Vektori, tēma, kas dažiem cilvēkiem šķiet viegla, bet dažiem - diezgan sarežģīta, Lai gan izpratne par vektoru definīciju un pamatiem ir sava veida ne-smadzeņu jautājums ikvienam, jo īpaši eiklīda ģeometrijā (2-dimensiju ģeometrijā), viss kļūst mulsinoši, kad mēs pāriet uz 3-dimensiju vektoriem un nelineāriem (izliektiem) vektoriem.

Lai gan vektori ir matemātiski vienkārši un ārkārtīgi noderīgi fizikā, tie netika izstrādāti to modernajā formā. Tikai 19. gadsimta beigās, kad Josiah Willard Gibbs un Olivers Heavisīds (attiecīgi ASV un Anglijā) katrs piemēro vektoru analīzi, lai palīdzētu izteikt jaunos likumus par elektromagnētisms .

Elektromagnētismu ierosina Džeimss Klerks Maksvels. Tas ir diezgan pārsteidzoši, jo tas bija aptuveni tajā pašā laikā, kad mēs sākām atklāt subatomārās daļiņas un attīstīt ideju par mūsdienu atomu.

Īsumā: Ortogonāls, normāls un perpendikulārs ir termini, ar kuriem apzīmē objektu, kas atrodas 90 grādu leņķī attiecībā pret citu objektu. Tātad starp tām ir tikai dažas tehniskas atšķirības, kad tās piemēro vektoriem. Īsāk sakot, tās ir līdzīgas, bet nav vienādas.

Pievienojieties man, jo es rūpīgi izskaidroju nelielās atšķirības starp šiem matemātiskajiem terminiem.

Kas ir vektors?

Vektoru parasti attēlo ar bultiņu, kurai ir tāds pats virziens kā lielumam un garums ir proporcionāls lieluma amplitūdai. Tas ir lielums, kam ir gan lielums, gan virziens.

Lai gan vektors tam ir lielums un virziens, bet nav pozīcijas. Pieņemot, ka sākotnējā vektora garums netiek mainīts, arī pats vektors netiek mainīts, ja tas tiek pārvietots paralēli tā sākotnējai pozīcijai.

Turpretī parastos lielumus, kuriem ir amplitūda, bet nav virziena, sauc par skalāriem. Piemēram, ātrums, paātrinājums un pārvietojums ir vektoru lielumi, bet ātrums, laiks un masa ir skalāru vērtības.

Tātad īsumā, jebkurš kvantitatīvi nosakāms lielums ar lielumu un virzienu ir vektoru lielums. un to var ilustrēt, izmantojot ģeometriju.

Vairākus vektorus var saskaitīt, atņemt un reizināt savā starpā, ņemot vērā to virzienu un lielumu.

Pirms pāriet pie ortogonālā, perpendikulārā un normālā vektora, vispirms ir jāizprot perpendikulārā, ortogonālā un normālā vektora definīcija. Īsumā, šie matemātiskie termini ir vienādi, taču to lietojums situācijās nedaudz atšķiras.

Zemāk esmu pievienojis tabulu, lai jūs varētu iepazīties ar dažiem vektoru un skalārajiem lielumiem.

Kas ir vektori?

Apskatiet šo labi veidoto videoklipu, kurā aprakstīti vektori:

Kas ir vektori?

Kāda ir atšķirība starp perpendikulāru, ortogonālu un normālu?

Visgodīgākā atbilde ir "nekas". Ir situācijas, kad viens no tiem ir biežāk lietojams nekā otrs, taču parasti tos var apmainīt ar maziem skaidrības zudumiem, tas ir, kopumā konteksts, kas ieskauj katru terminu, paturiet prātā, ka tas ir ārkārtīgi elastīgs:

Perpendikulāri klasiskajā ģeometrijā ir attiecība starp "līnijveida" objektiem (līnija, stars, līnijas posms), kas ir izpildīta, ja jebkurš leņķis to krustpunktā ir 90 grādi (vai π/2π/2 radiāni, vai ceturtdaļa no apļa utt.).

Ortogonāls ir mijiedarbība starp vektoriem, kas tiek izpildīta, ja bilineārā forma izzūd. Pēc līnijas-līdzības krustpunkta pārveidošanas par vektoru pāri perpendikularitāte ir ortogonalitāte Eiklīda telpā (integrēta ar parasto punktu reizinājumu), dažkārt konkrēti plaknē.

Parasts ir sava veida vektors uz daudzstūra (piemēram, virsmas), kas ietverts hiperdimensiju (vektoru) telpā, kura ir ortogonāla tangentes telpai šajā punktā Tas ir arī parametrizētas līknes tangentes vektora atvasinājuma nosaukums, kur binormālais ir "normālais" (parastajā nozīmē) vektors plaknei, ko veido tangente un normāle. Jāpārliecinās, ka normālais bieži var attiekties uzarī vienības garuma vektors, piemēram, kā ortonormālā.

Rezultātā īsta atšķirība nepastāv, bet "perpendikulārs" bieži tiek lietots divām dimensijām, "normāls" - trim, bet "ortogonāls" - gadījumos, kad ģeometrija ir pilnībā atstāta (lai varētu runāt par ortogonālām funkcijām).

Tagad, kad esam noskaidrojuši jēdzienus, aplūkosim, kā šīs terminoloģijas atšķiras, ja tās piemēro ģeometriskiem vektoriem.

Vai normālais vektors ir tas pats, kas ortogonālais?

Uz papīra, Šķiet, ka tiem ir viena un tā pati definīcija, taču teorētiski tiem ir krasi atšķirīgas definīcijas. Divi perpendikulāri vektori ir ortogonāli, un viens ir normāls otram, bet nulles vektors nav normāls nevienam vektoram, kamēr tas ir ortogonāls visiem vektoriem.

Kopumā, a "Normāla" ir ģeometrisks 90 grādu līnijas apraksts, savukārt "ortogonāla" tiek izmantots kā matemātisks apraksts.

Tomēr tajā pašā laikā tie visi nozīmē. taisnā leņķī, un ir žēl, ka vienam jēdzienam ir tik daudz dažādu vārdu.

Var teikt, ka divi vektori ir taisnā leņķī viens pret otru, ortogonāli vai perpendikulāri, un tas nozīmē vienu un to pašu. Cilvēki arī saka, ka viens vektors ir normālis pret otru, un tas nozīmē gandrīz to pašu.

Var teikt, ka vektoru kopums ir 90 grādu vai taisnā leņķī viens pret otru, tas var būt savstarpēji vai pāra ortogonāls, savstarpēji vai pāra perpendikulārs vai normāls viens pret otru, un tas nozīmē to pašu.

Var teikt, ka vektors ir taisnā leņķī pret līkni vai virsmu, ortogonāls pret to, perpendikulārs tai vai normāls pret to, un visi šie apzīmējumi nozīmē vienu un to pašu. Tomēr, runājot par līknēm un virsmām, piemērotāks termins ir "normāls".

Cilvēki to lieto savstarpēji aizstājami, kad runa ir par diviem taisniem vektoriem, bet esmu redzējis īpašus lietojumus, kad runa ir par līknēm vai virsmām. Lai vizualizētu, apskatiet attēlu zemāk.

Tie visi nozīmē, ka pastāv deviņdesmit grādu leņķis. Tomēr taisno leņķu kopas kardinalitāte parasti nošķir lietojumu. "Perpendikulārs" bieži tiek lietots, runājot par diviem vektoriem.

Terminu "ortogonāls" bieži lieto, lai aprakstītu vektoru, kas atrodas deviņdesmit grādu leņķī pret vismaz 2 atsevišķiem vektoriem, bet ne obligāti daudziem (citiem vārdiem sakot, tā ir iespēja, bet tikai līdz brīdim, kad vektori ir uzskaitīti).

'Normāls' tiek izmantots, ja vairāki vektori, kas atrodas taisnā leņķī, veido nesaskaitāmu kopu, t. i., visu plakni. .

Šis attēls palīdzēs jums iztēloties galvenās atšķirības.

Ortogonāls, normāls un perpendikulārs dažādos vektoru gadījumos.

Vai ortogonāls nozīmē perpendikulārs?

Ortogonāls un perpendikulārs atšķiras no īpašības būt perpendikulāram ( Perpendikularitāte ). Tā ir attiecība starp divām līnijām, kas krustojas 90 grādu leņķī vai taisnā leņķī.

Par šo īpašību saka, ka tā attiecas arī uz citiem saistītiem ģeometriskiem objektiem. Savukārt ortogonāla ir divu taisnā leņķī novietotu taisņu attiecība.

Ortogonāls nozīmē, ka tas attiecas uz perpendikulārām līnijām vai līnijām, kas veido taisnus leņķus; cits termins ir ortogrāfisks.

Kad līnijas ir perpendikulāri, tie krustojas taisnā leņķī. Piemēram, taisnstūru un kvadrātu stūri ir taisni leņķi.

Vai nulles vektors ir ortogonāls katram vektoram?

Ja reizinājums starp 2 vektoriem ir 0, tad tos uzskata par savstarpēji ortogonāliem, Tātad x,y ∈ X (X,) ir ortogonāli, ja =0, tagad, ja x un y (X,) ir ortogonāli, tad tas nozīmē, ka jebkurš x skalārais reizinājums ir ortogonāls arī y. .

Aplūkojiet pārbaudītu piemēru.

1. x,y>=k< x,y >=k0=0
2. tagad ņem k=0
3. tad< 0 , y>=0
4. kas nozīmē, ka nulles vektors ir ortogonāls visiem pārējiem vektoriem.

Cits veids, kā aplūkot nulles vektora pozīciju attiecībā pret normālvektoru, ir šāds:

1. Aplūkojiet jebkurus divus vektorus A un B kas darbojas leņķī θ.θ.
2. Pieņemsim, ka A×B=0A×B=0
3. ABsinθn=0ABsinθn=0(n ir vienības vektors.)
4. A=0A=0 vai B=0B=0, vai sinθ=0sinθ=0
5. A=0A=0 vai B=0B=0 vai θ=0,πθ=0,π
6. A=0A=0 vai B=0B=0 vai A & amp; B ir paralēlas.
7. Pieņemsim, ka A.B=0A.B=0
8. ABcosθ=0ABcosθ=0
9. A=0A=0 vai B=0B=0 vai cosθ=0cosθ=0
10. A=0A=0 vai B=0B=0, vai θ=π2θ=π2
11. A=0A=0 vai B=0B=0 vai A & amp; B ir perpendikulāri.
12. Tagad mēs izveidojam šādu situāciju:
13. Pieņemsim, ka A×B=0A×B=0 un A.B=0A.B=0
14. Tas ir iespējams tikai tad, ja A=0A=0 vai B=0B=0
15. Šeit mēs redzam, ka abi nosacījumi var būt patiesi tikai tad, ja viens no vektoriem ir nulle.
16. Pieņemsim, ka B=0B=0
17. No pirmā nosacījuma var secināt, ka O ir paralēla A.
18. No otrā nosacījuma var secināt, ka O ir perpendikulāra A.

Tātad nulles vektoram (nulles vektoram) ir patvaļīgs virziens. Tas var būt paralēls vai perpendikulārs, vai jebkurā citā leņķī pret jebkuru vektoru.

Secinājums

Šajā rakstā ir sniegta galvenā informācija:

• Vektors ir jebkurš fizikāls lielums ar lielumu un virzienu.
• Ortogonāls, normāls un perpendikulārs ir termini, ar kuriem apzīmē objektu, kas atrodas 90 grādu leņķī attiecībā pret citu objektu. Tātad ir tikai dažas tehniskas atšķirības starp šiem terminiem, kad tos piemēro vektoriem.
• Tie visi nozīmē, ka pastāv deviņdesmit grādu leņķis. Tomēr taisno leņķu kopas kardinalitāte parasti nošķir lietojumu. "Perpendikulārs" bieži tiek lietots, runājot par diviem vektoriem.
• Terminu "ortogonāls" bieži lieto, lai aprakstītu vektoru, kas atrodas deviņdesmit grādu leņķī pret vismaz 2 atsevišķiem vektoriem, bet ne obligāti daudziem (citiem vārdiem sakot, tā ir iespēja, bet tikai līdz brīdim, kad vektori ir uzskaitīti).
• 'Normāls' tiek izmantots, ja vairāki vektori, kas atrodas taisnā leņķī, veido nesaskaitāmu kopu, t. i., visu plakni.
• Ikdienas valodā tie ir gandrīz vienādi.

Es ceru, ka šis raksts palīdzēs jums labāk izprast atšķirību starp ortogonālo, normālo un perpendikulāro vektoru.

KĀDA IR ATŠĶIRĪBA STARP AKTĪVU UN REAKTĪVU SPĒKU? (PRETSTATS)

KĀDA IR ATŠĶIRĪBA STARP VEKTORIEM UN TENZORIEM? (PASKAIDROTS)

ATŠĶIRĪBA STARP VIENĀDOJUMIEM UN FUNKCIJĀM-1