வெக்டார்ஸ், ஒரு தலைப்பு சிலருக்கு எளிதாக இருக்கும், ஆனால் சிலர் அதை சவாலானதாகக் கருதுகின்றனர், அதே சமயம் திசையன்களின் வரையறை மற்றும் அடிப்படைகளைப் புரிந்துகொள்வது யாருக்கும் தேவையற்றது, குறிப்பாக யூக்ளிடியன் வடிவவியலில் (2-பரிமாண வடிவியல்), விஷயங்கள் கிடைக்கும். முப்பரிமாண திசையன்கள் மற்றும் நேரியல் அல்லாத (வளைந்த) திசையன்கள் மீது நாம் செல்லும்போது குழப்பம்.

திசையன்கள் கணித ரீதியாக எளிமையானவை மற்றும் இயற்பியலில் மிகவும் பயனுள்ளதாக இருந்தாலும், அவை அவற்றின் நவீன வடிவத்தில் உருவாக்கப்படவில்லை. 19 ஆம் நூற்றாண்டின் பிற்பகுதி வரை ஜோசியா வில்லார்ட் கிப்ஸ் மற்றும் ஆலிவர் ஹெவிசைட் (முறையே அமெரிக்கா மற்றும் இங்கிலாந்தின்) <இன் புதிய சட்டங்களை வெளிப்படுத்த உதவுவதற்காக வெக்டர் பகுப்பாய்வைப் பயன்படுத்துகின்றனர். 2>மின்காந்தம் .

மின்காந்தவியல் ஜேம்ஸ் கிளார்க் மேக்ஸ்வெல்லால் முன்மொழியப்பட்டது. இது மிகவும் ஆச்சரியம் அளிக்கிறது, அதே நேரத்தில் துணை அணுத் துகள்களைக் கண்டுபிடித்து நவீன கால அணுவின் யோசனையை உருவாக்கத் தொடங்கினோம்.

சுருக்கமாக: ஆர்த்தோகனல், இயல்பான மற்றும் செங்குத்தாக மற்றொரு பொருளைப் பொறுத்து 90 டிகிரியில் இருக்கும் ஒரு பொருளை விவரிப்பதற்கான விதிமுறைகள். எனவே திசையன்களுக்குப் பயன்படுத்தும்போது அவற்றுக்கிடையே சில தொழில்நுட்ப வேறுபாடுகள் மட்டுமே உள்ளன. சுருக்கமாக, அவை ஒரே மாதிரியானவை ஆனால் ஒரே மாதிரியானவை அல்ல.

இந்த கணிதச் சொற்களுக்கு இடையே உள்ள சிறிய வேறுபாடுகளை நான் முழுமையாக விளக்குகிறேன்.

வெக்டார் என்றால் என்ன?

திசையன் பொதுவாக அதே திசையில் அம்புக்குறியால் குறிக்கப்படுகிறதுஅளவு மற்றும் அளவின் வீச்சுக்கு விகிதாசார நீளம். இது அளவு மற்றும் திசை இரண்டையும் கொண்ட ஒரு அளவு.

ஒரு வெக்டார் அளவு மற்றும் திசையைக் கொண்டிருந்தாலும், அதற்கு நிலை இல்லை. அசல் வெக்டரின் நீளம் மாற்றப்படவில்லை என்பது உண்மைதான், ஒரு திசையன் அதன் அசல் நிலைக்கு இணையாக இடம்பெயர்ந்தால் அதுவும் மாற்றப்படாது

மாறாக, அலைவீச்சு கொண்ட ஆனால் எந்த திசையும் இல்லாத சாதாரண அளவுகள் ஸ்கேலர்கள் என்று குறிப்பிடப்படுகின்றன. . எடுத்துக்காட்டாக, வேகம், முடுக்கம் மற்றும் இடப்பெயர்ச்சி ஆகியவை திசையன் அளவுகள் ஆகும், அதேசமயம் வேகம், நேரம் மற்றும் நிறை ஆகியவை ஸ்கேலர்களின் மதிப்புகள்.

எனவே சுருக்கமாக, அளவு மற்றும் திசையுடன் எந்த அளவிடக்கூடிய அளவும் ஒரு திசையன் ஆகும். அளவு மற்றும் வடிவவியலைப் பயன்படுத்தி விளக்கலாம்.

பல திசையன்களை அவற்றின் திசை மற்றும் அளவைப் பொறுத்து ஒன்றோடொன்று சேர்க்கலாம், கழிக்கலாம் மற்றும் பெருக்கலாம்.

இப்போது, ​​ஆர்த்தோகனல், செங்குத்தாக மற்றும் சாதாரண திசையன்களுக்குச் செல்வதற்கு முன், நாம் முதலில் செங்குத்தாக, ஆர்த்தோகனல் மற்றும் இயல்பான வரையறையை புரிந்து கொள்ள வேண்டும். சுருக்கமாக, இந்த கணிதச் சொற்கள் ஒரே மாதிரியானவை, ஆனால் சூழ்நிலை பயன்பாட்டில் சிறிய வேறுபாடுகள் உள்ளன.

சில வெக்டார் மற்றும் ஸ்கேலர் அளவுகளைப் பற்றி உங்களுக்குத் தெரிந்துகொள்ள கீழே ஒரு அட்டவணையைச் சேர்த்துள்ளேன்.

வெக்டர்கள் என்றால் என்ன?

வெக்டார்களை விவரிக்கும் இந்த வீடியோவைப் பாருங்கள்:

வெக்டர்கள் என்றால் என்ன?

செங்குத்து, ஆர்த்தோகனல் மற்றும் இயல்பானவற்றுக்கு இடையே உள்ள வேறுபாடு என்ன?

மிகவும் நேர்மையான பதில் “ஒன்றுமில்லை”. ஒன்று மற்றொன்றை விட அதிகமாகப் பயன்படுத்தக்கூடிய சூழ்நிலைகள் உள்ளன, ஆனால் அவை பொதுவாக சிறிய தெளிவு இழப்புடன் பரிமாறிக்கொள்ளலாம், பொதுவாக, ஒவ்வொரு சொல்லையும் சுற்றியுள்ள சூழல், இது மிகவும் நெகிழ்வானது என்பதை நினைவில் கொள்ளுங்கள்:

செங்குத்தாக என்பது கிளாசிக்கல் வடிவவியலில் "கோடு போன்ற" பொருள்களுக்கு (கோடு, கதிர், கோடு பிரிவு) இடையே உள்ள தொடர்பாகும், இது அவற்றின் குறுக்குவெட்டில் எந்தக் கோணமும் 90 டிகிரியாக இருக்கும் போது (அல்லது π/2π/2 ரேடியன்கள், அல்லது ஒரு வட்டத்தின் கால் பகுதி, முதலியன).

ஆர்த்தோகனல் வெக்டார்களுக்கிடையேயான ஒரு தொடர்பு, இருகோடி வடிவம் மறைந்தால் திருப்தி அடையும். கோடு-இருப்புகளின் குறுக்குவெட்டை ஒரு ஜோடி திசையன்களாக மாற்றிய பிறகு, செங்குத்தாக யூக்ளிடியன் இடத்தில் ஆர்த்தோகனலிட்டி (வழக்கமான புள்ளி தயாரிப்புடன் ஒருங்கிணைக்கப்பட்டது), சில நேரங்களில் குறிப்பாக ஒரு விமானம்.

இயல்பான என்பது ஒரு வகையானது. ஒரு பன்மடங்கில் உள்ள திசையன் (உதாரணமாக, ஒரு மேற்பரப்பு) ஒரு உயர் பரிமாண (வெக்டார்) இடத்தில் ஆர்த்தோகனல் ஸ்பேஸ் ஆர்த்தோகனல் ஸ்பேஸ் அந்த புள்ளியில் உள்ள டேன்ஜென்ட் ஸ்பேஸ், இது ஒரு அளவுரு வளைவின் டேன்ஜென்ட் வெக்டரின் வழித்தோன்றலின் பெயராகும்."சாதாரண" (வழக்கமான அர்த்தத்தில்) தொடுகோடு மற்றும் சாதாரணமாக உருவாக்கப்பட்ட விமானத்திற்கு திசையன். சரிபார்க்க வேண்டிய ஒன்று என்னவென்றால், சாதாரணமானது, ஆர்த்தோநார்மல் போன்ற அலகு-நீள திசையன்களையும் குறிக்கலாம்.

இதன் விளைவாக, உண்மையான வேறுபாடு இல்லை, ஆனால் "செங்குத்தாக" பெரும்பாலும் இரு பரிமாணங்களுக்குப் பயன்படுத்தப்படுகிறது. , "சாதாரணமானது" மூன்றிற்கும், மற்றும் "ஆர்த்தோகனல்" வடிவியல் முற்றிலும் கைவிடப்பட்டதற்கும் (எனவே நீங்கள் ஆர்த்தோகனல் செயல்பாடுகளைப் பற்றி பேசலாம்).

இப்போது நாங்கள் எங்கள் கருத்துகளை அழித்துவிட்டோம், இந்த சொற்கள் பயன்படுத்தப்படும்போது எவ்வாறு வேறுபடுகின்றன என்பதைப் பார்ப்போம். வடிவியல் திசையன்களுக்கு

தாளில், அவை ஒரே வரையறையைக் கொண்டிருப்பதாகத் தெரிகிறது, ஆனால் கோட்பாட்டளவில், அவை வேறுபட்ட வரையறைகளைக் கொண்டுள்ளன. இரண்டு செங்குத்து திசையன்கள் ஆர்த்தோகனல் மற்றும் ஒன்று மற்றொன்றுக்கு இயல்பானது, ஆனால் பூஜ்ஜிய திசையன் எந்த திசையனுக்கும் இயல்பானது அல்ல, அது ஒவ்வொரு திசையனுக்கும் ஆர்த்தோகனலாக இருக்கும்.

பொதுவாக, ஒரு "இயல்பு" 90-டிகிரி கோட்டின் வடிவியல் விளக்கமாகும், அதேசமயம் "ஆர்த்தோகனல்" தேர்ந்தெடுக்கப்பட்ட ஒரு கணிதமாக பயன்படுத்தப்படுகிறது.

இருப்பினும் அதே நேரத்தில், அவை அனைத்தும் சரியான கோணங்களில், மேலும் ஒரு கருத்துக்கு பல வித்தியாசமான வார்த்தைகள் இருப்பது வெட்கக்கேடானது.

இரண்டு திசையன்கள் ஒன்றுக்கொன்று செங்கோணத்தில் உள்ளன, ஆர்த்தோகனல் அல்லது செங்குத்தாக உள்ளன, மேலும் இவை அனைத்தும் ஒரே பொருளைக் குறிக்கின்றன. ஒரு திசையன் மற்றொன்றுக்கு இயல்பானது என்றும் மக்கள் கூறுகின்றனர்விஷயம்.

வெக்டார்களின் தொகுப்பானது ஒன்றுக்கொன்று 90 டிகிரி அல்லது செங்கோணத்தில் இருக்கும் என்று நீங்கள் கூறலாம், அது பரஸ்பரமாகவோ அல்லது ஜோடியாகவோ செங்குத்தாகவோ அல்லது ஒன்றுக்கொன்று இயல்பானதாகவோ இருக்கலாம், அதன் அர்த்தம் ஒன்றே விஷயம்.

வெக்டரை ஒரு வளைவு அல்லது மேற்பரப்பிற்கு செங்கோணமாகவோ, செங்குத்தாகவோ, செங்குத்தாகவோ அல்லது அதற்கு இயல்பானதாகவோ நீங்கள் கூறலாம், மேலும் அவை அனைத்தும் ஒரே பொருளைக் குறிக்கின்றன. இருப்பினும் வளைவுகள் மற்றும் மேற்பரப்புகளைப் பற்றி பேசும்போது, ​​மிகவும் பொருத்தமான சொல் "சாதாரணமானது"

இரண்டு நேரான திசையன்களைக் கையாளும் போது மக்கள் அதை ஒன்றுக்கொன்று மாற்றாகப் பயன்படுத்துகிறார்கள், ஆனால் வளைவுகள் அல்லது மேற்பரப்புகளைக் கையாளும் போது குறிப்பிட்ட பயன்பாடுகளைப் பார்த்திருக்கிறேன். காட்சிப்படுத்தலுக்கு கீழே உள்ள படத்தைப் பாருங்கள்.

அவை அனைத்தும் தொண்ணூறு டிகிரி கோணம் இருப்பதைக் குறிக்கிறது. இருப்பினும், செங்கோணங்களின் தொகுப்பின் கார்டினாலிட்டி பொதுவாக பயன்பாட்டைப் பிரிக்கிறது. இரண்டு திசையன்களைப் பற்றி பேசும்போது 'செங்குத்து' பெரும்பாலும் பயன்படுத்தப்படுகிறது.

தொண்ணூறு டிகிரி கோணத்தில் குறைந்தபட்சம் 2 தனித்தனி வெக்டார்களுக்கு இருக்கும் ஒரு திசையனை விவரிக்க 'ஆர்த்தோகனல்' என்ற சொல் அடிக்கடி பயன்படுத்தப்படுகிறது, ஆனால் பல தேவையில்லை (வேறுவிதமாகக் கூறினால், இது சாத்தியம் ஆனால் அதற்கு மட்டுமே திசையன்கள் கணக்கிடப்படும் புள்ளி).

'இயல்பு' என்பது ஒரு செங்கோணத்தில் இருக்கும் திசையன்களின் எண்ணிக்கை கணக்கிட முடியாத தொகுப்பை உருவாக்கும் போது, ​​அதாவது ஒரு முழு விமானம் .

இந்தப் படம் முக்கிய வேறுபாடுகளைக் காட்சிப்படுத்த உதவும்.

வெக்டார்களின் வெவ்வேறு நிகழ்வுகளில் ஆர்த்தோகனல், இயல்பான மற்றும் செங்குத்தாக.

ஆர்த்தோகனல் சராசரி செங்குத்தாக?

ஆர்த்தோகனல் மற்றும் பெர்பென்டிகுலர் ஆகியவை செங்குத்தாக இருப்பதன் பண்பிலிருந்து வேறுபடுகின்றன ( செங்குத்தாக ). இது 90 டிகிரி அல்லது வலது கோணங்களில் சந்திக்கும் இரண்டு கோடுகளுக்கு இடையிலான உறவு.

சொத்து மற்ற தொடர்புடைய வடிவியல் பொருட்களுக்கு நீட்டிக்கப்படுகிறது. ஆர்த்தோகனல் என்பது செங்குத்து கோணங்களில் உள்ள இரண்டு கோடுகளின் தொடர்பாடாகும்.

ஆர்த்தோகனல் என்பது செங்குத்தாக இருக்கும் அல்லது செங்கோணங்களை உருவாக்கும் கோடுகளுடன் தொடர்புடையது அல்லது உள்ளடக்கியது, இதற்கு மற்றொரு சொல் ஆர்த்தோகிராஃபிக் ஆகும்.

கோடுகள் செங்குத்தாக இருக்கும்போது, ​​அவை செங்குத்து கோணத்தில் வெட்டுகின்றன. எடுத்துக்காட்டாக, செவ்வகங்கள் மற்றும் சதுரங்களின் மூலைகள் அனைத்தும் செங்கோணங்கள்.

ஜீரோ வெக்டார் ஆர்த்தோகனல் ஒவ்வொரு வெக்டருக்கும் உள்ளதா?

2 திசையன்களுக்கு இடையே உள்ள தயாரிப்பு 0 எனில், அவை ஒன்றுக்கொன்று ஆர்த்தோகனலாகக் கருதப்படும், எனவே (X,) இல் x,y ∈ X ஆர்த்தோகனல் என்றால் =0, இப்போது x மற்றும் y in என்றால் (X,) ஆர்த்தோகனல் என்றால் x இன் எந்த ஸ்கேலர் பெருக்கமும் y க்கு ஆர்த்தோகனல் ஆகும்.

செயல்படுத்தப்பட்ட உதாரணத்தைப் பாருங்கள்.

1. x,y>=k< x,y >=k0= 0
2. இப்போது k=0
3. எடுங்கள்< 0 ,y>=0
4. இதன் பொருள் பூஜ்ஜிய திசையன் மற்ற ஒவ்வொரு திசையன்களுக்கும் ஆர்த்தோகனல் ஆகும் சாதாரண திசையன்:

1. கோணத்தில் செயல்படும் A மற்றும் B எந்த இரண்டு திசையன்களையும் கருதுங்கள்θ.θ.
2. A×B=0A×B=0
3. ABsinθn=0ABsinθn=0(n என்பது அலகு திசையன்.)
4. A=0A=0 அல்லது B=0B=0 அல்லது sinθ=0sinθ=0
5. A=0A=0 அல்லது B=0B =0 அல்லது θ=0,πθ=0,π
6. A=0A=0 அல்லது B=0B=0 அல்லது A & B இணையாக உள்ளன.
7. A.B=0A.B=0
8. ABcosθ=0ABcosθ=0
9. A=0A=0 அல்லது B=0B=0 அல்லது cosθ=0cosθ=0
10. A=0A=0 அல்லது B=0B=0 அல்லது θ=π2θ =π2
11. A=0A=0 அல்லது B=0B=0 அல்லது A & B செங்குத்தாக உள்ளன.
12. இப்போது நாம் பின்வருமாறு ஒரு சூழ்நிலையை உருவாக்குகிறோம்:
13. A×B=0A×B=0 மற்றும் A.B=0A.B=0
14. A=0A=0 அல்லது B=0B=0
15. இங்கே இது சாத்தியம் திசையன்களில் ஒன்று பூஜ்ஜியமாக இருந்தால் மட்டுமே இரண்டு நிபந்தனைகளும் உண்மையாக இருக்க முடியும் O என்பது A க்கு இணையானது என்று நாம் ஊகிக்கலாம்.
16. இரண்டாவது நிபந்தனையிலிருந்து, O A க்கு செங்குத்தாக உள்ளது.

எனவே, பூஜ்ய திசையன்(பூஜ்ஜிய திசையன்) தன்னிச்சையான திசையைக் கொண்டுள்ளது. இது எந்த திசையனுக்கும் இணையாகவோ அல்லது செங்குத்தாகவோ அல்லது வேறு எந்த கோணத்திலும் இருக்கலாம்.

முடிவு

இந்தக் கட்டுரையின் முக்கிய விவரங்கள் இதோ: