ベクトルの定義や基本を理解することは、特にユークリッド幾何学（2次元幾何学）では誰にでもできることですが、3次元のベクトルや非線形（曲線）ベクトルになると、混乱が生じます。

ベクトルは数学的に単純で、物理学では非常に有用なものですが、近代的な形では開発されませんでした。 19世紀後半になってから ヨシヤ ウィラード・ギブスと オリバー・ヘヴィサイド (の新しい法則を表現するために、それぞれベクトル解析を適用しています（米国と英国）。 電磁気学 .

電磁気学は、以下のように提唱されています。 ジェームズ・クラーク 素粒子が発見され、原子の概念が確立されたのと同じ頃ですから、驚きです。

要するにですね： 直交、法線、垂直は、他の物体に対して90度の位置にある物体を表現する用語です。 つまり、ベクターに適用する場合、両者には技術的な違いが少ししかありません。 一言で言えば、似ているけど同じではないのです。

この数学用語の細かな違いを徹底的に解説していきますので、ぜひご参加ください。

ベクトルとは何ですか？

ベクトルは通常、量と同じ方向を持ち、量の振幅に比例する長さの矢印で表されます。 大きさと方向を併せ持つ量なのです。

がありますが、これは ベクター 元のベクトルの長さが変化しないことを前提に、元の位置と平行に変位しても、ベクトル自体は変化しない

例えば、速度、加速度、変位はベクトル量であり、速度、時間、質量はスカラー値である。

だから、一言で言えば 大きさと方向を持つ定量的な量は、ベクトル量である。 と、幾何学を使って説明することができます。

複数のベクトルは、その方向と大きさに関して、互いに加算、減算、乗算することができます。

さて、直交ベクトル、直交ベクトル、法線ベクトルについて説明する前に、まず直交、直交、法線の定義を理解する必要があります。 要するに、これらの数学用語は同じものですが、状況に応じて使い方が若干異なるのです。

以下に、いくつかのベクトル量とスカラー量について知っていただくための表を掲載しました。

ベクターとは何ですか？

ベクターについて説明したよくできたビデオをご覧ください：

ベクターとは何ですか？

垂直、直交、垂直の違いとは？

どちらか一方が使われやすい状況もありますが、一般的には、それぞれの用語を取り巻く文脈を考慮し、極めて柔軟な対応が可能であることに留意してください：

垂直方向 とは、古典幾何学の「線状」物体（線、光線、線分）間の関係で、それらの交点の角度が90度（またはπ/2π/2ラジアン、または円の1/4など）である場合に成立する。

直交性 は、バイリニア形式が消滅したときに成立するベクトル間の相互作用であり、線形の交点をベクトルの組に変換した後、ユークリッド空間（通常のドットプロダクトで積分）、特に平面において直交することをperpendicularityといいます。

ノーマル は、その点での接線空間に直交する超次元（ベクトル）空間に内包される多様体（例えば、表面）上のベクトルの一種です。 また、パラメータ付き曲線の接線ベクトルの微分の名前でもあり、binormalは接線と法線の成す平面に対する（通常の意味での）「法線」ベクトルです。 注意すべき点は、法線がしばしば、以下のものを指すことがあります。orthonormalのように、単位長さのベクトルも。

そのため、実質的な区別はありませんが、2次元の場合は「垂直」、3次元の場合は「法線」、幾何学を完全に放棄した場合（直交関数を語れるように）は「直交」がよく使われます。

さて、概念を整理したところで、これらの用語が幾何学的なベクトルに適用された場合、どのように異なるかを見てみましょう。

法線ベクトルは直交ベクトルと同じか？

紙面上では、 直交する2つのベクトルは直交し、一方は他方に対して法線となるが、ゼロベクトルはすべてのベクトルに対して直交する一方で、どのベクトルに対しても法線とならない。

一般的には、 a "Normal "は90度の線を幾何学的に表現したものであるのに対し、"Orthogonal "は数学的なものとして選択的に使用されています。

しかし、同時に、それらはすべて、次のような意味を持っています。 が直角になる、 と、一つの概念に対して様々な言葉があるのは残念なことです。

2つのベクトルが互いに直角である、直交している、垂直であるといった表現がありますが、これらはすべて同じ意味です。 また、あるベクトルが別のベクトルに対して垂直であるとも言いますが、これもほぼ同じ意味です。

ベクトル同士が90度や直角であったり、互いに直交していたり、互いに垂直であったり、法線であったりしますが、これは同じことを意味します。

ベクトルは、曲線や曲面に対して直角、直交、垂直、法線と言うことができ、これらはすべて同じ意味です。 しかし、曲線や曲面について話す場合、より適切な用語は "法線" です。

2つの直線のベクトルを扱うときによく使われますが、曲線や曲面を扱うときに特有の使い方があります。 下の画像を見て、視覚化してみましょう。

いずれも90度の角度が存在することを意味するが、直角の集合の基数によって使い分けられるのが一般的である。 垂直」は、2つのベクトルについて話すときによく使われる。

直交」という言葉は、少なくとも2つの別々のベクトルに対して90度の角度を持つが、必ずしも多くはない（言い換えれば、可能性はあるがベクトルを列挙するところまでしかない）ベクトルを表すために頻繁に使用される言葉である。

ノーマル」は、直角になるベクトルの数が数え切れない集合を形成する場合、つまり平面全体を形成する場合に使用されます .

この写真を見ていただければ、主な違いをイメージしていただけると思います。

直交、垂直、直交はベクトルの場合によって異なる。

直交とは垂直の意味か？

直交と垂直は、垂直であるという性質とは異なります( 垂直性 )、90度または直角に交わる2本の直線の関係である。

この性質は、関連する他の幾何学的対象にも及ぶとされる。 直交とは、2本の線が直角になる関係であるのに対し、直交は、2本の線が直角になる関係である。

直交とは、垂直または直角をなす線に関係する、または関係することを意味し、別の用語として直交図があります。

線がある場合 直角であれば、直角に交わる。 例えば、長方形や正方形の角は、すべて直角です。

ゼロベクトルはすべてのベクトルに直交するか？

つまり、(X,)のx,y∈Xは=0なら直交していることになり、(X,)のxとyが直交するなら、xの任意のスカラー倍はyにも直交することになる。 .

動作例をご覧ください。

1. x,y>=k<； x,y >=k0=0
2. ここで、k=0とする
3. ということになります； 0 ,y>=0
4. であり、ゼロベクトルは他のすべてのベクトルに直交していることを意味する。

また、法線ベクトルに対するゼロベクトルの位置を考えるという方法もあります：

1. 任意の2つのベクトルを考える A と B 角度θ.θで作用する。
2. 仮にA×B=0A×B=0とします。
3. ABsinθn=0ABsinθn=0(nは単位ベクトル。)
4. A＝0A＝0またはB＝0B＝0またはsinθ＝0sinθ＝0
5. A=0A=0またはB=0B=0またはθ=0,πθ=0,π
6. A=0A=0またはB=0B=0または A & B が平行になる。
7. 仮にA.B=0A.B=0とします。
8. ABcosθ=0ABcosθ=0
9. A＝0A＝0またはB＝0B＝0またはcosθ＝0cosθ＝0
10. A=0A=0またはB=0B=0またはθ=π2θ=π2
11. A=0A=0またはB=0B=0または A & B は直交している。
12. ここで、以下のような状況を作り出します：
13. A×B=0A×B=0、A.B=0A.B=0としますと
14. A=0A=0またはB=0B=0の場合のみ可能です。
15. ここで、両方の条件が成立するのは、どちらかのベクトルが0である場合のみであることがわかります。
16. 仮にB=0B=0とする。
17. 最初の条件から、次のように推察される。 O に平行である。 A.
18. 2つ目の条件から、次のように推測される。 O に垂直である。 A.

つまり、ヌルベクトル（ゼロベクトル）は、任意のベクトルに対して、平行、垂直、その他の角度を持った任意の方向を持つ。

結論

この記事から主な内容を紹介します：

• ベクトルとは、大きさと方向を持つ物理量のことである
• 直交、法線、垂直は、他の物体に対して90度の位置にある物体を表す用語です。 そのため、ベクトルに適用する場合、これらの間には技術的にいくつかの違いがあるだけです。
• いずれも90度の角度が存在することを意味するが、直角の集合の基数によって使い分けられるのが一般的である。 垂直」は、2つのベクトルについて話すときによく使われる。
• 直交」という言葉は、少なくとも2つの別々のベクトルに対して90度の角度を持つが、必ずしも多くはない（言い換えれば、可能性はあるがベクトルを列挙するところまでしかない）ベクトルを表すために頻繁に使用される言葉である。
• ノーマル」は、直角になるベクトルの数が数え切れない集合を形成する場合、つまり平面全体を形成する場合に使用します。
• 日常会話では、ほとんど同じです。

この記事を読んで、ベクトルを扱う際の「直交」「法線」「垂直」の違いについて、より深く理解していただければ幸いです。

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