بردارها، موضوعی که برخی افراد آن را آسان می‌دانند، در حالی که برخی آن را نسبتاً چالش برانگیز می‌دانند، در حالی که درک تعریف و مبانی بردارها برای هر کسی بی‌معنی است، به خصوص در هندسه اقلیدسی (هندسه دو بعدی)، وقتی به بردارهای سه بعدی و بردارهای غیرخطی (منحنی) می رویم گیج کننده است.

اگرچه بردارها از نظر ریاضی ساده هستند و در فیزیک بسیار مفید هستند، اما به شکل مدرن خود توسعه نیافته اند. تا اواخر قرن نوزدهم، زمانی که جوشیا ویلارد گیبز و الیور هیوساید (به ترتیب از ایالات متحده و انگلستان) هرکدام از تجزیه و تحلیل برداری استفاده کردند تا به بیان قوانین جدید الکترومغناطیس .

الکترومغناطیس توسط جیمز کلرک ماکسول پیشنهاد شده است. این کاملاً شگفت‌انگیز است، زیرا تقریباً در همان زمانی بود که ما شروع به کشف ذرات زیر اتمی و توسعه ایده اتم امروزی کردیم.

به طور خلاصه: متعامد، عادی و عمود بر هم هستند. اصطلاحات برای توصیف یک شی که در 90 درجه نسبت به جسم دیگر قرار دارد. بنابراین تنها چند تفاوت فنی بین آنها هنگام اعمال بردارها وجود دارد. به طور خلاصه، آنها مشابه هستند اما یکسان نیستند.

به من بپیوندید تا تفاوت های جزئی بین این اصطلاحات ریاضی را به طور کامل توضیح دهم.

بردار چیست؟

بردار معمولاً با یک فلش با همان جهت نشان داده می شودکمیت و طول متناسب با دامنه کمیت. این کمیتی است که هم قدر و هم جهت دارد.

اگرچه بردار قدر و جهت دارد، اما موقعیتی ندارد. با توجه به اینکه طول بردار اصلی تغییر نمی کند، خود یک بردار نیز اگر به موازات موقعیت اصلی خود جابجا شود تغییر نمی کند

برعکس، کمیت های معمولی که دامنه دارند اما جهت ندارند، اسکالر نامیده می شوند. . برای مثال، سرعت، شتاب و جابجایی کمیت های برداری هستند، در حالی که سرعت، زمان و جرم مقادیر اسکالرها هستند.

بنابراین به طور خلاصه، هر کمیت قابل اندازه گیری با اندازه و جهت یک بردار است. مقدار و می توان با استفاده از هندسه نشان داد.

بردارهای چندگانه را می توان با توجه به جهت و بزرگی آنها به بردارها اضافه، کم و با یکدیگر ضرب کرد.

اکنون، قبل از حرکت به سمت بردارهای متعامد، عمود بر و عادی، ما ابتدا باید تعریف عمود، متعامد و نرمال را درک کنید. به طور خلاصه، این اصطلاحات ریاضی یکسان هستند، اما تفاوت های جزئی در کاربرد موقعیتی دارند.

من جدولی را در زیر آورده ام تا شما را با برخی از کمیت های برداری و اسکالر آشنا کنم.

بردارها چیست؟

به این ویدیوی خوش ساخت که وکتورها را توصیف می کند نگاهی بیندازید:

بردارها چیست؟

تفاوت بین عمود، متعامد و نرمال چیست؟

صادقانه ترین پاسخ "هیچ" است. موقعیت‌هایی وجود دارد که یکی از آنها بیشتر از دیگری استفاده می‌شود، اما معمولاً می‌توان آن‌ها را با کمی از دست دادن وضوح جایگزین کرد، یعنی به طور کلی، زمینه‌ای که هر اصطلاح را احاطه می‌کند، به خاطر داشته باشید که این بسیار انعطاف‌پذیر است:

عمود رابطه ای است بین اجسام "خط مانند" (خط، پرتو، پاره خط) در هندسه کلاسیک، که زمانی برآورده می شود که هر زاویه ای در تقاطع آنها 90 درجه باشد (یا π/2π/2 رادیان، یا یک چهارم دایره، و غیره).

متعامد برهمکنشی بین بردارها است که وقتی شکل دوخطی ناپدید می شود، برآورده می شود. پس از تبدیل یک تقاطع خطوط مانند به یک جفت بردار، عمودگرایی عبارت است از متعامد بودن در فضای اقلیدسی (ادغام شده با حاصلضرب نقطه ای معمول)، گاهی اوقات به طور خاص یک صفحه.

نرمال نوعی است. بردار بر روی یک منیفولد (مثلاً یک سطح) محصور در یک فضای ابربعدی (بردار) متعامد به فضای مماس در آن نقطه، همچنین نام مشتق بردار مماس منحنی پارامتری است که در آن دونرمال برابر است بابردار "نرمال" (به معنای معمول) به صفحه ای که توسط مماس و نرمال تشکیل شده است. چیزی که باید بررسی شود این است که نرمال اغلب می تواند به یک بردار طول واحد نیز اشاره داشته باشد، مثلاً در متعامد.

در نتیجه، هیچ تمایز واقعی وجود ندارد، اما "عمود" اغلب برای دو بعد استفاده می شود. ، "نرمال" برای سه، و "متعامد" برای زمانی که هندسه به طور کامل رها شده است (بنابراین می توانید در مورد توابع متعامد صحبت کنید).

اکنون که مفاهیم خود را پاک کردیم، بیایید ببینیم این اصطلاحات در هنگام اعمال چه تفاوتی دارند. به بردارهای هندسی.

آیا بردار معمولی همان بردار متعامد است؟

بر روی کاغذ، به نظر می‌رسد که آنها تعریف یکسانی دارند، اما از لحاظ نظری، آنها تعاریف کاملاً متفاوتی دارند. دو بردار عمود بر هم متعامد هستند و یکی با دیگری عادی است، اما بردار صفر برای هیچ بردار نرمال نیست در حالی که برای هر بردار متعامد است.

به طور کلی، "نرمال" یک توصیف هندسی از یک خط 90 درجه است، در حالی که "متعامد" به طور انتخابی به عنوان یک خط ریاضی استفاده می شود> و شرم آور است که کلمات مختلف زیادی برای یک مفهوم وجود دارد.

شما می توانید بگویید که دو بردار در زوایای قائم با یکدیگر قرار دارند، متعامد یا عمود بر هم هستند، و همه آنها به یک معنا هستند. مردم همچنین می گویند که یک بردار برای دیگری عادی است و این تقریباً به همین معنی استچیزی است.

شما می توانید بگویید مجموعه ای از بردارها در 90 درجه یا زاویه قائمه با یکدیگر هستند، ممکن است متعامد یا دو به دو متعامد، متقابل یا دو به دو عمود بر یکدیگر یا نرمال باشند، و این به همین معنی است. چیزی.

شما می توانید بگویید که یک بردار در زاویه قائم به یک منحنی یا سطح، متعامد با آن، عمود بر آن، یا عادی بر آن است، و همه آنها به یک معنا هستند. با این حال، هنگامی که در مورد منحنی ها و سطوح صحبت می شود، اصطلاح مناسب تر "عادی" است

مردم هنگام برخورد با دو بردار مستقیم از آن به جای یکدیگر استفاده می کنند، اما من کاربردهای خاصی را هنگام برخورد با منحنی ها یا سطوح دیده ام. برای تجسم به تصویر زیر نگاهی بیندازید.

همه آنها به معنای وجود زاویه نود درجه هستند. با این حال، اصلی بودن مجموعه زوایای قائم به طور کلی استفاده را از هم جدا می کند. "عمود" اغلب در مورد دو بردار استفاده می شود.

اصطلاح "متعامد" اغلب برای توصیف برداری استفاده می شود که در زاویه نود درجه نسبت به حداقل 2 بردار جداگانه قرار دارد، اما لزوماً تعداد زیادی نیست (به عبارت دیگر، این یک امکان است اما فقط برای نقطه ای که بردارها در آن شمارش می شوند).

«معمولی» زمانی استفاده می شود که تعداد بردارهایی که در زاویه قائمه قرار دارند مجموعه ای غیرقابل شمارش، یعنی یک صفحه کامل را تشکیل دهند .

این تصویر باید به شما در تجسم تفاوت‌های کلیدی کمک کند.

متعامد، عادی و عمود بردارها در حالات مختلف بردارها.

میانگین متعامد عمود؟

متعامد و عمود با خاصیت عمود بودن تفاوت دارند ( عمود ). این رابطه بین دو خط است که در 90 درجه یا زاویه راست به هم می رسند.

گفته می شود که این ویژگی به سایر اشیاء هندسی مرتبط گسترش می یابد. در حالی که متعامد رابطه دو خط در زاویه قائم است.

متعامد به معنای مربوط به یا شامل خطوطی است که عمود هستند یا زوایای قائم را تشکیل می دهند، اصطلاح دیگری برای این امر قائم است.

وقتی خطوط عمود هستند، در یک زاویه قائمه همدیگر را قطع می کنند. برای مثال، گوشه های مستطیل ها و مربع ها همه زوایای قائمه هستند.

آیا بردار صفر متعامد به هر بردار است؟

اگر حاصل ضرب بین 2 بردار 0 باشد، آنگاه آنها متعامد با یکدیگر در نظر گرفته می شوند، بنابراین x,y ∈ X در (X,) متعامد هستند اگر =0، حال اگر x و y در (X,) متعامد هستند پس به این معنی است که هر مضرب اسکالر x نیز متعامد بر y است.

به یک نمونه کار شده نگاهی بیندازید.

1. x,y>=k< x,y >=k0= 0
2. اکنون k=0 را بگیرید
3. سپس< 0 ,y>=0
4. به این معنی که بردار صفر نسبت به هر بردار دیگری متعامد است.

راه دیگری برای در نظر گرفتن موقعیت یک بردار صفر نسبت به یک بردار معمولی این است:

1. هر دو بردار A و B را در نظر بگیرید که در زاویه عمل می کنندθ.θ.
2. فرض کنید A×B=0A×B=0
3. ABsinθn=0ABsinθn=0(n بردار واحد است.)
4. A=0A=0 یا B=0B=0 یا sinθ=0sinθ=0
5. A=0A=0 یا B=0B =0 یا θ=0,πθ=0,π
6. A=0A=0 یا B=0B=0 یا A & B موازی هستند.
7. فرض کنید A.B=0A.B=0
8. ABcosθ=0ABcosθ=0
9. A=0A=0 یا B=0B=0 یا cosθ=0cosθ=0
10. A=0A=0 یا B=0B=0 یا θ=π2θ =π2
11. A=0A=0 یا B=0B=0 یا A & B عمود هستند.
12. حالا وضعیتی را به صورت زیر ایجاد می کنیم:
13. فرض کنید A×B=0A×B=0 و A.B=0A.B=0
14. این فقط در صورتی امکان پذیر است که A=0A=0 یا B=0B=0
15. در اینجا می بینیم که هر دو شرط فقط زمانی می توانند صادق باشند که یکی از بردارها صفر باشد.
16. فرض کنید B=0B=0
17. از شرط اول، ممکن است استنباط کنیم که O با A موازی است.
18. از شرط دوم، ممکن است استنباط کنیم که O بر A عمود است.

بنابراین، بردار تهی (بردار صفر) جهت دلخواه دارد. ممکن است موازی یا عمود بر هر بردار یا در هر زاویه دیگری باشد. 23>

امیدوارم این مقاله به شما کمک کند تا تفاوت بین متعامد، عادی و عمود بردار را بهتر درک کنید.

تفاوت بین ACTIVE و A چیست؟ نیروی واکنشی؟ (تضاد)

تفاوت بین بردارها و تانسورها چیست؟ (توضیح داده شده)

تفاوت بین معادلات و توابع-1