Vectors, ຫົວຂໍ້ທີ່ບາງຄົນຊອກຫາງ່າຍ, ໃນຂະນະທີ່ບາງຄົນເຫັນວ່າມັນທ້າທາຍຫຼາຍ, ໃນຂະນະທີ່ຄວາມເຂົ້າໃຈກ່ຽວກັບຄໍານິຍາມແລະພື້ນຖານຂອງ vectors ເປັນສິ່ງທີ່ບໍ່ມີຄວາມຄິດສໍາລັບໃຜ, ໂດຍສະເພາະໃນເລຂາຄະນິດ euclidean (ເລຂາຄະນິດ 2 ມິຕິ), ສິ່ງຕ່າງໆໄດ້ຮັບ. ສັບສົນເມື່ອພວກເຮົາຍ້າຍໄປຢູ່ໃນ vectors 3 ມິຕິລະດັບ ແລະ vectors ທີ່ບໍ່ແມ່ນເສັ້ນ (ໂຄ້ງ).

ເຖິງແມ່ນວ່າ vectors ແມ່ນຄະນິດສາດງ່າຍດາຍແລະເປັນປະໂຫຍດທີ່ສຸດໃນເວລາທີ່ຟີຊິກ, ພວກມັນບໍ່ໄດ້ຖືກພັດທະນາໃນຮູບແບບທີ່ທັນສະໄຫມ. ຈົນຮອດທ້າຍສະຕະວັດທີ 19 ເມື່ອ Josiah Willard Gibbs ແລະ Oliver Heaviside (ຂອງສະຫະລັດ ແລະອັງກິດ ຕາມລຳດັບ) ແຕ່ລະຄົນນຳໃຊ້ການວິເຄາະ vector ເພື່ອຊ່ວຍສະແດງກົດໝາຍໃໝ່ຂອງ ແມ່ເຫຼັກໄຟຟ້າ .

ແມ່ເຫຼັກໄຟຟ້າແມ່ນສະເໜີໂດຍ James Clerk Maxwell. ອັນນີ້ເປັນເລື່ອງແປກທີ່ພໍສົມຄວນ, ເພາະວ່ານີ້ແມ່ນເວລາດຽວກັນທີ່ພວກເຮົາເລີ່ມຄົ້ນພົບອະຕອມຍ່ອຍ ແລະ ພັດທະນາແນວຄວາມຄິດຂອງອະຕອມໃນຍຸກສະໄໝໃໝ່.

ໂດຍຫຍໍ້: ຮູບຊົງກົມ, ປົກກະຕິ, ແລະ ຕັ້ງສາກແມ່ນ. ຂໍ້ກໍານົດເພື່ອອະທິບາຍວັດຖຸທີ່ຢູ່ທີ່ 90 ອົງສາກ່ຽວກັບວັດຖຸອື່ນ. ດັ່ງນັ້ນ ມັນມີຄວາມແຕກຕ່າງທາງເທັກນິກພຽງໜ້ອຍດຽວລະຫວ່າງພວກມັນເມື່ອນຳໃຊ້ກັບ vectors. ສະຫຼຸບໂດຍຫຍໍ້, ພວກມັນຄ້າຍຄືກັນແຕ່ບໍ່ຄືກັນ.

ເຂົ້າຮ່ວມກັບຂ້ອຍເມື່ອຂ້ອຍອະທິບາຍຢ່າງລະອຽດກ່ຽວກັບຄວາມແຕກຕ່າງເລັກນ້ອຍລະຫວ່າງຄຳສັບທາງຄະນິດສາດເຫຼົ່ານີ້.

vector ແມ່ນຫຍັງ?

