भेक्टरहरू, एउटा विषय कसैलाई सजिलो लाग्छ, जबकि कसैलाई यो चुनौतीपूर्ण लाग्छ, जबकि भेक्टरहरूको परिभाषा र आधारभूत कुराहरू बुझ्नु कसैको लागि नो-ब्रेनर हो, विशेष गरी युक्लिडियन ज्यामिति (२-आयामी ज्यामिति) मा, चीजहरू प्राप्त हुन्छन्। जब हामी 3-आयामी भेक्टरहरू र गैर-रैखिक (वक्र) भेक्टरहरूमा जान्छौं भने भ्रमित हुन्छ।

भ्याक्टरहरू गणितीय रूपमा सरल र भौतिकशास्त्रमा अत्यन्त उपयोगी भए तापनि तिनीहरूको आधुनिक रूपमा विकास भएको थिएन। 19 औं शताब्दीको अन्त सम्म होइन जब जोसिया विलार्ड गिब्स र ओलिभर हेभिसाइड (क्रमशः संयुक्त राज्य र इङ्गल्याण्डका) प्रत्येकले भेक्टर विश्लेषण लागू गर्दछ ताकि <को नयाँ नियमहरू व्यक्त गर्न मद्दत गर्नुहोस्। 2>विद्युत चुम्बकत्व ।

विद्युत चुम्बकत्व जेम्स क्लर्क मैक्सवेल द्वारा प्रस्तावित छ। यो एकदमै अचम्मको कुरा हो, किनकि हामीले उप-परमाणु कणहरू पत्ता लगाउन र आधुनिक-दिनको परमाणुको विचार विकास गर्न थालेको त्यही समयको कुरा हो। अर्को वस्तुको सन्दर्भमा ९० डिग्रीमा रहेको वस्तुलाई वर्णन गर्ने सर्तहरू। त्यसैले भेक्टरहरूमा लागू गर्दा तिनीहरू बीच केही प्राविधिक भिन्नताहरू मात्र छन्। संक्षेपमा, तिनीहरू समान छन् तर समान छैनन्।

मसँग सामेल हुनुहोस् किनकि मैले यी गणितीय सर्तहरू बीचको सानो भिन्नतालाई राम्ररी व्याख्या गर्छु।

भेक्टर के हो?

भेक्टरलाई सामान्यतया एउटै दिशा भएको एरोद्वारा प्रतिनिधित्व गरिन्छमात्रा र परिमाणको आयामसँग समानुपातिक लम्बाइ। यो परिमाण र दिशा दुवै भएको परिमाण हो।

यद्यपि एक भेक्टर को परिमाण र दिशा छ, यसको कुनै स्थिति छैन। मूल भेक्टरको लम्बाइ परिवर्तन गरिएको छैन भनी स्वीकार गरिएको छ, यदि कुनै भेक्टरलाई यसको मूल स्थितिसँग समानान्तर विस्थापित गरिएको छ भने पनि परिवर्तन हुँदैन। । वेग, त्वरण, र विस्थापन, उदाहरणका लागि, भेक्टर मात्राहरू हुन्, जबकि गति, समय, र द्रव्यमान स्केलरको मानहरू हुन्।

तसर्थ संक्षिप्तमा, आकार र दिशा सहितको कुनै पनि परिमाणयोग्य मात्रा भेक्टर हो। मात्रा र ज्यामिति प्रयोग गरेर चित्रण गर्न सकिन्छ।

बहु भेक्टरहरूलाई तिनीहरूको दिशा र परिमाणको सन्दर्भमा एकअर्कासँग जोड्न, घटाउन र गुणन गर्न सकिन्छ।

अब, अर्थोगोनल, लम्बवत, र सामान्य भेक्टरहरूमा जानु अघि, हामी पहिले लम्ब, अर्थोगोनल र सामान्य को परिभाषा बुझ्न आवश्यक छ। छोटकरीमा, यी गणितीय सर्तहरू समान छन्, तर परिस्थितिगत प्रयोगमा थोरै भिन्नताहरू छन्।

तपाईँलाई केही भेक्टर र स्केलर मात्राहरूसँग परिचित गराउन मैले तलको तालिका समावेश गरेको छु।

भेक्टरहरू के हुन्?

भेक्टरहरू वर्णन गर्ने यो राम्रोसँग बनाइएको भिडियोमा हेर्नुहोस्:

भेक्टरहरू के हुन्?

लंब, अर्थोगोनल, र सामान्य बीचको भिन्नता के हो?

