વેક્ટર્સ, એક વિષય કેટલાક લોકોને સરળ લાગે છે, જ્યારે કેટલાકને તે ખૂબ જ પડકારજનક લાગે છે, જ્યારે વેક્ટર્સની વ્યાખ્યા અને મૂળભૂત બાબતોને સમજવી એ કોઈ પણ વ્યક્તિ માટે અયોગ્ય છે, ખાસ કરીને યુક્લિડિયન ભૂમિતિમાં (2-પરિમાણીય ભૂમિતિ), વસ્તુઓ મેળવે છે. જ્યારે આપણે 3-પરિમાણીય વેક્ટર અને બિન-રેખીય (વક્ર) વેક્ટર પર જઈએ છીએ ત્યારે ગૂંચવણમાં મૂકે છે.

ભૌતિકશાસ્ત્રમાં વેક્ટર ગાણિતિક રીતે સરળ અને અત્યંત ઉપયોગી હોવા છતાં, તેઓ તેમના આધુનિક સ્વરૂપમાં વિકસિત થયા ન હતા. 19મી સદીના અંત સુધી નહીં જ્યારે જોસિયા વિલાર્ડ ગિબ્સ અને ઓલિવર હેવિસાઇડ (અનુક્રમે યુનાઇટેડ સ્ટેટ્સ અને ઇંગ્લેન્ડના) દરેક <ના નવા કાયદાઓને વ્યક્ત કરવામાં મદદ કરવા માટે વેક્ટર વિશ્લેષણ લાગુ કરે છે. 2>ઇલેક્ટ્રોમેગ્નેટિઝમ .

ઇલેક્ટ્રોમેગ્નેટિઝમ જેમ્સ ક્લર્ક મેક્સવેલ દ્વારા પ્રસ્તાવિત છે. આ ખૂબ જ આશ્ચર્યજનક છે, કારણ કે આ તે જ સમયે હતું જ્યારે અમે ઉપ-પરમાણુ કણો શોધવાનું શરૂ કર્યું હતું અને આધુનિક સમયના અણુનો વિચાર વિકસાવ્યો હતો.

ટૂંકમાં: ઓર્થોગોનલ, સામાન્ય અને લંબ છે અન્ય ઑબ્જેક્ટના સંદર્ભમાં 90 ડિગ્રી પર હોય તેવા ઑબ્જેક્ટનું વર્ણન કરવા માટેની શરતો. તેથી જ્યારે વેક્ટર પર લાગુ થાય છે ત્યારે તેમની વચ્ચે માત્ર થોડા ટેકનિકલ તફાવતો છે. ટૂંકમાં, તેઓ સમાન છે પરંતુ એકસરખા નથી.

મારી સાથે જોડાઓ કારણ કે હું આ ગાણિતિક શબ્દો વચ્ચેના નાના તફાવતોને સારી રીતે સમજાવું છું.

વેક્ટર શું છે?

વેક્ટર સામાન્ય રીતે તીર દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે જેની દિશા સમાન હોય છેજથ્થો અને જથ્થાના કંપનવિસ્તારના પ્રમાણસર લંબાઈ. તે એક એવો જથ્થો છે જેમાં તીવ્રતા અને દિશા બંને હોય છે.

જો કે વેક્ટર ની તીવ્રતા અને દિશા હોય છે, તેની પાસે કોઈ સ્થાન નથી. મંજૂર છે કે મૂળ વેક્ટરની લંબાઈ બદલાતી નથી, વેક્ટર પોતે પણ બદલાતો નથી જો તે તેની મૂળ સ્થિતિની સમાંતર વિસ્થાપિત થાય છે

વિપરિત રીતે, સામાન્ય જથ્થાઓ કે જેમાં કંપનવિસ્તાર હોય છે પરંતુ કોઈ દિશા નથી તેને સ્કેલર તરીકે ઓળખવામાં આવે છે. . વેગ, પ્રવેગ અને વિસ્થાપન, ઉદાહરણ તરીકે, વેક્ટર જથ્થાઓ છે, જ્યારે ઝડપ, સમય અને દળ એ સ્કેલરના મૂલ્યો છે.

તેથી ટૂંકમાં, કદ અને દિશા સાથે કોઈપણ પરિમાણયોગ્ય જથ્થો વેક્ટર છે જથ્થો અને ભૂમિતિનો ઉપયોગ કરીને ચિત્રિત કરી શકાય છે.

બહુવિધ વેક્ટર્સ તેમની દિશા અને તીવ્રતાના સંદર્ભમાં એક બીજામાં ઉમેરી, બાદબાકી અને ગુણાકાર કરી શકાય છે.

હવે, ઓર્થોગોનલ, લંબરૂપ અને સામાન્ય વેક્ટર પર જતા પહેલા, આપણે પ્રથમ કાટખૂણે, ઓર્થોગોનલ અને સામાન્યની વ્યાખ્યા સમજવાની જરૂર છે. ટૂંકમાં, આ ગાણિતિક શબ્દો સમાન છે, છતાં પરિસ્થિતિગત વપરાશમાં થોડો તફાવત છે.

મેં તમને અમુક વેક્ટર અને સ્કેલર જથ્થાઓથી પરિચિત કરાવવા માટે નીચે એક કોષ્ટક શામેલ કર્યું છે.

વેક્ટર્સ શું છે?

વેક્ટર્સનું વર્ણન કરતી આ સારી રીતે બનાવેલી વિડિઓ પર એક નજર નાખો:

વેક્ટર્સ શું છે?

લંબ, ઓર્થોગોનલ અને સામાન્ય વચ્ચે શું તફાવત છે?

સૌથી પ્રામાણિક જવાબ "કંઈ નથી" છે. એવી પરિસ્થિતિઓ છે કે જ્યાં એકનો ઉપયોગ બીજા કરતા વધુ થાય છે, પરંતુ સામાન્ય રીતે તેઓ સ્પષ્ટતાની થોડી ખોટ સાથે બદલી શકાય છે, એટલે કે સામાન્ય રીતે, દરેક શબ્દની આસપાસનો સંદર્ભ, ધ્યાનમાં રાખો કે આ અત્યંત લવચીક છે:<3

લંબ એ શાસ્ત્રીય ભૂમિતિમાં "રેખા-જેવા" પદાર્થો (રેખા, કિરણ, રેખાખંડ) વચ્ચેનો સંબંધ છે, જે સંતુષ્ટ થાય છે જ્યારે તેમના આંતરછેદ પરનો કોઈપણ ખૂણો 90 ડિગ્રી (અથવા π/2π/2 રેડિયન, અથવા વર્તુળનો એક ક્વાર્ટર, વગેરે).

ઓર્થોગોનલ એ વેક્ટર વચ્ચેની ક્રિયાપ્રતિક્રિયા છે જે જ્યારે દ્વિરેખીય સ્વરૂપ અદૃશ્ય થઈ જાય છે ત્યારે સંતુષ્ટ થાય છે. લાઇન-લાઇક્સના આંતરછેદને વેક્ટરની જોડીમાં રૂપાંતરિત કર્યા પછી, લંબ એ યુક્લિડિયન અવકાશમાં ઓર્થોગોનાલિટી છે (સામાન્ય ડોટ પ્રોડક્ટ સાથે સંકલિત), કેટલીકવાર ખાસ કરીને પ્લેન.

સામાન્ય એક પ્રકારનો છે. મેનીફોલ્ડ પર વેક્ટરનું (ઉદાહરણ તરીકે, સપાટી) તે બિંદુએ સ્પર્શક જગ્યાના ઓર્થોગોનલ હાઇપરડાઈમેન્શનલ (વેક્ટર) અવકાશમાં સમાવિષ્ટ છે તે પરિમાણિત વળાંકના સ્પર્શક વેક્ટરના વ્યુત્પન્નનું નામ પણ છે, જ્યાં દ્વિ-સામાન્ય છે."સામાન્ય" (સામાન્ય અર્થમાં) સ્પર્શક અને સામાન્ય દ્વારા રચાયેલા પ્લેન માટે વેક્ટર. તપાસવા જેવું કંઈક એ છે કે સામાન્ય ઘણીવાર એકમ-લંબાઈના વેક્ટરને પણ સંદર્ભિત કરી શકે છે, જેમ કે ઓર્થોનોર્મલમાં.

પરિણામે, ત્યાં કોઈ વાસ્તવિક ભેદ નથી, પરંતુ "લંબ" નો ઉપયોગ ઘણીવાર બે પરિમાણો માટે થાય છે. , ત્રણ માટે “સામાન્ય” અને જ્યારે ભૂમિતિ સંપૂર્ણપણે છોડી દેવામાં આવે ત્યારે માટે “ઓર્થોગોનલ” (જેથી તમે ઓર્થોગોનલ ફંક્શન્સ વિશે વાત કરી શકો).

હવે અમે અમારી વિભાવનાઓને સાફ કરી દીધી છે, ચાલો જોઈએ કે જ્યારે લાગુ કરવામાં આવે ત્યારે આ પરિભાષાઓ કેવી રીતે અલગ પડે છે. ભૌમિતિક વેક્ટર માટે.

શું સામાન્ય વેક્ટર ઓર્થોગોનલ જેવું જ છે?

કાગળ પર, તેમની વ્યાખ્યા સમાન હોય તેવું લાગે છે, પરંતુ સૈદ્ધાંતિક રીતે, તેઓ સ્પષ્ટ રીતે અલગ અલગ વ્યાખ્યાઓ ધરાવે છે. બે લંબ વેક્ટર ઓર્થોગોનલ છે અને એક બીજા માટે સામાન્ય છે, પરંતુ શૂન્ય વેક્ટર કોઈપણ વેક્ટર માટે સામાન્ય નથી જ્યારે તે દરેક વેક્ટર માટે ઓર્થોગોનલ હોય છે.

સામાન્ય રીતે, એક "સામાન્ય" 90-ડિગ્રી રેખાનું ભૌમિતિક વર્ણન છે, જ્યારે "ઓર્થોગોનલ" એ ગાણિતિક એક તરીકે પસંદગીયુક્ત રીતે ઉપયોગમાં લેવાય છે.

જોકે તે જ સમયે, તે બધાનો અર્થ કાટકોણો પર, અને તે શરમજનક છે કે એક ખ્યાલ માટે ઘણા જુદા જુદા શબ્દો છે.

તમે કહી શકો છો કે બે વેક્ટર એકબીજાના કાટખૂણે છે, ઓર્થોગોનલ અથવા લંબ છે, અને તે બધાનો અર્થ એક જ છે. લોકો એમ પણ કહે છે કે એક વેક્ટર બીજા માટે સામાન્ય છે, અને તેનો અર્થ લગભગ સમાન છેવસ્તુ.

તમે કહી શકો છો કે વેક્ટરનો સમૂહ એકબીજાના 90 ડિગ્રી અથવા જમણા ખૂણા પર હોય છે, તે કદાચ પરસ્પર અથવા જોડી પ્રમાણે ઓર્થોગોનલ, પરસ્પર અથવા જોડીમાં લંબરૂપ અથવા એકબીજા માટે સામાન્ય હોઈ શકે છે, અને તેનો અર્થ સમાન છે વસ્તુ.

તમે કહી શકો છો કે વેક્ટર વક્ર અથવા સપાટીના કાટખૂણે છે, તેના માટે ઓર્થોગોનલ છે, તેની લંબ છે અથવા તેના માટે સામાન્ય છે, અને તે બધાનો અર્થ સમાન છે. જો કે વણાંકો અને સપાટીઓ વિશે વાત કરતી વખતે, વધુ યોગ્ય શબ્દ "સામાન્ય" છે

બે સીધા વેક્ટર સાથે કામ કરતી વખતે લોકો તેનો એકબીજાના બદલામાં ઉપયોગ કરે છે, પરંતુ વણાંકો અથવા સપાટીઓ સાથે કામ કરતી વખતે મેં ચોક્કસ ઉપયોગો જોયા છે. વિઝ્યુલાઇઝેશન માટે નીચેની છબી પર એક નજર નાખો.

તે બધા સૂચવે છે કે નેવું-ડિગ્રી કોણ અસ્તિત્વ ધરાવે છે. જો કે, જમણા ખૂણાઓના સમૂહની મુખ્યતા સામાન્ય રીતે ઉપયોગને અલગ પાડે છે. બે વેક્ટર વિશે બોલતી વખતે 'લંબરૂપ' નો ઉપયોગ વારંવાર થાય છે.

'ઓર્થોગોનલ' શબ્દનો ઉપયોગ વેક્ટરને વર્ણવવા માટે વારંવાર કરવામાં આવે છે જે નેવું-ડિગ્રીના ખૂણા પર હોય અને ઓછામાં ઓછા 2 અલગ વેક્ટર હોય, પરંતુ તે જરૂરી નથી (બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, તે એક શક્યતા છે પરંતુ માત્ર બિંદુ જ્યાં વેક્ટરની ગણતરી કરવામાં આવે છે).

'સામાન્ય' નો ઉપયોગ ત્યારે થાય છે જ્યારે કાટખૂણા પર હોય તેવા વેક્ટરની સંખ્યા અગણિત સમૂહ બનાવે છે, એટલે કે સંપૂર્ણ સમતલ .

આ ચિત્ર તમને મુખ્ય તફાવતોની કલ્પના કરવામાં મદદ કરશે.

ઓર્થોગોનલ, સામાન્ય અને કાટખૂણે વેક્ટરના વિવિધ કેસોમાં.

છેઓર્થોગોનલ મીન લંબરૂપ?

ઓર્થોગોનલ અને કાટખૂણે લંબ હોવાના ગુણધર્મથી અલગ છે ( લંબતા ). તે બે રેખાઓ વચ્ચેનો સંબંધ છે જે 90 ડિગ્રી અથવા જમણા ખૂણા પર મળે છે.

સંપત્તિ અન્ય સંબંધિત ભૌમિતિક વસ્તુઓ સુધી વિસ્તરેલી હોવાનું કહેવાય છે. જ્યારે ઓર્થોગોનલ એ કાટખૂણો પરની બે રેખાઓનો સંબંધ છે.

ઓર્થોગોનલ એટલે કાટખૂણે અથવા કાટખૂણાની રચના કરતી રેખાઓ સાથે સંબંધિત અથવા સામેલ કરવી, આ માટેનો બીજો શબ્દ ઓર્થોગ્રાફિક છે.

જ્યારે રેખાઓ કાટખૂણે હોય છે, ત્યારે તેઓ કાટખૂણે છેદે છે. ઉદાહરણ તરીકે, લંબચોરસ અને ચોરસના ખૂણાઓ બધા કાટખૂણો છે.

શું શૂન્ય વેક્ટર દરેક વેક્ટર માટે ઓર્થોગોનલ છે?

2 (X,) ઓર્થોગોનલ છે તો તેનો અર્થ એ છે કે x નો કોઈપણ સ્કેલર ગુણાંક પણ y માટે ઓર્થોગોનલ છે.

કાર્ય કરેલ ઉદાહરણ પર એક નજર નાખો.

1. x,y>=k< x,y >=k0= 0
2. હવે k=0 લો
3. પછી< 0 ,y>=0
4. જેનો અર્થ એ છે કે શૂન્ય વેક્ટર દરેક અન્ય વેક્ટર માટે ઓર્થોગોનલ છે.

શૂન્ય વેક્ટરની સ્થિતિને ધ્યાનમાં લેવાની બીજી રીત સામાન્ય વેક્ટર છે:

1. કોઈપણ બે વેક્ટરને ધ્યાનમાં લો A અને B કોણ પર કાર્ય કરે છેθ.θ.
2. ધારો કે A×B=0A×B=0
3. ABsinθn=0ABsinθn=0(n એ એકમ વેક્ટર છે.)
4. A=0A=0 અથવા B=0B=0 અથવા sinθ=0sinθ=0
5. A=0A=0 અથવા B=0B =0 અથવા θ=0,πθ=0,π
6. A=0A=0 અથવા B=0B=0 અથવા A & B સમાંતર છે.
7. ધારો કે A.B=0A.B=0
8. ABcosθ=0ABcosθ=0
9. A=0A=0 અથવા B=0B=0 અથવા cosθ=0cosθ=0
10. A=0A=0 અથવા B=0B=0 અથવા θ=π2θ =π2
11. A=0A=0 અથવા B=0B=0 અથવા A & B લંબ છે.
12. હવે આપણે નીચે પ્રમાણે પરિસ્થિતિ બનાવીએ છીએ:
13. ધારો કે A×B=0A×B=0 અને A.B=0A.B=0
14. આ તો જ શક્ય છે જો A=0A=0 અથવા B=0B=0
15. અહીં જોઈએ કે બંને સ્થિતિઓ ત્યારે જ સાચી હોઈ શકે જો કોઈ એક વેક્ટર શૂન્ય હોય.
16. ધારો કે B=0B=0
17. પ્રથમ શરતથી, અમે અનુમાન કરી શકીએ છીએ કે O A.
18. બીજી શરતથી, અમે અનુમાન કરી શકીએ છીએ કે O A.

તેથી, શૂન્ય વેક્ટર(શૂન્ય વેક્ટર) ની મનસ્વી દિશા છે. તે સમાંતર અથવા કાટખૂણે અથવા કોઈપણ વેક્ટરના અન્ય કોઈપણ ખૂણા પર હોઈ શકે છે.

નિષ્કર્ષ

અહીં આ લેખમાંથી મુખ્ય વિગતો છે:

• વેક્ટર એ તીવ્રતા અને દિશા સાથેનો કોઈપણ ભૌતિક જથ્થા છે
• ઓર્થોગોનલ, સામાન્ય અને કાટખૂણે અન્ય પદાર્થના સંદર્ભમાં 90 ડિગ્રી પર હોય તેવા ઑબ્જેક્ટનું વર્ણન કરવા માટેના શબ્દો છે. તેથી, વચ્ચે માત્ર થોડા તકનીકી તફાવતો છેજ્યારે તેઓ વેક્ટર પર લાગુ થાય છે.
• તે બધા સૂચવે છે કે નેવું-ડિગ્રી કોણ અસ્તિત્વ ધરાવે છે. જો કે, જમણા ખૂણાઓના સમૂહની મુખ્યતા સામાન્ય રીતે ઉપયોગને અલગ પાડે છે. બે વેક્ટર વિશે બોલતી વખતે 'લંબરૂપ' નો ઉપયોગ વારંવાર થાય છે.
18 બિંદુ જ્યાં વેક્ટરની ગણતરી કરવામાં આવે છે).
• 'સામાન્ય' નો ઉપયોગ ત્યારે થાય છે જ્યારે કાટખૂણા પર હોય તેવા વેક્ટરની સંખ્યા અગણિત સમૂહ બનાવે છે, એટલે કે આખું સમતલ.
• રોજિંદા ભાષામાં, તેઓ વર્ચ્યુઅલ રીતે સમાન હોય છે.<21

મને આશા છે કે વેક્ટર સાથે કામ કરતી વખતે આ લેખ તમને ઓર્થોગોનલ, નોર્મલ અને પેન્ડિક્યુલર વચ્ચેના તફાવતને વધુ સારી રીતે સમજવામાં મદદ કરશે.

એક એક્ટિવ અને એ વચ્ચે શું તફાવત છે પ્રતિક્રિયાશીલ બળ? (કોન્ટ્રાસ્ટ)

વેક્ટર અને ટેન્સર્સ વચ્ચે શું તફાવત છે? (સમજાયેલ)

સમીકરણો અને કાર્યો વચ્ચેનો તફાવત-1