ໂດຍທົ່ວໄປແລ້ວ vector ແມ່ນສະແດງໂດຍລູກສອນທີ່ມີທິດທາງດຽວກັນກັບປະລິມານ ແລະຄວາມຍາວເທົ່າກັບຄວາມກວ້າງໃຫຍ່ຂອງປະລິມານ. ມັນເປັນປະລິມານທີ່ມີທັງຂະໜາດ ແລະທິດທາງ. ຍອມຮັບວ່າຄວາມຍາວຂອງ vector ຕົ້ນສະບັບບໍ່ໄດ້ຖືກປ່ຽນແປງ, vector ຕົວຂອງມັນເອງກໍ່ບໍ່ປ່ຽນແປງຖ້າມັນຖືກຍ້າຍຂະຫນານກັບຕໍາແຫນ່ງຕົ້ນສະບັບຂອງມັນ

ກົງກັນຂ້າມ, ປະລິມານທໍາມະດາທີ່ມີຄວາມກວ້າງແຕ່ບໍ່ມີທິດທາງແມ່ນເອີ້ນວ່າ scalar. . ສໍາລັບຕົວຢ່າງ, ຄວາມໄວ, ຄວາມເລັ່ງ, ແລະການກະຈັດກະຈາຍແມ່ນປະລິມານ vector, ໃນຂະນະທີ່ຄວາມໄວ, ເວລາ, ແລະມະຫາຊົນແມ່ນຄ່າຂອງ scalar.

ດັ່ງນັ້ນ, ໂດຍຫຍໍ້, ປະລິມານທີ່ມີຂະຫນາດແລະທິດທາງແມ່ນ vector. ປະລິມານ ແລະສາມາດສະແດງໄດ້ໂດຍໃຊ້ເລຂາຄະນິດ.

ຫຼາຍ vectors ສາມາດຖືກເພີ່ມໃສ່, ລົບດ້ວຍ, ແລະຄູນດ້ວຍກັນ, ຕາມທິດທາງ ແລະຂະໜາດຂອງພວກມັນ.

ດຽວນີ້, ກ່ອນທີ່ຈະຍ້າຍໄປຢູ່ໃນ vectors orthogonal, perpendicular, ແລະ normal vectors, ພວກເຮົາ. ທໍາອິດຈໍາເປັນຕ້ອງເຂົ້າໃຈຄໍານິຍາມຂອງ perpendicular, orthogonal ແລະປົກກະຕິ. ໃນສັ້ນ, ຄໍາສັບທາງຄະນິດສາດເຫຼົ່ານີ້ແມ່ນຄືກັນ, ແຕ່ມີຄວາມແຕກຕ່າງເລັກນ້ອຍໃນການນໍາໃຊ້ສະຖານະການ.

ຂ້ອຍໄດ້ລວມເອົາຕາຕະລາງຂ້າງລຸ່ມນີ້ເພື່ອໃຫ້ເຈົ້າຮູ້ຈັກກັບຈໍານວນ vector ແລະ scalar.

vectors ແມ່ນຫຍັງ?

ເບິ່ງວິດີໂອທີ່ເຮັດໄດ້ດີນີ້ອະທິບາຍ vectors:

vectors ແມ່ນຫຍັງ?

ຄວາມແຕກຕ່າງລະຫວ່າງແນວຕັ້ງ, ມຸມສາກ, ແລະປົກກະຕິແມ່ນຫຍັງ?

ຄຳຕອບທີ່ຊື່ສັດທີ່ສຸດແມ່ນ “ບໍ່ມີຫຍັງ”. ມີສະຖານະການທີ່ຫນຶ່ງມີແນວໂນ້ມທີ່ຈະໃຊ້ຫຼາຍກ່ວາອີກ, ແຕ່ປົກກະຕິແລ້ວພວກມັນສາມາດແລກປ່ຽນກັນໄດ້ໂດຍການສູນເສຍຄວາມຊັດເຈນເລັກນ້ອຍ, ໂດຍທົ່ວໄປແລ້ວ, ສະພາບການທີ່ອ້ອມຮອບແຕ່ລະຄໍາ, ຈົ່ງຈື່ໄວ້ວ່ານີ້ແມ່ນມີຄວາມຍືດຫຍຸ່ນທີ່ສຸດ: <3

Perpendicular ແມ່ນຄວາມສຳພັນລະຫວ່າງວັດຖຸ “ເສັ້ນຄ້າຍ” (ເສັ້ນ, ray, ເສັ້ນ) ໃນເລຂາຄະນິດຄລາສສິກ, ເຊິ່ງພໍໃຈເມື່ອມຸມໃດນຶ່ງຢູ່ຈຸດຕັດກັນແມ່ນ 90 ອົງສາ (ຫຼື. π/2π/2 ເຣດຽນ, ຫຼືໜຶ່ງສ່ວນສີ່ຂອງວົງມົນ, ແລະອື່ນໆ). ຫຼັງຈາກການປ່ຽນຈຸດຕັດກັນຂອງເສັ້ນທີ່ມັກເປັນຄູ່ຂອງ vectors, perpendicularity ແມ່ນ orthogonality ໃນ Euclidean space (ປະສົມປະສານກັບຜະລິດຕະພັນຈຸດປົກກະຕິ), ບາງຄັ້ງໂດຍສະເພາະຍົນ.

ປົກກະຕິ ເປັນປະເພດ. ຂອງ vector ເທິງ manifold (ຕົວຢ່າງ, ດ້ານຫນຶ່ງ) encapsulated ໃນ hyperdimensional (vector) orthogonal ຊ່ອງກັບຊ່ອງ tangent ໃນຈຸດນັ້ນ, ມັນຍັງເປັນຊື່ຂອງອະນຸພັນຂອງ vector tangent ຂອງເສັ້ນໂຄ້ງ parameterized, ບ່ອນທີ່ binormal ແມ່ນ."ປົກກະຕິ" (ໃນຄວາມຫມາຍປົກກະຕິ) vector ກັບຍົນທີ່ສ້າງຂຶ້ນໂດຍ tangent ແລະປົກກະຕິ. ບາງສິ່ງບາງຢ່າງທີ່ຕ້ອງກວດເບິ່ງແມ່ນວ່າປົກກະຕິສາມາດອ້າງອີງເຖິງ vector ຄວາມຍາວຂອງຫນ່ວຍໄດ້ເຊັ່ນດຽວກັນ, ເຊັ່ນໃນ orthonormal.

ດັ່ງນັ້ນ, ບໍ່ມີຄວາມແຕກຕ່າງທີ່ແທ້ຈິງ, ແຕ່ "perpendicular" ມັກຈະຖືກນໍາໃຊ້ສໍາລັບສອງມິຕິ. , "ປົກກະຕິ" ສໍາລັບສາມ, ແລະ "orthogonal" ສໍາລັບໃນເວລາທີ່ເລຂາຄະນິດໄດ້ຖືກປະຖິ້ມໄວ້ຢ່າງສົມບູນ (ດັ່ງນັ້ນທ່ານສາມາດສົນທະນາກ່ຽວກັບຫນ້າທີ່ orthogonal).

ໃນປັດຈຸບັນທີ່ພວກເຮົາໄດ້ລົບລ້າງແນວຄວາມຄິດຂອງພວກເຮົາ, ໃຫ້ພວກເຮົາເບິ່ງວ່າຄໍາສັບເຫຼົ່ານີ້ແຕກຕ່າງກັນແນວໃດເມື່ອນໍາໃຊ້. ກັບ vectors geometrical.

ເປັນ vector ປົກກະຕິຄືກັນກັບຮູບສາມຫລ່ຽມ?

ໃນເຈ້ຍ, ພວກມັນເບິ່ງຄືວ່າມີຄຳນິຍາມອັນດຽວກັນ, ແຕ່ໃນທາງທິດສະດີ, ພວກມັນມີຄຳນິຍາມທີ່ແຕກຕ່າງກັນຢ່າງຈະແຈ້ງ. ສອງ vectors ຕັ້ງຂວາງແມ່ນ orthogonal ແລະຫນຶ່ງແມ່ນປົກກະຕິກັບ vector, ແຕ່ສູນ vector ແມ່ນບໍ່ປົກກະຕິສໍາລັບ vector ໃດໃນຂະນະທີ່ມັນເປັນ orthogonal ກັບທຸກໆ vector.

ໂດຍທົ່ວໄປ, a "ປົກກະຕິ" ແມ່ນຄຳອະທິບາຍທາງເລຂາຄະນິດຂອງເສັ້ນ 90 ອົງສາ, ໃນຂະນະທີ່ “ມຸມສາກ” ຖືກເລືອກໃຊ້ເປັນທາງຄະນິດສາດ.

ແນວໃດກໍ່ຕາມໃນເວລາດຽວກັນ, ພວກມັນທັງໝົດໝາຍເຖິງ ໃນມຸມຂວາ, ແລະມັນເປັນເລື່ອງທີ່ຫນ້າອັບອາຍທີ່ມີຫຼາຍຄໍາທີ່ແຕກຕ່າງກັນສໍາລັບແນວຄວາມຄິດອັນດຽວ. ປະຊາຊົນຍັງເວົ້າວ່າ vector ຫນຶ່ງແມ່ນປົກກະຕິກັບອີກ vector, ແລະວ່າຂ້ອນຂ້າງຫຼາຍຫມາຍຄວາມວ່າຄືກັນສິ່ງ.

ທ່ານສາມາດເວົ້າວ່າຊຸດຂອງ vectors ຢູ່ 90 ອົງສາ ຫຼື ມຸມຂວາຫາກັນ, ມັນອາດຈະເປັນຮູບສີ່ຫຼ່ຽມ ຫຼື ຄູ່, ເຊິ່ງກັນ ແລະ ກັນ ຫຼື ຈັບຄູ່, ຫຼື ປົກກະຕິເຊິ່ງກັນແລະກັນ, ແລະນັ້ນຫມາຍຄວາມວ່າຄືກັນ. ສິ່ງ.

ທ່ານສາມາດເວົ້າວ່າ vector ຢູ່ໃນມຸມຂວາກັບເສັ້ນໂຄ້ງຫຼືຫນ້າດິນ, orthogonal ກັບມັນ, perpendicular ກັບມັນ, ຫຼືປົກກະຕິກັບມັນ, ແລະທັງຫມົດເຫຼົ່ານັ້ນຫມາຍຄວາມວ່າຄືກັນ. ແນວໃດກໍ່ຕາມເມື່ອເວົ້າເຖິງເສັ້ນໂຄ້ງ ແລະພື້ນຜິວ, ຄຳສັບທີ່ເໝາະສົມກວ່າແມ່ນ “ປົກກະຕິ”

ຜູ້ຄົນໃຊ້ມັນແລກປ່ຽນກັນໄດ້ເມື່ອຈັດການກັບ vectors ກົງສອງອັນ, ແຕ່ຂ້ອຍໄດ້ເຫັນການນຳໃຊ້ສະເພາະເມື່ອຈັດການກັບເສັ້ນໂຄ້ງ ຫຼືໜ້າດິນ. ລອງເບິ່ງຮູບຂ້າງລຸ່ມນີ້ເພື່ອການເບິ່ງເຫັນ.

ພວກມັນທັງໝົດຫມາຍເຖິງມຸມເກົ້າສິບອົງສາ. ຢ່າງໃດກໍຕາມ, cardinality ຂອງຊຸດຂອງມຸມຂວາໂດຍທົ່ວໄປຈະແຍກການນໍາໃຊ້. 'ຕັ້ງສາກ' ມັກຈະຖືກໃຊ້ໃນເວລາທີ່ເວົ້າກ່ຽວກັບສອງ vectors.

ຄຳສັບ 'ມຸມສາກ' ຖືກໃຊ້ເລື້ອຍໆເພື່ອພັນລະນາ vector ທີ່ຢູ່ມຸມເກົ້າສິບອົງສາຫາຢ່າງໜ້ອຍ 2 vectors ແຍກຕ່າງຫາກ, ແຕ່ບໍ່ຈໍາເປັນຫຼາຍ (ໃນຄໍາສັບຕ່າງໆອື່ນໆ, ມັນເປັນຄວາມເປັນໄປໄດ້ແຕ່ພຽງແຕ່ກັບ vectors. ຈຸດທີ່ຈຳນວນ vectors ຖືກນັບ). 0>ຮູບນີ້ຄວນຊ່ວຍໃຫ້ທ່ານເຫັນຄວາມແຕກຕ່າງທີ່ ສຳ ຄັນ.

ຮູບຊົງ, ປົກກະຕິ, ແລະຕັ້ງຊັນໃນກໍລະນີທີ່ແຕກຕ່າງກັນຂອງ vectors.

ແມ່ນOrthogonal Mean Perpendicular?

ຮູບຊົງທາງຂວາງ ແລະ ລວງຕັ້ງ ແຕກຕ່າງຈາກຄຸນສົມບັດຂອງການຕັ້ງສາກ ( ຄວາມຕັ້ງຂວາງ ). ມັນເປັນຄວາມສໍາພັນລະຫວ່າງສອງເສັ້ນທີ່ພົບກັນຢູ່ທີ່ 90 ອົງສາຫຼືມຸມຂວາ.

ຄຸນສົມບັດດັ່ງກ່າວຖືກກ່າວເຖິງວ່າຂະຫຍາຍໄປສູ່ວັດຖຸເລຂາຄະນິດທີ່ກ່ຽວຂ້ອງອື່ນໆ. ໃນຂະນະທີ່ orthogonal ແມ່ນຄວາມສໍາພັນຂອງສອງເສັ້ນຢູ່ໃນມຸມຂວາ.

Orthogonal ຫມາຍເຖິງການພົວພັນກັບຫຼືກ່ຽວຂ້ອງກັບເສັ້ນຕັ້ງຂວາງຫຼືເປັນມຸມຂວາ, ອີກຄໍາສັບຫນຶ່ງສໍາລັບນີ້ແມ່ນ orthographic.

ເມື່ອເສັ້ນແມ່ນ ຕັ້ງສາກ, ພວກມັນຕັດກັນເປັນມຸມຂວາ. ຕົວຢ່າງ, ມຸມຂອງສີ່ຫຼ່ຽມ ແລະສີ່ຫຼ່ຽມຈະຕຸລັດເປັນມຸມຂວາທັງໝົດ.

ເປັນ Zero Vector Orthogonal ກັບທຸກໆ vector?

ຖ້າ​ຜົນ​ຜະ​ລິດ​ຕະ​ພັນ​ລະ​ຫວ່າງ 2 vectors ເປັນ 0, ຫຼັງ​ຈາກ​ນັ້ນ​ພວກ​ເຂົາ​ເຈົ້າ​ຈະ​ຖືກ​ພິ​ຈາ​ລະ​ນາ orthogonal ກັບ​ກັນ​, ດັ່ງ​ນັ້ນ x,y ∈ X ໃນ (X,) ແມ່ນ orthogonal if = 0, ດຽວນີ້ຖ້າ x ແລະ y ໃນ (X,) ເປັນຮູບຊົງທາງຂວາງ ແລ້ວມັນໝາຍຄວາມວ່າຜົນຄູນຂອງ x ຈະເປັນຮູບຊົງກັບ y .

ເບິ່ງຕົວຢ່າງທີ່ເຮັດວຽກໄດ້.

1. x,y>=k< x,y >=k0= 0
2. ດຽວນີ້ເອົາ k=0
3. ຈາກນັ້ນ< 0 ,y>=0
4. ເຊິ່ງໝາຍຄວາມວ່າສູນ vector ເປັນຮູບປະທັບຕາກັບທຸກ vector ອື່ນໆ.

ອີກວິທີໜຶ່ງທີ່ຈະພິຈາລະນາຕຳແໜ່ງຂອງສູນ vector ກັບ a. vector ປົກກະຕິແມ່ນ:

1. ພິຈາລະນາສອງ vectors A ແລະ B ເຮັດໜ້າທີ່ມຸມθ.θ.
2. ສົມມຸດ A×B=0A×B=0
3. ABsinθn=0ABsinθn=0(n ແມ່ນຫົວໜ່ວຍ vector.)
4. A=0A=0 ຫຼື B=0B=0 ຫຼື sinθ=0sinθ=0
5. A=0A=0 ຫຼື B=0B =0 ຫຼື θ=0,πθ=0,π
6. A=0A=0 ຫຼື B=0B=0 ຫຼື A & B ແມ່ນຂະໜານ.
7. ສົມມຸດ A.B=0A.B=0
8. ABcosθ=0ABcosθ=0
9. A=0A=0 ຫຼື B=0B=0 ຫຼື cosθ=0cosθ=0
10. A=0A=0 ຫຼື B=0B=0 ຫຼື θ=π2θ =π2
11. A=0A=0 ຫຼື B=0B=0 ຫຼື A & B ແມ່ນຕັ້ງຂວາງ.
12. ຕອນນີ້ພວກເຮົາສ້າງສະຖານະການດັ່ງນີ້:
13. ສົມມຸດ A×B=0A×B=0 ແລະ A.B=0A.B=0
14. ອັນນີ້ເປັນໄປໄດ້ພຽງແຕ່ຖ້າ A=0A=0 ຫຼື B=0B=0
15. ຢູ່ນີ້ພວກເຮົາເຫັນ ວ່າທັງສອງເງື່ອນໄຂສາມາດເປັນຄວາມຈິງໄດ້ພຽງແຕ່ຖ້າຫນຶ່ງໃນ vectors ເປັນສູນ.
16. ສົມມຸດ B=0B=0
17. ຈາກເງື່ອນໄຂທໍາອິດ, ພວກເຮົາອາດຈະສົມມຸດວ່າ O ແມ່ນຂະໜານກັບ A.
18. ຈາກເງື່ອນໄຂທີສອງ, ພວກເຮົາອາດຈະສົມມຸດວ່າ O ແມ່ນຕັ້ງສາກກັບ A.

ສະນັ້ນ, null vector(ສູນ vector) ມີທິດທາງ arbitrary. ມັນອາດຈະຂະໜານ ຫຼື ຕັ້ງສາກ ຫຼື ຢູ່ມຸມອື່ນກັບ vector ໃດກໍໄດ້.

ສະຫຼຸບ

ນີ້ແມ່ນລາຍລະອຽດຫຼັກຈາກບົດຄວາມນີ້:

• vector ແມ່ນປະລິມານທາງກາຍະພາບໃດນຶ່ງທີ່ມີຂະໜາດ ແລະທິດທາງ
• ຮູບຊົງ, ປົກກະຕິ, ແລະຕັ້ງສາກແມ່ນຄຳສັບເພື່ອພັນລະນາເຖິງວັດຖຸໃດໜຶ່ງທີ່ຢູ່ທີ່ 90 ອົງສາໃນເລື່ອງຂອງວັດຖຸອື່ນ. ດັ່ງນັ້ນ, ມີພຽງແຕ່ຄວາມແຕກຕ່າງດ້ານວິຊາການຈໍານວນຫນ້ອຍລະຫວ່າງເມື່ອນຳໃຊ້ກັບ vectors.
• ພວກມັນທັງໝົດໝາຍເຖິງມຸມເກົ້າສິບອົງສາ. ຢ່າງໃດກໍຕາມ, cardinality ຂອງຊຸດຂອງມຸມຂວາໂດຍທົ່ວໄປຈະແຍກການນໍາໃຊ້. 'ຕັ້ງສາກ' ມັກຈະຖືກໃຊ້ໃນເວລາທີ່ເວົ້າກ່ຽວກັບສອງ vectors.
• ຄຳສັບ 'ມຸມສາກ' ຖືກໃຊ້ເລື້ອຍໆເພື່ອພັນລະນາ vector ທີ່ຢູ່ມຸມເກົ້າສິບອົງສາຫາຢ່າງໜ້ອຍ 2 vectors ແຍກຕ່າງຫາກ, ແຕ່ບໍ່ຈໍາເປັນຫຼາຍ (ໃນຄໍາສັບຕ່າງໆອື່ນໆ, ມັນເປັນຄວາມເປັນໄປໄດ້ແຕ່ພຽງແຕ່ກັບ vectors. ຈຸດທີ່ vectors ແມ່ນ enumerated).
• 'Normal' ຖືກໃຊ້ເມື່ອຈຳນວນ vectors ທີ່ຢູ່ມຸມຂວາເປັນຊຸດທີ່ນັບບໍ່ໄດ້, ເຊັ່ນ: ຍົນທັງໝົດ.
• ໃນພາສາປະຈຳວັນ, ພວກມັນເກືອບຄືກັນ.<21

ຂ້ອຍຫວັງວ່າບົດຄວາມນີ້ຊ່ວຍໃຫ້ທ່ານເຂົ້າໃຈຄວາມແຕກຕ່າງລະຫວ່າງ Orthogonal, Normal, ແລະ Perpendicular ເມື່ອຈັດການກັບ vectors.

ແມ່ນຫຍັງຄືຄວາມແຕກຕ່າງລະຫວ່າງ ACTIVE ແລະ A REACTIVE FORCE? (ກົງກັນຂ້າມ)

ຄວາມແຕກຕ່າງລະຫວ່າງ vector ແລະ tensors ແມ່ນຫຍັງ? (ອະທິບາຍ)

ຄວາມແຕກຕ່າງລະຫວ່າງສົມຜົນ ແລະໜ້າທີ່-1