सबैभन्दा इमानदार जवाफ "केही छैन" हो। त्यहाँ परिस्थितिहरू छन् जहाँ एउटा अर्को भन्दा बढी प्रयोग हुने सम्भावना हुन्छ, तर तिनीहरू सामान्यतया स्पष्टताको थोरै हानिको साथ आदानप्रदान गर्न सकिन्छ, जुन सामान्यतया प्रत्येक शब्दलाई घेरिएको सन्दर्भ हो, यो अत्यन्तै लचिलो छ भन्ने कुरामा ध्यान दिनुहोस्:<3

लंब शास्त्रीय ज्यामितिमा "रेखा-जस्तै" वस्तुहरू (रेखा, किरण, रेखा खण्ड) बीचको सम्बन्ध हो, जुन सन्तुष्ट हुन्छ जब तिनीहरूको प्रतिच्छेदनमा कुनै कोण 90 डिग्री (वा π/2π/2 रेडियन, वा सर्कलको एक चौथाई, आदि।।

अर्थोगोनल भेक्टरहरू बीचको अन्तरक्रिया हो जुन द्विरेखीय रूप गायब हुँदा सन्तुष्ट हुन्छ। रेखा-लाइकको प्रतिच्छेदनलाई भेक्टरको जोडीमा रूपान्तरण गरेपछि, लम्बवतता भनेको इक्लिडियन स्पेस (सामान्य डट उत्पादनसँग एकीकृत) मा अर्थोगोनालिटी हो, कहिलेकाहीँ विशेष गरी एउटा समतल।

सामान्य एक प्रकारको हो। मेनिफोल्डमा भेक्टरको (उदाहरणका लागि, सतह) हाइपरडाइमेन्सनल (भेक्टर) स्पेस ओर्थोगोनलमा ट्यान्जेन्ट स्पेसमा त्यस बिन्दुमा समेटिएको यो एक प्यारामिटराइज्ड कर्भको ट्यान्जेन्ट भेक्टरको व्युत्पन्नको नाम पनि हो, जहाँ द्विसाधारण हुन्छ।"सामान्य" (सामान्य अर्थमा) ट्यान्जेन्ट र सामान्यद्वारा बनेको विमानमा भेक्टर। जाँच गर्न को लागी केहि कुरा यो हो कि सामान्य ले प्राय: एकाइ-लम्बाइ भेक्टरलाई पनि सन्दर्भ गर्न सक्छ, जस्तै अर्थोनोर्मलमा।

नतिजाको रूपमा, त्यहाँ कुनै वास्तविक भिन्नता छैन, तर "सीधा" प्रायः दुई आयामहरूको लागि प्रयोग गरिन्छ। , "सामान्य" तीन को लागी, र "अर्थोगोनल" को लागी जब ज्यामिति पूर्ण रूपमा त्यागिएको छ (यसकारण तपाईले अर्थोगोनल प्रकार्यहरूको बारेमा कुरा गर्न सक्नुहुन्छ)।

अब हामीले हाम्रा अवधारणाहरू सफा गरिसकेका छौं, लागू गर्दा यी शब्दावलीहरू कसरी फरक हुन्छन् हेरौं। ज्यामितीय भेक्टरहरूमा।

के एक सामान्य भेक्टर अर्थोगोनल जस्तै हो?

कागजमा, उनीहरूको एउटै परिभाषा देखिन्छ, तर सैद्धान्तिक रूपमा, तिनीहरूको फरक फरक परिभाषाहरू छन्। दुई लंब भेक्टरहरू अर्थोगोनल हुन् र एउटा अर्कोको लागि सामान्य हो, तर शून्य भेक्टर कुनै पनि भेक्टरको लागि सामान्य हुँदैन जबकि यो प्रत्येक भेक्टरको लागि अर्थोगोनल हुन्छ।

सामान्य रूपमा, एक "सामान्य" 90-डिग्री रेखाको ज्यामितीय विवरण हो, जबकि "अर्थोगोनल" लाई गणितीय रूपमा चयन गरी प्रयोग गरिन्छ।

तथापि, ती सबैको अर्थ समकोणमा, र यो लाजमर्दो कुरा हो कि त्यहाँ एउटा अवधारणाको लागि धेरै फरक शब्दहरू छन्।

तपाईले भन्न सक्नुहुन्छ कि दुई भेक्टरहरू एकअर्काको समकोणमा छन्, अर्थोगोनल, वा लम्बवत, र यो सबैको अर्थ एउटै कुरा हो। मानिसहरूले एउटा भेक्टर अर्कोको लागि सामान्य हो भन्छन्, र त्यसको अर्थ पनि उस्तै हुन्छवस्तु।

तपाईले भेक्टरहरूको सेट एकअर्काको ९० डिग्री वा दायाँ कोणमा छ भन्न सक्नुहुन्छ, यो पारस्परिक वा जोडीरूपमा अर्थोगोनल, पारस्परिक वा जोडीरूपमा लम्बवत, वा एकअर्काको सामान्य हुन सक्छ, र यसको अर्थ समान हुन्छ। वस्तु।

तपाईले भेक्टरलाई वक्र वा सतहको दायाँ कोणमा, त्यसमा अर्थोगोनल, त्यसमा लम्बवत वा त्यसमा सामान्य, र ती सबैको अर्थ एउटै हुन्छ भन्न सक्नुहुन्छ। यद्यपि वक्र र सतहहरूको बारेमा कुरा गर्दा, अधिक उपयुक्त शब्द "सामान्य" हो

दुई सीधा भेक्टरहरूसँग व्यवहार गर्दा मानिसहरूले यसलाई एकान्तर रूपमा प्रयोग गर्छन्, तर मैले कर्भ वा सतहहरूसँग व्यवहार गर्दा विशेष प्रयोगहरू देखेको छु। भिजुअलाइजेशनको लागि तलको छविमा एक नजर राख्नुहोस्।

ती सबैले नब्बे डिग्री कोण अवस्थित छ भन्ने संकेत गर्छ। यद्यपि, दायाँ कोणहरूको सेटको मुख्य विशेषताले सामान्यतया प्रयोगलाई अलग गर्छ। दुई भेक्टरहरूको बारेमा कुरा गर्दा 'लंब' प्रयोग गरिन्छ।

'अर्थोगोनल' शब्द प्रायः नब्बे डिग्रीको कोणमा रहेको भेक्टरलाई कम्तिमा २ छुट्टाछुट्टै भेक्टरहरूलाई वर्णन गर्न प्रयोग गरिन्छ, तर धेरै आवश्यक छैन (अर्को शब्दमा, यो सम्भावना हो तर केवल बिन्दु जहाँ भेक्टरहरू गणना गरिन्छ।

'सामान्य' प्रयोग गरिन्छ जब दायाँ कोणमा रहेका भेक्टरहरूको संख्याले एक अगणनीय सेट बनाउँछ, अर्थात् सम्पूर्ण समतल ।

यस चित्रले तपाइँलाई मुख्य भिन्नताहरू कल्पना गर्न मद्दत गर्नुपर्छ।

अर्थोगोनल, सामान्य, र लंब वेक्टरहरूको विभिन्न अवस्थामा।

छ।अर्थोगोनल मतलब लम्बवत?

अर्थोगोनल र पेपेन्डिक्युलर लम्ब हुने गुणबाट भिन्न हुन्छन् ( लम्बवत )। यो ९० डिग्री वा दायाँ कोणमा मिल्ने दुई रेखाहरू बीचको सम्बन्ध हो।

सम्पत्तिलाई अन्य सम्बन्धित ज्यामितीय वस्तुहरूमा विस्तार गर्न भनिन्छ। जबकि अर्थोगोनल भनेको समकोणमा दुई रेखाहरूको सम्बन्ध हो।

अर्थोगोनल भनेको लम्बवत वा दायाँ कोणहरू बनाउने रेखाहरूसँग सम्बन्धित वा समावेश गर्ने हो, यसको लागि अर्को शब्द अर्थोग्राफिक हो।

जब रेखाहरू लम्बवत हुन्छन्, तिनीहरू दायाँ कोणमा काट्छन्। उदाहरणका लागि, आयत र वर्गका कुनाहरू सबै समकोणहरू हुन्।

के शून्य भेक्टर प्रत्येक भेक्टरमा अर्थोगोनल हुन्छ?

यदि २ भेक्टरहरू बीचको गुणन ० छ भने, तिनीहरू एकअर्काको लागि अर्थोगोनल मानिन्छन्, त्यसैले x,y ∈ X in (X,) अर्थोगोनल हुन् यदि = 0, अब यदि x र y मा (X,) अर्थोगोनल हुन् भने यसको मतलब x को कुनै पनि स्केलर गुणक पनि y को अर्थोगोनल हो।

काम गरेको उदाहरण हेर्नुहोस्।

1. x,y>=k< x,y >=k0= 0
2. अब लिनुहोस् k=0
3. त्यसपछि< 0 ,y>=0
4. जसको मतलब यो हो कि शून्य भेक्टर प्रत्येक अन्य भेक्टरको लागि अर्थोगोनल हुन्छ।

अर्को तरिकाले शून्य भेक्टरको स्थितिलाई विचार गर्न सामान्य भेक्टर हो:

1. कुनै पनि दुई भेक्टरहरू विचार गर्नुहोस् A र B कोणमा कार्य गर्दैθ.θ.
2. मानौं A×B=0A×B=0
3. ABsinθn=0ABsinθn=0(n एकाइ भेक्टर हो।)
4. A=0A=0 वा B=0B=0 वा sinθ=0sinθ=0
5. A=0A=0 वा B=0B =0 वा θ=0,πθ=0,π
6. A=0A=0 वा B=0B=0 वा A & B समानान्तर छन्।
7. मानौं A.B=0A.B=0
8. ABcosθ=0ABcosθ=0
9. A=0A=0 वा B=0B=0 वा cosθ=0cosθ=0
10. A=0A=0 वा B=0B=0 वा θ=π2θ =π2
11. A=0A=0 or B=0B=0 or A & B लंबवत छन्।
12. अब हामी निम्नानुसार स्थिति सिर्जना गर्छौं:
13. मान्नुहोस् A×B=0A×B=0 र A.B=0A.B=0
14. यो मात्र सम्भव छ यदि A=0A=0 वा B=0B=0
15. यहाँ हामी देख्छौं कुनै एउटा भेक्टर शून्य भएमा मात्र दुवै अवस्था सत्य हुन सक्छ।
16. मान्नुहोस् B=0B=0
17. पहिलो अवस्थाबाट, हामी अनुमान गर्न सक्छौं कि O A.
18. दोस्रो अवस्थाबाट, हामी अनुमान गर्न सक्छौं कि O A मा लम्ब हुन्छ।

त्यसोभए, नल भेक्टर(शून्य भेक्टर) को एक स्वेच्छाचारी दिशा हुन्छ। यो कुनै पनि भेक्टरको समानान्तर वा लम्बवत वा अन्य कोणमा हुन सक्छ।

निष्कर्ष

यहाँ यस लेखबाट मुख्य विवरणहरू छन्:

• एक भेक्टर परिमाण र दिशा भएको कुनै पनि भौतिक मात्रा हो
• अर्थोगोनल, सामान्य, र लम्बवत शब्दहरू हुन् जुन अर्को वस्तुको सन्दर्भमा 90 डिग्रीमा रहेको वस्तुलाई वर्णन गर्न सकिन्छ। त्यसोभए, बीचमा केही प्राविधिक भिन्नताहरू मात्र छन्जब तिनीहरू भेक्टरहरूमा लागू हुन्छन्।
• तिनीहरू सबैले नब्बे डिग्रीको कोण अवस्थित रहेको संकेत गर्छन्। यद्यपि, दायाँ कोणहरूको सेटको मुख्य विशेषताले सामान्यतया प्रयोगलाई अलग गर्छ। दुई भेक्टरहरूको बारेमा कुरा गर्दा 'लंब' प्रयोग गरिन्छ।
• 'अर्थोगोनल' शब्द प्रायः नब्बे डिग्रीको कोणमा रहेको भेक्टरलाई कम्तिमा २ छुट्टाछुट्टै भेक्टरहरू वर्णन गर्न प्रयोग गरिन्छ, तर धेरै आवश्यक छैन (अर्को शब्दमा, यो सम्भावना हो तर केवल बिन्दु जहाँ भेक्टरहरू गणना गरिएको छ)।
• 'सामान्य' प्रयोग गरिन्छ जब दायाँ कोणमा रहेका भेक्टरहरूको संख्याले एक अगणनीय सेट, अर्थात् सम्पूर्ण समतल बनाउँछ।
• दैनिक भाषामा, तिनीहरू लगभग समान हुन्छन्।<21

मलाई आशा छ कि यो लेखले तपाईंलाई भेक्टरहरूसँग व्यवहार गर्दा अर्थोगोनल, सामान्य, र लम्बाइ बीचको भिन्नता राम्रोसँग बुझ्न मद्दत गर्दछ।

एक सक्रिय र ए बीचको भिन्नता के हो? प्रतिक्रियात्मक बल? (कन्ट्रास्ट)

भेक्टर र टेन्सरहरू बीचको भिन्नता के हो? (स्पष्टीकरण)

समीकरण र कार्यहरू बीचको भिन्नता-१