలా ఉపయోగకరంగా ఉన్నప్పటికీ, అవి వాటి ఆధునిక రూపంలో అభివృద్ధి చెందలేదు. 19వ శతాబ్దం చివరి వరకు జోషియా విల్లార్డ్ గిబ్స్ మరియు ఆలివర్ హెవిసైడ్ (వరుసగా యునైటెడ్ స్టేట్స్ మరియు ఇంగ్లండ్) <యొక్క కొత్త చట్టాలను వ్యక్తీకరించడంలో సహాయపడటానికి వెక్టర్ విశ్లేషణను వర్తింపజేసారు. 2>విద్యుదయస్కాంతత్వం .

విద్యుదయస్కాంతత్వం జేమ్స్ క్లర్క్ మాక్స్‌వెల్ ద్వారా ప్రతిపాదించబడింది. ఇది చాలా ఆశ్చర్యం కలిగిస్తుంది, అదే సమయంలో మేము ఉప-అణు కణాలను కనుగొనడం మరియు ఆధునిక-రోజు అణువు యొక్క ఆలోచనను అభివృద్ధి చేయడం ప్రారంభించాము.

సంక్షిప్తంగా: ఆర్తోగోనల్, సాధారణ మరియు లంబంగా ఉంటాయి. మరొక వస్తువుకు సంబంధించి 90 డిగ్రీల వద్ద ఉన్న వస్తువును వివరించడానికి నిబంధనలు. కాబట్టి వెక్టర్‌లకు వర్తింపజేసినప్పుడు వాటి మధ్య కొన్ని సాంకేతిక వ్యత్యాసాలు మాత్రమే ఉన్నాయి. క్లుప్తంగా, అవి ఒకేలా ఉంటాయి కానీ ఒకేలా ఉండవు.

ఈ గణిత పదాల మధ్య ఉన్న చిన్నపాటి వ్యత్యాసాలను నేను పూర్తిగా వివరిస్తున్నాను.

వెక్టర్ అంటే ఏమిటి?

వెక్టర్ సాధారణంగా అదే దిశలో ఉన్న బాణంతో సూచించబడుతుందిపరిమాణం మరియు పరిమాణం యొక్క వ్యాప్తికి అనులోమానుపాతంలో పొడవు. ఇది పరిమాణం మరియు దిశ రెండింటినీ కలిగి ఉన్న పరిమాణం.

వెక్టర్ పరిమాణం మరియు దిశను కలిగి ఉన్నప్పటికీ, దానికి స్థానం లేదు. అసలైన వెక్టార్ యొక్క పొడవు మార్చబడలేదని అంగీకరించబడింది, ఒక వెక్టర్ దాని అసలు స్థానానికి సమాంతరంగా స్థానభ్రంశం చేయబడితే అది కూడా మార్చబడదు

దీనికి విరుద్ధంగా, వ్యాప్తిని కలిగి ఉన్న కానీ దిశ లేని సాధారణ పరిమాణాలను స్కేలార్లుగా సూచిస్తారు. . వేగం, త్వరణం మరియు స్థానభ్రంశం, ఉదాహరణకు, వెక్టర్ పరిమాణాలు, అయితే వేగం, సమయం మరియు ద్రవ్యరాశి స్కేలార్‌ల విలువలు.

కాబట్టి క్లుప్తంగా, పరిమాణం మరియు దిశతో ఏదైనా పరిమాణాత్మక పరిమాణం వెక్టర్. పరిమాణం మరియు జ్యామితిని ఉపయోగించి ఉదహరించవచ్చు.

బహుళ వెక్టర్‌లను వాటి దిశ మరియు పరిమాణానికి సంబంధించి ఒకదానితో ఒకటి జోడించడం, తీసివేయడం మరియు గుణించడం చేయవచ్చు.

ఇప్పుడు, ఆర్తోగోనల్, లంబంగా మరియు సాధారణ వెక్టర్‌లపైకి వెళ్లే ముందు, మేము మొదట లంబ, ఆర్తోగోనల్ మరియు సాధారణ నిర్వచనాన్ని అర్థం చేసుకోవాలి. సంక్షిప్తంగా, ఈ గణిత పదాలు ఒకే విధంగా ఉంటాయి, అయినప్పటికీ సందర్భోచిత వినియోగంలో స్వల్ప వ్యత్యాసాలను కలిగి ఉన్నాయి.

కొన్ని వెక్టర్ మరియు స్కేలార్ పరిమాణాలతో మీకు పరిచయం చేయడానికి నేను దిగువ పట్టికను చేర్చాను.

వెక్టర్స్ అంటే ఏమిటి?

వెక్టర్‌లను వివరించే ఈ చక్కగా రూపొందించిన వీడియోను చూడండి:

వెక్టర్స్ అంటే ఏమిటి?

లంబంగా, ఆర్థోగోనల్‌కు మరియు సాధారణానికి మధ్య తేడా ఏమిటి?

అత్యంత నిజాయితీ సమాధానం “ఏమీ లేదు”. ఒకదాని కంటే ఒకటి ఎక్కువగా ఉపయోగించబడే సందర్భాలు ఉన్నాయి, కానీ అవి సాధారణంగా తక్కువ స్పష్టత కోల్పోవడంతో పరస్పరం మార్చుకోవచ్చు, అంటే సాధారణంగా, ప్రతి పదాన్ని చుట్టుముట్టే సందర్భం, ఇది చాలా అనువైనదని గుర్తుంచుకోండి:<3

లంబంగా అనేది క్లాసికల్ జ్యామితిలో “రేఖ-వంటి” వస్తువుల (రేఖ, కిరణం, రేఖ విభాగం) మధ్య సంబంధం, ఇది వాటి ఖండన వద్ద ఏదైనా కోణం 90 డిగ్రీలు (లేదా) ఉన్నప్పుడు సంతృప్తి చెందుతుంది. π/2π/2 రేడియన్‌లు, లేదా వృత్తంలో నాలుగింట ఒక వంతు మొదలైనవి).

ఆర్తోగోనల్ అనేది బైలినియర్ రూపం అదృశ్యమైనప్పుడు సంతృప్తి చెందే వెక్టర్‌ల మధ్య పరస్పర చర్య. లైన్-లైక్‌ల ఖండనను ఒక జత వెక్టర్స్‌గా మార్చిన తర్వాత, లంబంగా యూక్లిడియన్ స్పేస్‌లో ఆర్తోగోనాలిటీ (సాధారణ డాట్ ఉత్పత్తితో కలిసి ఉంటుంది), కొన్నిసార్లు ప్రత్యేకంగా ఒక విమానం.

సాధారణ ఒక రకమైనది. మానిఫోల్డ్‌పై వెక్టర్ (ఉదాహరణకు, ఒక ఉపరితలం) హైపర్ డైమెన్షనల్ (వెక్టర్) స్పేస్ ఆర్తోగోనల్‌లో ఆ సమయంలో టాంజెంట్ స్పేస్‌తో కప్పబడి ఉంటుంది, ఇది పారామిటరైజ్డ్ కర్వ్ యొక్క టాంజెంట్ వెక్టర్ యొక్క ఉత్పన్నం పేరు కూడా, ఇక్కడ బైనార్మల్టాంజెంట్ మరియు నార్మల్ ద్వారా ఏర్పడిన సమతలానికి "సాధారణ" (సాధారణ అర్థంలో) వెక్టర్. తనిఖీ చేయవలసిన విషయమేమిటంటే, సాధారణం తరచుగా యూనిట్-పొడవు వెక్టార్‌ని సూచిస్తుంది, ఆర్థోనార్మల్‌లో ఉంటుంది.

ఫలితంగా, నిజమైన వ్యత్యాసం లేదు, కానీ "లంబంగా" తరచుగా రెండు కొలతలు కోసం ఉపయోగించబడుతుంది. , మూడింటికి “సాధారణం” మరియు జ్యామితి పూర్తిగా విడిచిపెట్టబడినప్పుడు “ఆర్తోగోనల్” (కాబట్టి మీరు ఆర్తోగోనల్ ఫంక్షన్‌ల గురించి మాట్లాడవచ్చు).

ఇప్పుడు మేము మా భావనలను క్లియర్ చేసాము, ఈ పరిభాషలు వర్తింపజేసినప్పుడు ఎలా విభేదిస్తాయో చూద్దాం. జ్యామితీయ వెక్టార్‌లకు.

సాధారణ వెక్టర్ ఆర్తోగోనల్‌తో సమానమేనా?

కాగితంపై, అవి ఒకే నిర్వచనాన్ని కలిగి ఉన్నాయి, కానీ సైద్ధాంతికంగా, వాటికి భిన్నమైన నిర్వచనాలు ఉన్నాయి. రెండు లంబ వెక్టర్‌లు ఆర్తోగోనల్ మరియు ఒకటి మరొకదానికి సాధారణం, కానీ సున్నా వెక్టర్ ఏ వెక్టర్‌కి సాధారణం కాదు, అయితే ప్రతి వెక్టర్‌కి ఆర్తోగోనల్‌గా ఉంటుంది.

సాధారణంగా, ఒక “సాధారణ” అనేది 90-డిగ్రీల రేఖ యొక్క రేఖాగణిత వర్ణన, అయితే “ఆర్తోగోనల్” అనేది గణితశాస్త్రంగా ఎంపిక చేయబడుతుంది.

అయితే అదే సమయంలో, అవన్నీ లంబ కోణంలో, మరియు ఒక భావనకు చాలా భిన్నమైన పదాలు ఉండటం సిగ్గుచేటు.

రెండు వెక్టర్‌లు ఒకదానికొకటి లంబ కోణంలో ఉన్నాయని, ఆర్తోగోనల్ లేదా లంబంగా ఉన్నాయని మీరు చెప్పవచ్చు మరియు దీని అర్థం ఒకటే. ప్రజలు కూడా ఒక వెక్టార్ మరొకదానికి సాధారణమని చెబుతారు మరియు చాలా చక్కని అర్థం అదేవిషయం.

వెక్టర్‌ల సమితి ఒకదానికొకటి 90 డిగ్రీలు లేదా లంబ కోణంలో ఉన్నాయని మీరు చెప్పవచ్చు, అది పరస్పరం లేదా జతవైపు ఆర్తోగోనల్ కావచ్చు, పరస్పరం లేదా జత వైపు లంబంగా ఉండవచ్చు లేదా ఒకదానికొకటి సాధారణం కావచ్చు మరియు అదే అర్థం విషయం.

ఒక వెక్టార్ ఒక వక్రరేఖకు లేదా ఉపరితలంపై లంబ కోణంలో ఉందని, దానికి ఆర్తోగోనల్‌గా, దానికి లంబంగా లేదా దానికి సాధారణమని మీరు చెప్పవచ్చు మరియు వీటన్నింటికీ ఒకే అర్థం ఉంటుంది. అయితే వక్రతలు మరియు ఉపరితలాల గురించి మాట్లాడేటప్పుడు, మరింత సముచితమైన పదం “సాధారణం”

ప్రజలు రెండు స్ట్రెయిట్ వెక్టర్‌లతో వ్యవహరించేటప్పుడు దీనిని పరస్పరం మార్చుకుంటారు, కానీ నేను వక్రతలు లేదా ఉపరితలాలతో వ్యవహరించేటప్పుడు నిర్దిష్ట ఉపయోగాలను చూశాను. విజువలైజేషన్ కోసం దిగువన ఉన్న చిత్రాన్ని చూడండి.

అవన్నీ తొంభై-డిగ్రీల కోణం ఉందని సూచిస్తున్నాయి. అయితే, లంబ కోణాల సమితి యొక్క కార్డినాలిటీ సాధారణంగా వినియోగాన్ని వేరు చేస్తుంది. రెండు వెక్టర్స్ గురించి మాట్లాడేటప్పుడు 'లంబంగా' తరచుగా ఉపయోగించబడుతుంది.

తొంభై-డిగ్రీల కోణంలో కనీసం 2 వేర్వేరు వెక్టర్‌లకు ఉండే వెక్టర్‌ను వివరించడానికి 'ఆర్తోగోనల్' అనే పదాన్ని తరచుగా ఉపయోగిస్తారు, కానీ చాలా అవసరం లేదు (మరో మాటలో చెప్పాలంటే, ఇది ఒక అవకాశం కానీ మాత్రమే వెక్టార్‌లు లెక్కించబడిన పాయింట్).

లంబ కోణంలో ఉన్న వెక్టర్‌ల సంఖ్య లెక్కించలేని సమితిని ఏర్పరుచుకున్నప్పుడు, అంటే మొత్తం విమానం .

ఈ చిత్రం కీలక వ్యత్యాసాలను విజువలైజ్ చేయడంలో మీకు సహాయం చేస్తుంది.

వివిధ వెక్టర్‌లలో ఆర్తోగోనల్, నార్మల్ మరియు లంబంగా ఉంటుంది.

అంటే.ఆర్తోగోనల్ మీన్ లంబంగా?

ఆర్తోగోనల్ మరియు పెర్పెండిక్యులర్ లంబంగా ఉండే లక్షణానికి భిన్నంగా ఉంటాయి ( పెర్పెండిక్యులారిటీ ). ఇది 90 డిగ్రీలు లేదా లంబ కోణంలో కలిసే రెండు పంక్తుల మధ్య సంబంధం.

ఆస్తి ఇతర సంబంధిత రేఖాగణిత వస్తువులకు విస్తరించబడుతుంది. ఆర్తోగోనల్ అనేది లంబ కోణంలో ఉన్న రెండు పంక్తుల సంబంధం అయితే.

ఆర్థోగోనల్ అంటే లంబంగా లేదా లంబ కోణాలను ఏర్పరుచుకునే పంక్తులకు సంబంధించినది లేదా చేర్చడం, దీనికి మరొక పదం ఆర్థోగ్రాఫిక్.

పంక్తులు లంబంగా ఉన్నప్పుడు, అవి లంబ కోణంలో కలుస్తాయి. ఉదాహరణకు, దీర్ఘ చతురస్రాలు మరియు చతురస్రాల మూలలన్నీ లంబ కోణాలే.

ప్రతి వెక్టర్‌కు సున్నా వెక్టర్ ఆర్తోగోనల్‌గా ఉందా?

2 వెక్టర్‌ల మధ్య ఉత్పత్తి 0 అయితే, అవి ఒకదానికొకటి ఆర్తోగోనల్‌గా పరిగణించబడతాయి, కాబట్టి (X,)లోని x,y ∈ X ఆర్తోగోనల్ అయితే =0 అయితే, ఇప్పుడు x మరియు y in (X,) ఆర్తోగోనల్ అయితే x యొక్క ఏదైనా స్కేలార్ గుణిజాలు కూడా y కి ఆర్తోగోనల్ అని అర్థం.

పనిచేసిన ఉదాహరణను చూడండి.

1. x,y>=k< x,y >=k0= 0
2. ఇప్పుడు k=0
3. అప్పుడు< 0 ,y>=0 తీసుకోండి
4. అంటే సున్నా వెక్టార్ ప్రతి ఇతర వెక్టార్‌కు ఆర్తోగోనల్‌గా ఉంటుంది.

ఒకకి సంబంధించి సున్నా వెక్టర్ స్థానాన్ని పరిగణనలోకి తీసుకోవడానికి మరొక మార్గం సాధారణ వెక్టర్:

1. ఏదైనా రెండు వెక్టార్‌లు A మరియు B కోణంలో పనిచేస్తాయిθ.θ.
2. A×B=0A×B=0
3. ABsinθn=0ABsinθn=0(n అనేది యూనిట్ వెక్టర్.)
4. A=0A=0 లేదా B=0B=0 లేదా sinθ=0sinθ=0
5. A=0A=0 లేదా B=0B =0 లేదా θ=0,πθ=0,π
6. A=0A=0 లేదా B=0B=0 లేదా A & B సమాంతరంగా ఉన్నాయి.
7. A.B=0A.B=0
8. ABcosθ=0ABcosθ=0
9. A=0A=0 లేదా B=0B=0 లేదా cosθ=0cosθ=0
10. A=0A=0 లేదా B=0B=0 లేదా θ=π2θ =π2
11. A=0A=0 లేదా B=0B=0 లేదా A & B లంబంగా ఉన్నాయి.
12. ఇప్పుడు మనం ఈ క్రింది విధంగా పరిస్థితిని సృష్టిస్తాము:
13. A×B=0A×B=0 మరియు A.B=0A.B=0
14. A=0A=0 లేదా B=0B=0
15. ఇక్కడ మనం చూస్తాము వెక్టర్‌లలో ఒకటి సున్నా అయితేనే రెండు షరతులు నిజం కాగలవు.
16. B=0B=0
17. మొదటి షరతు నుండి, O Aకి సమాంతరంగా ఉందని మేము ఊహించవచ్చు.
18. రెండవ షరతు నుండి, మేము O అని ఊహించవచ్చు Aకి లంబంగా ఉంటుంది.

కాబట్టి, శూన్య వెక్టర్(సున్నా వెక్టర్)కి ఏకపక్ష దిశ ఉంటుంది. ఇది ఏదైనా వెక్టర్‌కి సమాంతరంగా లేదా లంబంగా లేదా ఏదైనా ఇతర కోణంలో ఉండవచ్చు.

ముగింపు

ఈ కథనంలోని ముఖ్య వివరాలు ఇక్కడ ఉన్నాయి: