เวกเตอร์ หัวข้อที่บางคนคิดว่าง่าย ในขณะที่บางคนพบว่าค่อนข้างท้าทาย แม้ว่าการทำความเข้าใจนิยามและพื้นฐานของเวกเตอร์นั้นไม่ใช่เรื่องง่ายๆ สำหรับทุกคน โดยเฉพาะอย่างยิ่งในเรขาคณิตแบบยุคลิด (เรขาคณิต 2 มิติ) สิ่งที่ได้รับ ทำให้สับสนเมื่อเราย้ายไปยังเวกเตอร์ 3 มิติและเวกเตอร์ที่ไม่ใช่เชิงเส้น (เส้นโค้ง)

แม้ว่าเวกเตอร์จะเรียบง่ายทางคณิตศาสตร์และมีประโยชน์อย่างมากในตอนที่ฟิสิกส์ พวกมันไม่ได้ถูกพัฒนาในรูปแบบสมัยใหม่ จนกระทั่งช่วงปลายศตวรรษที่ 19 เมื่อ Josiah Willard Gibbs และ Oliver Heaviside (จากสหรัฐอเมริกาและอังกฤษ ตามลำดับ) ต่างใช้การวิเคราะห์เวกเตอร์เพื่อช่วยแสดงกฎใหม่ของ แม่เหล็กไฟฟ้า .

แม่เหล็กไฟฟ้า เสนอโดย James Clerk Maxwell สิ่งนี้ค่อนข้างน่าประหลาดใจ เนื่องจากเป็นช่วงเวลาเดียวกับที่เราเริ่มค้นพบอนุภาคย่อยของอะตอมและพัฒนาแนวคิดเกี่ยวกับอะตอมสมัยใหม่

โดยย่อ: มุมฉาก แบบปกติ และแนวตั้งฉาก คำที่ใช้อธิบายวัตถุที่ทำมุม 90 องศากับวัตถุอื่น ดังนั้นจึงมีความแตกต่างทางเทคนิคเพียงเล็กน้อยเมื่อนำไปใช้กับเวกเตอร์ สรุปได้ว่าคล้ายกันแต่ไม่เหมือนกัน

มาร่วมอธิบายความแตกต่างเล็กน้อยระหว่างคำศัพท์ทางคณิตศาสตร์เหล่านี้อย่างละเอียด

เวกเตอร์คืออะไร

โดยทั่วไปเวกเตอร์จะแสดงด้วยลูกศรที่มีทิศทางเดียวกับปริมาณและความยาวเป็นสัดส่วนกับความกว้างของปริมาณ เป็นปริมาณที่มีทั้งขนาดและทิศทาง

แม้ว่า เวกเตอร์ จะมีขนาดและทิศทาง แต่ก็ไม่มีตำแหน่ง โดยที่ความยาวของเวกเตอร์ดั้งเดิมไม่มีการเปลี่ยนแปลง เวกเตอร์เองก็ไม่ถูกเปลี่ยนแปลงเช่นกันหากมันถูกแทนที่ในแนวขนานกับตำแหน่งเดิม

ในทางตรงกันข้าม ปริมาณปกติที่มีแอมพลิจูดแต่ไม่มีทิศทางจะเรียกว่าสเกลาร์ . ตัวอย่างเช่น ความเร็ว ความเร่ง และการกระจัดเป็นปริมาณเวกเตอร์ ในขณะที่ความเร็ว เวลา และมวลเป็นค่าสเกลาร์

โดยสรุป ปริมาณใดๆ ก็ตามที่มีขนาดและทิศทางที่สามารถวัดได้คือเวกเตอร์ ปริมาณ และสามารถแสดงภาพโดยใช้รูปทรงเรขาคณิต

เวกเตอร์หลายตัวสามารถบวก ลบ และคูณกับเวกเตอร์หลายตัวได้โดยคำนึงถึงทิศทางและขนาดของเวกเตอร์

ตอนนี้ ก่อนที่จะไปยังเวกเตอร์ตั้งฉาก ตั้งฉาก และปกติ เรา ก่อนอื่นต้องเข้าใจความหมายของเส้นตั้งฉาก มุมฉาก และเส้นปกติ กล่าวโดยย่อ คำศัพท์ทางคณิตศาสตร์เหล่านี้เหมือนกัน แต่มีความแตกต่างเล็กน้อยในการใช้งานตามสถานการณ์

ฉันได้รวมตารางไว้ด้านล่างเพื่อให้คุณคุ้นเคยกับปริมาณเวกเตอร์และปริมาณสเกลาร์

เวกเตอร์คืออะไร

ดูวิดีโอที่สร้างขึ้นอย่างดีซึ่งอธิบายเวกเตอร์:

เวกเตอร์คืออะไร

อะไรคือความแตกต่างระหว่างแนวตั้งฉาก มุมฉาก และปกติ?

คำตอบที่ตรงไปตรงมาที่สุดคือ "ไม่มีอะไร" มีบางสถานการณ์ที่มีแนวโน้มว่าจะใช้คำหนึ่งมากกว่าอีกคำหนึ่ง แต่โดยปกติแล้วสามารถสลับกันได้โดยสูญเสียความชัดเจนเพียงเล็กน้อย ซึ่งโดยทั่วไปแล้ว บริบทที่ล้อมรอบคำศัพท์แต่ละคำ โปรดทราบว่าสิ่งนี้มีความยืดหยุ่นอย่างยิ่ง:<3

เส้นตั้งฉาก เป็นความสัมพันธ์ระหว่างวัตถุที่ "คล้ายเส้น" (เส้นตรง รัศมี ส่วนของเส้นตรง) ในเรขาคณิตแบบคลาสสิก ซึ่งเป็นที่พอใจเมื่อมุมใดๆ ที่จุดตัดของวัตถุมีค่าเท่ากับ 90 องศา (หรือ π/2π/2 เรเดียน หรือหนึ่งในสี่ของวงกลม เป็นต้น)

มุมฉาก เป็นการโต้ตอบระหว่างเวกเตอร์ที่พอใจเมื่อรูปแบบทวิเนียร์หายไป หลังจากเปลี่ยนจุดตัดของเส้นตรงเป็นคู่ของเวกเตอร์ ความตั้งฉากคือมุมฉากในปริภูมิแบบยุคลิด (รวมกับดอทโปรดัคปกติ) บางครั้งระนาบโดยเฉพาะ

ปกติ เป็นแบบ ของเวกเตอร์บนท่อร่วม (เช่น พื้นผิว) ที่ห่อหุ้มในปริภูมิไฮเปอร์มิติ (เวกเตอร์) ตั้งฉากกับปริภูมิสัมผัส ณ จุดนั้น นอกจากนี้ยังเป็นชื่อของอนุพันธ์ของเวกเตอร์สัมผัสของเส้นโค้งแปรผัน โดยที่ทวินอร์มัลคือเวกเตอร์ "ปกติ" (ในความหมายปกติ) กับระนาบที่เกิดจากเส้นสัมผัสและเส้นตรง สิ่งที่ควรตรวจสอบคือปกติมักจะอ้างถึงเวกเตอร์ความยาวหน่วยเช่นกัน เช่น ในออร์โธนอร์มอล

ด้วยเหตุนี้ จึงไม่มีความแตกต่างที่แท้จริง แต่มักใช้ "ตั้งฉาก" สำหรับสองมิติ , “ปกติ” สำหรับสาม และ “มุมฉาก” สำหรับเมื่อรูปทรงเรขาคณิตถูกละทิ้งโดยสิ้นเชิง (เพื่อให้คุณสามารถพูดคุยเกี่ยวกับฟังก์ชันมุมฉากได้)

ตอนนี้เราได้ล้างแนวคิดของเราแล้ว มาดูกันว่าคำศัพท์เหล่านี้แตกต่างกันอย่างไรเมื่อนำไปใช้ เป็นเวกเตอร์เชิงเรขาคณิต

เวกเตอร์ปกติเหมือนกับเวกเตอร์แบบตั้งฉากหรือไม่

บนกระดาษ ดูเหมือนว่าจะมีคำจำกัดความเหมือนกัน แต่ในทางทฤษฎีแล้ว พวกมันมีคำจำกัดความที่แตกต่างกันอย่างชัดเจน เวกเตอร์ตั้งฉากสองตัวตั้งฉากกันและเวกเตอร์หนึ่งตั้งฉากกับเวกเตอร์อื่น แต่เวกเตอร์ศูนย์ไม่ปกติสำหรับเวกเตอร์ใดๆ ในขณะที่เวกเตอร์ตั้งฉากกับเวกเตอร์ทุกตัว

โดยทั่วไป เป็น "ปกติ" เป็นคำอธิบายทางเรขาคณิตของเส้น 90 องศา ในขณะที่ "มุมฉาก" เลือกใช้เป็นเส้นทางคณิตศาสตร์

อย่างไรก็ตาม ทั้งหมดนี้หมายถึง ที่มุมฉาก และน่าเสียดายที่มีคำต่างๆ มากมายสำหรับแนวคิดเดียว

คุณสามารถพูดได้ว่าเวกเตอร์สองตัวทำมุมฉากกัน มุมฉาก หรือตั้งฉาก และทั้งหมดนี้มีความหมายเหมือนกัน ผู้คนยังบอกว่าเวกเตอร์หนึ่งเป็นปกติสำหรับอีกเวกเตอร์หนึ่ง และนั่นก็หมายความว่าเหมือนกันสิ่งนั้น

คุณสามารถพูดได้ว่าชุดของเวกเตอร์อยู่ที่ 90 องศาหรือเป็นมุมฉากซึ่งกันและกัน มันอาจจะตั้งฉากกันหรือเป็นคู่ ตั้งฉากกันหรือเป็นคู่ หรือปกติซึ่งกันและกัน และนั่นก็หมายความว่าเหมือนกัน สิ่งนั้น

คุณสามารถพูดได้ว่าเวกเตอร์อยู่ในมุมฉากกับเส้นโค้งหรือพื้นผิว ตั้งฉากกับเวกเตอร์นั้น ตั้งฉากกับมัน หรือตั้งฉากกับมัน และทั้งหมดนี้มีความหมายเหมือนกัน อย่างไรก็ตาม เมื่อพูดถึงเส้นโค้งและพื้นผิว คำที่เหมาะสมกว่าคือ "ปกติ"

ผู้คนใช้คำนี้แทนกันได้เมื่อต้องจัดการกับเวกเตอร์ตรงสองตัว แต่ฉันได้เห็นการใช้งานที่เฉพาะเจาะจงเมื่อต้องจัดการกับเส้นโค้งหรือพื้นผิว ลองดูภาพด้านล่างเพื่อให้เห็นภาพ

ทั้งหมดนี้บ่งบอกถึงมุมเก้าสิบองศาที่มีอยู่ อย่างไรก็ตาม จำนวนสมาชิกของชุดมุมฉากโดยทั่วไปจะแยกการใช้งาน 'ตั้งฉาก' มักใช้เมื่อพูดถึงเวกเตอร์สองตัว

คำว่า 'มุมฉาก' มักใช้เพื่ออธิบายเวกเตอร์ที่อยู่ในมุมเก้าสิบองศากับเวกเตอร์ที่แยกกันอย่างน้อย 2 ตัว แต่ไม่จำเป็นต้องมีหลายเวกเตอร์ (กล่าวคือ เป็นไปได้แต่เฉพาะกับ จุดที่เวกเตอร์ถูกแจกแจง)

'ปกติ' ใช้เมื่อจำนวนเวกเตอร์ที่อยู่ในมุมฉากก่อตัวเป็นเซตที่นับไม่ได้ เช่น ระนาบทั้งหมด .

รูปภาพนี้จะช่วยให้คุณเห็นภาพความแตกต่างที่สำคัญ

มุมฉาก ปกติ และแนวตั้งฉากในกรณีต่างๆ ของเวกเตอร์

คือค่าเฉลี่ยมุมตั้งฉาก?

ตั้งฉากและตั้งฉากแตกต่างจากคุณสมบัติของการตั้งฉาก ( ตั้งฉาก ) เป็นความสัมพันธ์ระหว่างเส้นสองเส้นที่มาบรรจบกันที่ 90 องศาหรือเป็นมุมฉาก

คุณสมบัติดังกล่าวขยายไปยังวัตถุทางเรขาคณิตที่เกี่ยวข้องอื่นๆ ในขณะที่มุมฉากคือความสัมพันธ์ของเส้นสองเส้นที่มุมฉาก

มุมฉากหมายถึงความสัมพันธ์หรือเกี่ยวข้องกับเส้นที่ตั้งฉากหรือก่อตัวเป็นมุมฉาก อีกคำหนึ่งสำหรับสิ่งนี้คือออโธกราฟิก

เมื่อเส้น ตั้งฉาก เส้นจะตัดกันเป็นมุมฉาก ตัวอย่างเช่น มุมของสี่เหลี่ยมและสี่เหลี่ยมจัตุรัสล้วนเป็นมุมฉาก

เวกเตอร์ศูนย์ตั้งฉากกับทุกเวกเตอร์หรือไม่

หากผลคูณระหว่างเวกเตอร์ 2 ตัวเป็น 0 จะถือว่าพวกมันตั้งฉากกัน ดังนั้น x,y ∈ X ใน (X,) จะเป็นมุมฉากถ้า =0 ทีนี้ถ้า x และ y ใน (X,) เป็นมุมฉาก หมายความว่าสเกลาร์ใดๆ ที่คูณด้วย x ก็ตั้งฉากกับ y

ดูตัวอย่างการทำงาน

1. x,y>=k< x,y >=k0= 0
2. ตอนนี้ใช้ k=0
3. จากนั้น< 0 ,y>=0
4. ซึ่งหมายความว่าเวกเตอร์ศูนย์ตั้งฉากกับเวกเตอร์อื่นๆ ทุกตัว

อีกวิธีหนึ่งในการพิจารณาตำแหน่งของเวกเตอร์ศูนย์เทียบกับ a เวกเตอร์ตั้งฉากคือ:

1. พิจารณาเวกเตอร์สองตัวใดๆ A และ B ทำมุมθ.θ.
2. สมมติว่า A×B=0A×B=0
3. ABsinθn=0ABsinθn=0(n เป็นเวกเตอร์หน่วย)
4. A=0A=0 หรือ B=0B=0 หรือ sinθ=0sinθ=0
5. A=0A=0 หรือ B=0B =0 หรือ θ=0,πθ=0,π
6. A=0A=0 หรือ B=0B=0 หรือ A & B ขนานกัน
7. สมมติว่า A.B=0A.B=0
8. ABcosθ=0ABcosθ=0
9. A=0A=0 หรือ B=0B=0 หรือ cosθ=0cosθ=0
10. A=0A=0 หรือ B=0B=0 หรือ θ=π2θ =π2
11. A=0A=0 หรือ B=0B=0 หรือ A & B ตั้งฉากกัน
12. ตอนนี้เราสร้างสถานการณ์ดังนี้:
13. สมมติว่า A×B=0A×B=0 และ A.B=0A.B=0
14. เป็นไปได้ก็ต่อเมื่อ A=0A=0 หรือ B=0B=0
15. เราจะเห็นว่า เงื่อนไขทั้งสองจะเป็นจริงได้ก็ต่อเมื่อเวกเตอร์ตัวใดตัวหนึ่งเป็นศูนย์
16. สมมติว่า B=0B=0
17. จากเงื่อนไขแรก เราอาจสรุปได้ว่า O ขนานกับ A
18. จากเงื่อนไขที่สอง เราอาจสรุปได้ว่า O ตั้งฉากกับ A

ดังนั้น เวกเตอร์ว่าง (เวกเตอร์ศูนย์) มีทิศทางโดยพลการ อาจขนานหรือตั้งฉากหรือทำมุมอื่นกับเวกเตอร์ใดก็ได้

สรุป

นี่คือรายละเอียดที่สำคัญจากบทความนี้:

• เวกเตอร์คือปริมาณทางกายภาพใดๆ ที่มีขนาดและทิศทาง
• ตั้งฉาก ปกติ และตั้งฉาก เป็นคำศัพท์ที่ใช้อธิบายวัตถุซึ่งทำมุม 90 องศากับวัตถุอีกชิ้นหนึ่ง ดังนั้นจึงมีความแตกต่างทางเทคนิคเพียงเล็กน้อยระหว่างเมื่อนำไปใช้กับเวกเตอร์
• ทั้งหมดนี้บ่งบอกถึงมุมเก้าสิบองศาที่มีอยู่ อย่างไรก็ตาม จำนวนสมาชิกของชุดมุมฉากโดยทั่วไปจะแยกการใช้งาน 'ตั้งฉาก' มักใช้เมื่อพูดถึงเวกเตอร์สองตัว
• คำว่า 'มุมฉาก' มักถูกใช้เพื่ออธิบายเวกเตอร์ที่อยู่ในมุมเก้าสิบองศากับเวกเตอร์ที่แยกกันอย่างน้อย 2 ตัว แต่ไม่จำเป็นต้องมีหลายเวกเตอร์ (กล่าวคือ เป็นไปได้แต่เฉพาะกับ จุดที่แจกแจงเวกเตอร์)
• 'ปกติ' จะใช้เมื่อจำนวนเวกเตอร์ที่อยู่ในมุมฉากก่อตัวเป็นเซตนับไม่ได้ นั่นคือระนาบทั้งหมด
• ในภาษาทั่วไป พวกมันแทบจะเหมือนกัน

ฉันหวังว่าบทความนี้จะช่วยให้คุณเข้าใจความแตกต่างระหว่าง Orthogonal, Normal และ Perpendicular เมื่อจัดการกับเวกเตอร์ได้ดีขึ้น

ความแตกต่างระหว่าง Active และ A คืออะไร แรงปฏิกิริยา? (ความคมชัด)

ความแตกต่างระหว่างเวกเตอร์และเทนเซอร์คืออะไร? (อธิบายแล้ว)

ความแตกต่างระหว่างสมการและฟังก์ชัน-1