虽然理解向量的定义和基础知识对任何人来说都是不难的，特别是在欧几里得几何（二维几何）中，但当我们进入三维向量和非线性（弯曲）向量时，事情就变得混乱了。

尽管矢量在数学上很简单，而且在物理学上极为有用，但它们并没有以现代形式发展起来。 直到19世纪末，当 Josiah 威拉德-吉布斯和 Oliver Heaviside (美国和英国的）各自应用矢量分析，以帮助表达新的规律。 电磁学 .

电磁学的提出者是 James Clerk 麦克斯韦。 这相当令人惊讶，因为这大约是我们开始发现亚原子粒子和发展现代原子概念的同一时期。

简而言之： 正交、法线和垂直是描述一个物体相对于另一个物体呈90度的术语。 因此，在应用于矢量时，它们之间只有一些技术上的差异。 简而言之，它们相似但不相同。

请加入我，我将彻底解释这些数学术语之间的细微差别。

什么是矢量？

矢量通常用一个箭头表示，其方向与数量相同，长度与数量的振幅成正比。 它是一个既有大小又有方向的数量。

虽然一个 向量 如果原矢量的长度没有改变，那么矢量本身也没有改变，如果它被移到与原来的位置平行的位置上。

与此相反，有振幅但没有方向的普通量被称为标量。 例如，速度、加速度和位移是矢量，而速度、时间和质量是标量的值。

因此，简而言之、 任何有大小和方向的可量化的量都是一个矢量。 并可以用几何学来说明。

多个向量可以彼此相加、相减、相乘，其方向和大小都是如此。

现在，在谈到正交、垂直和法向量之前，我们首先需要了解垂直、正交和法向量的定义。 简而言之，这些数学术语是相同的，但在情景用法上却有细微差别。

我在下面附上一个表格，让你熟悉一些矢量和标量。

什么是矢量？

看看这个精心制作的描述矢量的视频吧：

什么是矢量？

垂直、正交和法线之间有什么区别？

最诚实的回答是 "没有"。 在有些情况下，一个比另一个更有可能被使用，但它们通常可以互换，而不会有什么损失，这就是在一般情况下，围绕每个术语的上下文，请记住，这是非常灵活的：

垂直的 是经典几何学中 "类线 "对象（线、射线、线段）之间的关系，当它们的交点的任何角度为90度（或π/2π/2弧度，或圆的四分之一，等等）时，就满足这个关系。

正交 当双线性形式消失时，向量之间的相互作用得到满足。 在将线状物的交点转换为一对向量后，垂直性是欧几里得空间中的正交性（与通常的点积结合），有时具体是指平面。

正常 是流形（例如曲面）上的一种矢量，封装在与该点的切线空间正交的超维（矢量）空间中。 它也是参数化曲线的切线矢量的导数的名称，其中法线是切线和法线形成的平面的 "法线"（通常意义上的）矢量。 需要注意的是，法线往往可以指一个单位长度的向量也是如此，例如在正交中。

因此，没有真正的区别，但 "垂直 "通常用于二维，"法线 "用于三维，而 "正交 "则用于完全放弃几何学时（因此你可以谈及正交函数）。

现在我们已经理清了概念，让我们看看这些术语在应用于几何向量时有何不同。

法向量与正向量一样吗？

在纸上、 两个垂直的向量是正交的，一个是另一个的法线，但零向量对任何向量都不是法线，而对每个向量都是正交的。

一般来说、 a "法线 "是对90度线的几何描述，而 "正交 "则被选择性地用作数学描述。

然而，在同一时间，它们都意味着 呈直角、 很遗憾，一个概念有这么多不同的词。

你可以说两个向量相互成直角，或正交，或垂直，都是同样的意思。 人们还说一个向量对另一个向量是法线，这几乎是同样的意思。

你可以说一组向量彼此成90度或直角，它可能是相互或成对的正交，相互或成对的垂直，或彼此的法线，这意味着同样的事情。

你可以说一个矢量与曲线或曲面成直角，与它正交，与它垂直，或与它法线，这些都是同样的意思。 但是当谈论曲线和曲面时，更合适的术语是 "法线"

人们在处理两个直向量时可以互换使用，但我看到在处理曲线或曲面时的特殊用法。 请看下面的图片，以获得可视化的效果。

它们都意味着存在一个九十度的角。 然而，直角的集合的cardinality通常是隔离使用的。"垂直 "经常在谈到两个向量时使用。

术语 "正交 "经常被用来描述一个与至少2个单独的向量成九十度角的向量，但不一定是很多（换句话说，它是一种可能性，但只到列举向量的地方）。

当成直角的向量的数量形成一个不可计数的集合，即整个平面时，就使用'法线'。 .

这张图片应该有助于你直观地了解关键的差异。

在向量的不同情况下，正交，法线，和垂直。

正交是指垂直吗？

正交和垂直与垂直的属性不同( 垂直度 ).它是两条相交于90度或直角的直线之间的关系。

该属性被说成是延伸到其他相关的几何对象。 而正交是两条直线成直角的关系。

正交是指与垂直的线或形成直角的线有关或涉及这些线，另一个术语是正交。

当线路是 垂直，它们相交于一个直角。 例如，长方形和正方形的角都是直角。

零矢量是否与每个矢量正交？

如果两个向量之间的乘积为0，那么它们被认为是相互正交的，所以在(X,)中的x,y∈X是正交的，如果(X,)中的x和y是正交的，那么它意味着x的任何标量倍数也是对y的正交。 .

请看一个工作实例。

1. x,y>=k<； x,y >=k0=0
2. 现在取k=0
3. 然后<； 0 ,y>=0
4. 这意味着零矢量与其他每个矢量都是正交的。

另一种去考虑零矢量相对于法向量的位置的方法是：

1. 考虑任何两个向量 A 和 B 作用角度为θ.θ。
2. 假设A×B=0A×B=0
3. ABsinθn=0ABsinθn=0（n为单位向量。）
4. A=0A=0或B=0B=0或sinθ=0sinθ=0
5. A=0A=0或B=0B=0或θ=0，πθ=0，π
6. A=0A=0或B=0B=0或 A & B 是平行的。
7. 假设A.B=0A.B=0
8. ABcosθ=0ABcosθ=0
9. A=0A=0或B=0B=0或cosθ=0cosθ=0
10. A=0A=0或B=0B=0或θ=π2θ=π2
11. A=0A=0或B=0B=0或 A & B 是垂直的。
12. 现在我们创造一个如下的情况：
13. 假设A×B=0A×B=0，A.B=0A.B=0
14. 只有在A=0A=0或B=0B=0的情况下才有可能。
15. 这里我们看到，只有当其中一个向量为零时，这两个条件才可能为真。
16. 假设B=0B=0
17. 从第一个条件，我们可以推断出 O 平行于 A.
18. 从第二个条件，我们可以推断出 O 是垂直于 A.

所以，空矢量（零矢量）有一个任意的方向。 它可以平行或垂直，或与任何矢量成任何其他角度。

总结

以下是这篇文章的关键细节：

• 矢量是有大小和方向的任何物理量
• 正交、法线和垂直是描述一个物体相对于另一个物体呈90度的术语。 因此，在应用于向量时，它们之间只有一些技术上的区别。
• 它们都意味着存在一个九十度的角。 然而，直角的集合的cardinality通常是隔离使用的。"垂直 "经常在谈到两个向量时使用。
• 术语 "正交 "经常被用来描述一个与至少2个单独的向量成九十度角的向量，但不一定是很多（换句话说，它是一种可能性，但只到列举向量的地方）。
• 当呈直角的向量的数量形成一个不可计数的集合，即整个平面时，就使用'法线'。
• 在日常语言中，它们几乎是一样的。

我希望这篇文章能帮助你在处理向量时更好地理解正交、法线和垂直的区别。

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