വെക്‌ടറുകൾ, ചില ആളുകൾക്ക് എളുപ്പം കണ്ടെത്തുന്ന ഒരു വിഷയം, എന്നാൽ ചിലർക്ക് അത് വെല്ലുവിളിയായി തോന്നുന്നു, വെക്‌ടറുകളുടെ നിർവചനവും അടിസ്ഥാനകാര്യങ്ങളും മനസ്സിലാക്കുന്നത് ആർക്കും ബുദ്ധിമുട്ടുള്ള കാര്യമാണ്, പ്രത്യേകിച്ച് യൂക്ലിഡിയൻ ജ്യാമിതിയിൽ (2-ഡൈമൻഷണൽ ജ്യാമിതി) ത്രിമാന വെക്റ്ററുകളിലേക്കും നോൺ-ലീനിയർ (വളഞ്ഞ) വെക്‌റ്ററുകളിലേക്കും നീങ്ങുമ്പോൾ ആശയക്കുഴപ്പമുണ്ടാക്കുന്നു.

ഗണിതശാസ്ത്രപരമായി വെക്‌ടറുകൾ ലളിതവും ഭൗതികശാസ്ത്രത്തിൽ വളരെ പ്രയോജനകരവുമാണെങ്കിലും, അവ അവയുടെ ആധുനിക രൂപത്തിൽ വികസിപ്പിച്ചിട്ടില്ല. 19-ആം നൂറ്റാണ്ടിന്റെ അവസാനം വരെ ജോസിയ വില്ലാർഡ് ഗിബ്‌സും ഒലിവർ ഹെവിസൈഡും (യഥാക്രമം യുണൈറ്റഡ് സ്‌റ്റേറ്റ്‌സ്, ഇംഗ്ലണ്ട്) എന്നിവർ <ന്റെ പുതിയ നിയമങ്ങൾ പ്രകടിപ്പിക്കാൻ സഹായിക്കുന്നതിന് വെക്‌റ്റർ വിശകലനം പ്രയോഗിക്കുന്നു. 2>വൈദ്യുതകാന്തികത .

വൈദ്യുതകാന്തികത ജെയിംസ് ക്ലർക്ക് മാക്‌സ്‌വെൽ നിർദ്ദേശിക്കുന്നു. ഇത് വളരെ ആശ്ചര്യകരമാണ്, കാരണം ഞങ്ങൾ ഉപ-ആറ്റോമിക് കണങ്ങളെ കണ്ടെത്താനും ആധുനിക ആറ്റത്തെക്കുറിച്ചുള്ള ആശയം വികസിപ്പിക്കാനും തുടങ്ങിയ അതേ സമയത്താണ് ഇത്.

ചുരുക്കത്തിൽ: ഓർത്തോഗോണൽ, നോർമൽ, ലംബം എന്നിവയാണ് മറ്റൊരു വസ്തുവുമായി ബന്ധപ്പെട്ട് 90 ഡിഗ്രിയിലുള്ള ഒരു വസ്തുവിനെ വിവരിക്കുന്നതിനുള്ള നിബന്ധനകൾ. അതിനാൽ വെക്റ്ററുകളിൽ പ്രയോഗിക്കുമ്പോൾ അവ തമ്മിൽ ചില സാങ്കേതിക വ്യത്യാസങ്ങൾ മാത്രമേയുള്ളൂ. ചുരുക്കത്തിൽ, അവ സമാനമാണ് എന്നാൽ സമാനമല്ല.

ഈ ഗണിത പദങ്ങൾ തമ്മിലുള്ള ചെറിയ വ്യത്യാസങ്ങൾ ഞാൻ നന്നായി വിശദീകരിക്കുമ്പോൾ എന്നോടൊപ്പം ചേരൂ.

എന്താണ് വെക്റ്റർ?

വെക്‌ടറിനെ സാധാരണയായി ഒരേ ദിശയിലുള്ള ഒരു അമ്പടയാളം പ്രതിനിധീകരിക്കുന്നുഅളവും അളവിന്റെ വ്യാപ്തിക്ക് ആനുപാതികമായ നീളവും. വ്യാപ്തിയും ദിശയും ഉള്ള ഒരു അളവാണിത്.

ഒരു വെക്‌ടറിന് വ്യാപ്തിയും ദിശയും ഉണ്ടെങ്കിലും, അതിന് സ്ഥാനമില്ല. യഥാർത്ഥ വെക്‌ടറിന്റെ ദൈർഘ്യത്തിൽ മാറ്റം വരുത്തിയിട്ടില്ല എന്നത് ശരിയാണ്, ഒരു വെക്‌റ്റർ അതിന്റെ യഥാർത്ഥ സ്ഥാനത്തിന് സമാന്തരമായി സ്ഥാനഭ്രംശം വരുത്തിയാൽ അതിന് തന്നെ മാറ്റമുണ്ടാകില്ല

വ്യത്യസ്‌തമായി, വ്യാപ്തിയുള്ളതും എന്നാൽ ദിശയില്ലാത്തതുമായ സാധാരണ അളവുകളെ സ്കെയിലറുകൾ എന്ന് വിളിക്കുന്നു. . ഉദാഹരണത്തിന്, വേഗത, ത്വരണം, സ്ഥാനചലനം എന്നിവ വെക്റ്റർ അളവുകളാണ്, അതേസമയം വേഗത, സമയം, പിണ്ഡം എന്നിവ സ്കെയിലറുകളുടെ മൂല്യങ്ങളാണ്.

അതിനാൽ ചുരുക്കത്തിൽ, വലുപ്പവും ദിശയും ഉള്ള ഏത് അളവും ഒരു വെക്റ്റർ ആണ്. അളവ് ജ്യാമിതി ഉപയോഗിച്ച് ചിത്രീകരിക്കാം.

ഒന്നിലധികം വെക്‌ടറുകൾ അവയുടെ ദിശയും വ്യാപ്തിയും അനുസരിച്ച് ഒന്നിലേക്ക് കൂട്ടിച്ചേർക്കാനും കുറയ്ക്കാനും ഗുണിക്കാനും കഴിയും.

ഇപ്പോൾ, ഓർത്തോഗണൽ, ലംബ, സാധാരണ വെക്‌ടറുകളിലേക്ക് നീങ്ങുന്നതിന് മുമ്പ്, നമുക്ക് ആദ്യം ലംബമായ, ഓർത്തോഗണൽ, നോർമൽ എന്നിവയുടെ നിർവചനം മനസ്സിലാക്കേണ്ടതുണ്ട്. ചുരുക്കത്തിൽ, ഈ ഗണിതശാസ്ത്ര പദങ്ങൾ ഒന്നുതന്നെയാണ്, എങ്കിലും സാഹചര്യപരമായ ഉപയോഗത്തിൽ ചെറിയ വ്യത്യാസങ്ങളുണ്ട്.

ചില വെക്‌ടർ, സ്കെലാർ അളവുകൾ നിങ്ങളെ പരിചയപ്പെടുത്താൻ ഞാൻ ചുവടെ ഒരു പട്ടിക ഉൾപ്പെടുത്തിയിട്ടുണ്ട്.

എന്തൊക്കെയാണ് വെക്‌ടറുകൾ?

വെക്‌റ്ററുകൾ വിവരിക്കുന്ന ഈ നന്നായി നിർമ്മിച്ച വീഡിയോ നോക്കൂ:

എന്താണ് വെക്‌ടറുകൾ?

ലംബം, ഓർത്തോഗണൽ, നോർമൽ എന്നിവ തമ്മിലുള്ള വ്യത്യാസം എന്താണ്?

ഏറ്റവും സത്യസന്ധമായ ഉത്തരം "ഒന്നുമില്ല" എന്നതാണ്. ഒരെണ്ണം മറ്റൊന്നിനേക്കാൾ കൂടുതൽ ഉപയോഗിക്കാവുന്ന സാഹചര്യങ്ങളുണ്ട്, പക്ഷേ അവ സാധാരണയായി വ്യക്തത നഷ്ടപ്പെടാതെ പരസ്പരം മാറ്റാവുന്നതാണ്, അതായത് പൊതുവേ, ഓരോ പദത്തെയും ചുറ്റിപ്പറ്റിയുള്ള സന്ദർഭം, ഇത് വളരെ വഴക്കമുള്ളതാണെന്ന് ഓർമ്മിക്കുക:

ലംബമായി എന്നത് ക്ലാസിക്കൽ ജ്യാമിതിയിലെ "രേഖ പോലെയുള്ള" വസ്തുക്കൾ (ലൈൻ, റേ, ലൈൻ സെഗ്‌മെന്റ്) തമ്മിലുള്ള ബന്ധമാണ്, അത് അവയുടെ കവലയിലെ ഏതെങ്കിലും കോണിൽ 90 ഡിഗ്രി ആയിരിക്കുമ്പോൾ (അല്ലെങ്കിൽ π/2π/2 റേഡിയൻസ്, അല്ലെങ്കിൽ ഒരു സർക്കിളിന്റെ നാലിലൊന്ന് മുതലായവ).

ഓർത്തോഗണൽ ബൈലീനിയർ ഫോം അപ്രത്യക്ഷമാകുമ്പോൾ തൃപ്തമാകുന്ന വെക്‌ടറുകൾ തമ്മിലുള്ള പ്രതിപ്രവർത്തനമാണ്. ലൈൻ-ലൈക്കുകളുടെ ഒരു കവലയെ ഒരു ജോടി വെക്‌ടറുകളാക്കി മാറ്റിയ ശേഷം, ലംബമായത് യൂക്ലിഡിയൻ സ്‌പെയ്‌സിലെ ഓർത്തോഗണാലിറ്റിയാണ് (സാധാരണ ഡോട്ട് ഉൽപ്പന്നവുമായി സംയോജിപ്പിച്ചിരിക്കുന്നു), ചിലപ്പോൾ പ്രത്യേകമായി ഒരു തലം.

സാധാരണ ഒരു തരം. ഒരു മനിഫോൾഡിലുള്ള വെക്‌ടറിന്റെ (ഉദാഹരണത്തിന്, ഒരു പ്രതലത്തിൽ) ഹൈപ്പർഡൈമൻഷണൽ (വെക്‌റ്റർ) സ്‌പെയ്‌സ് ഓർത്തോഗണൽ സ്‌പേസിൽ ആ ബിന്ദുവിലെ ടാൻജെന്റ് സ്‌പെയ്‌സിൽ പൊതിഞ്ഞത്, ഇത് ഒരു പാരാമീറ്ററൈസ്ഡ് കർവിന്റെ ടാൻജെന്റ് വെക്‌ടറിന്റെ ഡെറിവേറ്റീവിന്റെ പേരും കൂടിയാണ്, ഇവിടെ ദ്വിമാനമാണ്"സാധാരണ" (സാധാരണ അർത്ഥത്തിൽ) ടാൻജെന്റ്, നോർമൽ എന്നിവയാൽ രൂപപ്പെട്ട തലത്തിലേക്കുള്ള വെക്റ്റർ. പരിശോധിക്കേണ്ട ഒരു കാര്യം, സാധാരണ എന്നത് ഓർത്തോനോർമൽ പോലെയുള്ള ഒരു യൂണിറ്റ് ദൈർഘ്യമുള്ള വെക്‌ടറിനെയും സൂചിപ്പിക്കാം.

ഫലമായി, യഥാർത്ഥ വ്യത്യാസമില്ല, പക്ഷേ "ലംബമായി" എന്നത് രണ്ട് അളവുകൾക്കായി പലപ്പോഴും ഉപയോഗിക്കുന്നു. , മൂന്നിന് "സാധാരണ", ജ്യാമിതി പൂർണ്ണമായും ഉപേക്ഷിക്കപ്പെടുമ്പോൾ "ഓർത്തോഗണൽ" (അതിനാൽ നിങ്ങൾക്ക് ഓർത്തോഗണൽ ഫംഗ്ഷനുകളെക്കുറിച്ച് സംസാരിക്കാം).

ഇപ്പോൾ ഞങ്ങൾ ഞങ്ങളുടെ ആശയങ്ങൾ മായ്ച്ചുകഴിഞ്ഞു, പ്രയോഗിക്കുമ്പോൾ ഈ പദങ്ങൾ എങ്ങനെ വ്യത്യാസപ്പെട്ടിരിക്കുന്നുവെന്ന് നോക്കാം. ജ്യാമിതീയ വെക്‌ടറുകളിലേക്ക്.

ഒരു സാധാരണ വെക്‌ടറും ഒരു ഓർത്തോഗണലിന് തുല്യമാണോ?

കടലാസിൽ, അവയ്ക്ക് ഒരേ നിർവചനം ഉണ്ടെന്ന് തോന്നുന്നു, പക്ഷേ സൈദ്ധാന്തികമായി, അവയ്ക്ക് വ്യത്യസ്തമായ നിർവചനങ്ങളുണ്ട്. രണ്ട് ലംബമായ വെക്‌ടറുകൾ ഓർത്തോഗണൽ ആണ്, ഒന്ന് മറ്റൊന്നിന് സാധാരണമാണ്, എന്നാൽ പൂജ്യം വെക്‌റ്റർ ഒരു വെക്‌ടറിനും നോർമൽ അല്ല, അതേസമയം എല്ലാ വെക്‌ടറിനും അത് ഓർത്തോഗണൽ ആണ്.

പൊതുവെ, ഒരു "സാധാരണ" 90-ഡിഗ്രി രേഖയുടെ ജ്യാമിതീയ വിവരണമാണ്, അതേസമയം "ഓർത്തോഗണൽ" എന്നത് ഗണിതശാസ്ത്രപരമായ ഒന്നായി തിരഞ്ഞെടുത്തിരിക്കുന്നു.

എന്നിരുന്നാലും, അവയെല്ലാം അർത്ഥമാക്കുന്നത് വലത് കോണിൽ, കൂടാതെ ഒരു സങ്കൽപ്പത്തിന് നിരവധി വ്യത്യസ്ത പദങ്ങൾ ഉള്ളത് ലജ്ജാകരമാണ്.

രണ്ട് വെക്‌ടറുകൾ പരസ്പരം വലത് കോണുകളിലോ, ഓർത്തോഗോണലോ ലംബമോ ആണെന്ന് നിങ്ങൾക്ക് പറയാം, അതിന്റെ അർത്ഥം ഒരേ കാര്യമാണ്. ഒരു വെക്റ്റർ മറ്റൊന്നിന് സാധാരണമാണെന്ന് ആളുകൾ പറയുന്നു, അതിന്റെ അർത്ഥം ഏതാണ്ട് സമാനമാണ്കാര്യം.

നിങ്ങൾക്ക് ഒരു കൂട്ടം വെക്‌ടറുകൾ 90 ഡിഗ്രിയിലോ വലത് കോണുകളിലോ ആണെന്ന് പറയാം, അത് പരസ്പരം അല്ലെങ്കിൽ ജോടിയായി ഓർത്തോഗണൽ ആയിരിക്കാം, പരസ്പരം അല്ലെങ്കിൽ ജോടിയായി ലംബമായി അല്ലെങ്കിൽ പരസ്പരം സാധാരണമായിരിക്കാം, അതിനർത്ഥം സമാനമാണ് കാര്യം.

ഒരു വെക്റ്റർ ഒരു വളവിനോ ഉപരിതലത്തിനോ വലത് കോണിലാണെന്ന് നിങ്ങൾക്ക് പറയാം, അതിന് ഓർത്തോഗണൽ, അതിന് ലംബമായോ അല്ലെങ്കിൽ അതിന് സാധാരണമായോ, അവയെല്ലാം അർത്ഥമാക്കുന്നത് ഒരേ കാര്യമാണ്. എന്നിരുന്നാലും, വളവുകളെക്കുറിച്ചും പ്രതലങ്ങളെക്കുറിച്ചും പറയുമ്പോൾ, "സാധാരണ" എന്നതാണ് കൂടുതൽ ഉചിതമായ പദം

രണ്ട് നേരായ വെക്‌ടറുകളുമായി ഇടപെടുമ്പോൾ ആളുകൾ ഇത് പരസ്പരം മാറിമാറി ഉപയോഗിക്കുന്നു, എന്നാൽ വളവുകളോ പ്രതലങ്ങളോ കൈകാര്യം ചെയ്യുമ്പോൾ പ്രത്യേക ഉപയോഗങ്ങൾ ഞാൻ കണ്ടിട്ടുണ്ട്. ദൃശ്യവൽക്കരണത്തിനായി ചുവടെയുള്ള ചിത്രം നോക്കുക.

അവയെല്ലാം സൂചിപ്പിക്കുന്നത് തൊണ്ണൂറ് ഡിഗ്രി ആംഗിൾ നിലവിലുണ്ടെന്ന്. എന്നിരുന്നാലും, വലത് കോണുകളുടെ ഗണത്തിന്റെ കാർഡിനാലിറ്റി സാധാരണയായി ഉപയോഗത്തെ വേർതിരിക്കുന്നു. രണ്ട് വെക്റ്ററുകളെ കുറിച്ച് പറയുമ്പോൾ 'ലംബമായി' ഉപയോഗിക്കാറുണ്ട്.

'ഓർത്തോഗണൽ' എന്ന പദം തൊണ്ണൂറ് ഡിഗ്രി കോണിൽ കുറഞ്ഞത് 2 വ്യത്യസ്ത വെക്‌ടറുകളെങ്കിലും ഉള്ള ഒരു വെക്‌ടറിനെ വിവരിക്കുന്നതിന് പതിവായി ഉപയോഗിക്കാറുണ്ട്, എന്നാൽ പലതും ആവശ്യമില്ല (മറ്റൊരു രീതിയിൽ പറഞ്ഞാൽ, ഇത് ഒരു സാധ്യതയാണ്, വെക്‌ടറുകൾ എണ്ണിയിരിക്കുന്ന പോയിന്റ്).

ഒരു വലത് കോണിലുള്ള വെക്‌ടറുകളുടെ എണ്ണം കണക്കാക്കാനാകാത്ത ഒരു ഗണമായി രൂപപ്പെടുമ്പോൾ, അതായത് ഒരു മുഴുവൻ തലം .

പ്രധാന വ്യത്യാസങ്ങൾ ദൃശ്യവൽക്കരിക്കാൻ ഈ ചിത്രം നിങ്ങളെ സഹായിക്കും.

വെക്റ്ററുകളുടെ വ്യത്യസ്ത സന്ദർഭങ്ങളിൽ ഓർത്തോഗണൽ, നോർമൽ, ലംബം.

ആണ്.ഓർത്തോഗണൽ അർത്ഥം ലംബം?

ഓർത്തോഗണലും ലംബവും ലംബമായിരിക്കുന്ന സ്വഭാവത്തിൽ നിന്ന് വ്യത്യസ്തമാണ് ( ലംബത ). 90 ഡിഗ്രി അല്ലെങ്കിൽ വലത് കോണിൽ കണ്ടുമുട്ടുന്ന രണ്ട് വരികൾ തമ്മിലുള്ള ബന്ധമാണിത്.

പ്രോപ്പർട്ടി മറ്റ് അനുബന്ധ ജ്യാമിതീയ വസ്തുക്കളിലേക്കും വ്യാപിക്കുമെന്ന് പറയപ്പെടുന്നു. വലത് കോണിലുള്ള രണ്ട് വരികളുടെ ബന്ധമാണ് ഓർത്തോഗണൽ എന്നാൽ ലംബമായ അല്ലെങ്കിൽ വലത് കോണുകളായി രൂപപ്പെടുന്ന വരികളുമായി ബന്ധപ്പെട്ടതോ ഉൾക്കൊള്ളുന്നതോ ആണ്, ഇതിൻറെ മറ്റൊരു പദമാണ് ഓർത്തോഗ്രാഫിക്.

വരികൾ ലംബമായിരിക്കുമ്പോൾ, അവ വലത് കോണിൽ വിഭജിക്കുന്നു. ഉദാഹരണത്തിന്, ദീർഘചതുരങ്ങളുടെയും ചതുരങ്ങളുടെയും കോണുകൾ എല്ലാം വലത് കോണുകളാണ്.

സീറോ വെക്റ്റർ എല്ലാ വെക്‌ടറിനും ഓർത്തോഗണൽ ആണോ?

2 വെക്‌ടറുകൾക്കിടയിലുള്ള ഉൽപ്പന്നം 0 ആണെങ്കിൽ, അവ പരസ്പരം ഓർത്തോഗണൽ ആയി കണക്കാക്കപ്പെടുന്നു, അതിനാൽ (X,) ലെ x,y ∈ X =0 ആണെങ്കിൽ, ഇപ്പോൾ x ഉം y ഉം ആണെങ്കിൽ (X,) orthogonal ആണ് അപ്പോൾ അതിനർത്ഥം x ന്റെ ഏതെങ്കിലും സ്കെലാർ ഗുണിതം y നും orthogonal ആണ് എന്നാണ്.

പ്രവർത്തിച്ച ഒരു ഉദാഹരണം നോക്കൂ.

1. x,y>=k< x,y >=k0= 0
2. ഇപ്പോൾ k=0
3. എന്നിട്ട്< 0 ,y>=0 എടുക്കുക
4. അതിനർത്ഥം പൂജ്യം വെക്‌ടർ മറ്റെല്ലാ വെക്‌ടറിനും ഓർത്തോഗണൽ ആണെന്നാണ്.

ഒരു പൂജ്യം വെക്‌ടറിന്റെ സ്ഥാനം പരിഗണിക്കുന്നതിനുള്ള മറ്റൊരു വഴി സാധാരണ വെക്റ്റർ ഇതാണ്:

1. കോണിൽ പ്രവർത്തിക്കുന്ന A ഉം B ഏതെങ്കിലും രണ്ട് വെക്‌ടറുകൾ പരിഗണിക്കുകθ.θ.
2. A×B=0A×B=0
3. ABsinθn=0ABsinθn=0(n എന്നത് യൂണിറ്റ് വെക്റ്റർ ആണ്.)
4. A=0A=0 അല്ലെങ്കിൽ B=0B=0 അല്ലെങ്കിൽ sinθ=0sinθ=0
5. A=0A=0 അല്ലെങ്കിൽ B=0B =0 അല്ലെങ്കിൽ θ=0,πθ=0,π
6. A=0A=0 അല്ലെങ്കിൽ B=0B=0 അല്ലെങ്കിൽ A & B സമാന്തരമാണ്.
7. A.B=0A.B=0
8. ABcosθ=0ABcosθ=0
9. A=0A=0 അല്ലെങ്കിൽ B=0B=0 അല്ലെങ്കിൽ cosθ=0cosθ=0
10. A=0A=0 അല്ലെങ്കിൽ B=0B=0 അല്ലെങ്കിൽ θ=π2θ =π2
11. A=0A=0 അല്ലെങ്കിൽ B=0B=0 അല്ലെങ്കിൽ A & B ലംബമാണ്.
12. ഇപ്പോൾ ഞങ്ങൾ ഇനിപ്പറയുന്ന രീതിയിൽ ഒരു സാഹചര്യം സൃഷ്ടിക്കുന്നു:
13. A×B=0A×B=0 ഒപ്പം A.B=0A.B=0
14. A=0A=0 അല്ലെങ്കിൽ B=0B=0
15. ഇവിടെ നാം കാണുന്നുവെങ്കിൽ മാത്രമേ ഇത് സാധ്യമാകൂ വെക്റ്ററുകളിൽ ഒന്ന് പൂജ്യമാണെങ്കിൽ മാത്രമേ രണ്ട് വ്യവസ്ഥകളും ശരിയാകൂ.
16. B=0B=0
17. ആദ്യ വ്യവസ്ഥയിൽ നിന്ന്, O A-ന് സമാന്തരമാണെന്ന് നമുക്ക് അനുമാനിക്കാം A ലേക്ക് ലംബമാണ്.

അതിനാൽ, നൾ വെക്‌ടറിന് (പൂജ്യം വെക്‌ടറിന്) ഒരു അനിയന്ത്രിതമായ ദിശയുണ്ട്. ഇത് ഏതെങ്കിലും വെക്റ്ററിന് സമാന്തരമോ ലംബമോ മറ്റേതെങ്കിലും കോണിലോ ആയിരിക്കാം.

ഉപസംഹാരം

ഈ ലേഖനത്തിൽ നിന്നുള്ള പ്രധാന വിശദാംശങ്ങൾ ഇതാ: