Τα διανύσματα, ένα θέμα που κάποιοι το βρίσκουν εύκολο, ενώ κάποιοι το βρίσκουν μάλλον δύσκολο, Ενώ η κατανόηση του ορισμού και των βασικών στοιχείων των διανυσμάτων είναι κάτι σαν αυτονόητο για τον καθένα, ειδικά στην ευκλείδεια γεωμετρία (δισδιάστατη γεωμετρία), τα πράγματα μπερδεύονται όταν περνάμε στα τρισδιάστατα διανύσματα και στα μη γραμμικά (καμπύλα) διανύσματα.

Παρόλο που τα διανύσματα είναι μαθηματικά απλά και εξαιρετικά χρήσιμα στη φυσική, δεν αναπτύχθηκαν στη σύγχρονη μορφή τους. Μόνο στα τέλη του 19ου αιώνα, όταν Josiah Willard Gibbs και Oliver Heaviside (των Ηνωμένων Πολιτειών και της Αγγλίας, αντίστοιχα) εφαρμόζουν ο καθένας τη διανυσματική ανάλυση προκειμένου να βοηθήσουν στην έκφραση των νέων νόμων της ηλεκτρομαγνητισμός .

Ο ηλεκτρομαγνητισμός προτείνεται από James Clerk Μαξγουελ. Αυτό προκαλεί έκπληξη, καθώς ήταν περίπου την ίδια εποχή που αρχίσαμε να ανακαλύπτουμε τα υποατομικά σωματίδια και να αναπτύσσουμε την ιδέα του σύγχρονου ατόμου.

Εν ολίγοις: Ορθογώνιος, κανονικός και κάθετος είναι όροι που περιγράφουν ένα αντικείμενο που βρίσκεται σε 90 μοίρες σε σχέση με ένα άλλο αντικείμενο. Έτσι, υπάρχουν μόνο λίγες τεχνικές διαφορές μεταξύ τους όταν εφαρμόζονται σε διανύσματα. Με λίγα λόγια, είναι παρόμοιες αλλά όχι ίδιες.

Ελάτε μαζί μου καθώς εξηγώ διεξοδικά τις μικρές διαφορές μεταξύ αυτών των μαθηματικών όρων.

Τι είναι το διάνυσμα;

Το διάνυσμα αναπαρίσταται συνήθως με ένα βέλος με την ίδια κατεύθυνση με την ποσότητα και μήκος ανάλογο με το πλάτος της ποσότητας. Είναι μια ποσότητα που έχει τόσο μέγεθος όσο και κατεύθυνση.

Αν και ένα διάνυσμα έχει μέγεθος και κατεύθυνση, δεν έχει θέση. Με την προϋπόθεση ότι το μήκος του αρχικού διανύσματος δεν μεταβάλλεται, ένα διάνυσμα δεν μεταβάλλεται επίσης αν μετατοπιστεί παράλληλα με την αρχική του θέση

Αντίθετα, τα συνήθη μεγέθη που έχουν πλάτος αλλά όχι κατεύθυνση αναφέρονται ως κλίμακες. Η ταχύτητα, η επιτάχυνση και η μετατόπιση, για παράδειγμα, είναι διανυσματικές ποσότητες, ενώ η ταχύτητα, ο χρόνος και η μάζα είναι τιμές κλιμάκων.

Με λίγα λόγια, κάθε ποσοτικοποιήσιμη ποσότητα με μέγεθος και κατεύθυνση είναι διανυσματική ποσότητα και μπορεί να απεικονιστεί με τη χρήση γεωμετρίας.

Πολλαπλά διανύσματα μπορούν να προστεθούν, να αφαιρεθούν και να πολλαπλασιαστούν μεταξύ τους, όσον αφορά την κατεύθυνση και το μέγεθός τους.

Τώρα, πριν προχωρήσουμε στα ορθογώνια, κάθετα και κανονικά διανύσματα, πρέπει πρώτα να κατανοήσουμε τον ορισμό των όρων κάθετη, ορθογώνια και κανονική. Εν ολίγοις, αυτοί οι μαθηματικοί όροι είναι οι ίδιοι, αλλά έχουν μικρές διαφορές στην καταστατική χρήση.

Έχω συμπεριλάβει έναν πίνακα παρακάτω για να εξοικειωθείτε με ορισμένες διανυσματικές και κλιμακωτές ποσότητες.

Τι είναι τα διανύσματα;

Ρίξτε μια ματιά σε αυτό το καλοφτιαγμένο βίντεο που περιγράφει τα διανύσματα:

Τι είναι τα διανύσματα;

Ποια είναι η διαφορά μεταξύ κάθετου, ορθογωνίου και κανονικού;

Η πιο ειλικρινής απάντηση είναι "τίποτα". Υπάρχουν περιπτώσεις όπου το ένα είναι πιο πιθανό να χρησιμοποιηθεί από το άλλο, αλλά συνήθως μπορούν να εναλλάσσονται με μικρή απώλεια σαφήνειας, δηλαδή σε γενικές γραμμές, το πλαίσιο που περιβάλλει κάθε όρο, να έχετε υπόψη σας ότι αυτό είναι εξαιρετικά ευέλικτο:

Κάθετη είναι μια σχέση μεταξύ "γραμμοειδών" αντικειμένων (γραμμή, ακτίνα, ευθύγραμμο τμήμα) στην κλασική γεωμετρία, η οποία ικανοποιείται όταν οποιαδήποτε γωνία στην τομή τους είναι 90 μοίρες (ή π/2π/2 ακτίνια, ή ένα τέταρτο κύκλου κ.λπ.).

Ορθογώνια είναι μια αλληλεπίδραση μεταξύ διανυσμάτων που ικανοποιείται όταν η διγραμμική μορφή εξαφανίζεται. Μετά τον μετασχηματισμό μιας τομής γραμμοειδών σε ένα ζεύγος διανυσμάτων, η κάθετη είναι η ορθογωνιότητα στον ευκλείδειο χώρο (ενσωματωμένη με το συνηθισμένο γινόμενο τελείας), μερικές φορές συγκεκριμένα σε ένα επίπεδο.

Κανονικό είναι ένα είδος διανύσματος σε μια πολλαπλότητα (π.χ. μια επιφάνεια) που εγκλωβίζεται σε έναν υπερδιάστατο (διανυσματικό) χώρο ορθογώνιο προς τον εφαπτόμενο χώρο στο συγκεκριμένο σημείο Είναι επίσης το όνομα της παραγώγου του εφαπτόμενου διανύσματος μιας παραμετρικής καμπύλης, όπου binormal είναι το "κανονικό" (με τη συνήθη έννοια) διάνυσμα στο επίπεδο που σχηματίζεται από την εφαπτομένη και την κανονική. Κάτι που πρέπει να ελέγξετε είναι ότι η κανονική μπορεί συχνά να αναφέρεται σε έναδιάνυσμα μοναδιαίου μήκους, όπως στο ορθοκανονικό.

Ως αποτέλεσμα, δεν υπάρχει πραγματική διάκριση, αλλά η λέξη "κάθετη" χρησιμοποιείται συχνά για δύο διαστάσεις, η λέξη "κανονική" για τρεις διαστάσεις και η λέξη "ορθογώνια" όταν η γεωμετρία έχει εγκαταλειφθεί εντελώς (ώστε να μιλάμε για ορθογώνιες συναρτήσεις).

Τώρα που ξεκαθαρίσαμε τις έννοιές μας, ας δούμε πώς διαφέρουν αυτές οι ορολογίες όταν εφαρμόζονται σε γεωμετρικά διανύσματα.

Είναι ένα κανονικό διάνυσμα το ίδιο με ένα ορθογώνιο;

Στα χαρτιά, φαίνεται να έχουν τον ίδιο ορισμό, αλλά θεωρητικά, έχουν σαφώς διαφορετικούς ορισμούς. Δύο κάθετα διανύσματα είναι ορθογώνια και το ένα είναι κάθετο στο άλλο, αλλά το μηδενικό διάνυσμα δεν είναι κάθετο σε κανένα διάνυσμα, ενώ είναι ορθογώνιο σε κάθε διάνυσμα.

Σε γενικές γραμμές, ο "κανονικός" είναι μια γεωμετρική περιγραφή μιας γραμμής 90 μοιρών, ενώ ο "ορθογώνιος" χρησιμοποιείται επιλεκτικά ως μαθηματικός όρος.

Ωστόσο, την ίδια στιγμή, όλα αυτά σημαίνουν σε ορθή γωνία, και είναι κρίμα που υπάρχουν τόσες πολλές διαφορετικές λέξεις για μια έννοια.

Μπορείτε να πείτε ότι δύο διανύσματα είναι κάθετα μεταξύ τους, ορθογώνια ή κάθετα, και όλα αυτά σημαίνουν το ίδιο πράγμα. Οι άνθρωποι λένε επίσης ότι ένα διάνυσμα είναι κανονικό προς ένα άλλο, και αυτό σημαίνει σχεδόν το ίδιο πράγμα.

Μπορείτε να πείτε ότι ένα σύνολο διανυσμάτων βρίσκεται σε 90 μοίρες ή ορθή γωνία μεταξύ τους, μπορεί να είναι αμοιβαία ή ανά ζεύγη ορθογώνια, αμοιβαία ή ανά ζεύγη κάθετα ή κανονικά μεταξύ τους, και αυτό σημαίνει το ίδιο πράγμα.

Μπορείτε να πείτε ότι ένα διάνυσμα είναι κάθετο σε μια καμπύλη ή επιφάνεια, ορθογώνιο σε αυτήν, κάθετο σε αυτήν ή κανονικό σε αυτήν, και όλα αυτά σημαίνουν το ίδιο πράγμα. Ωστόσο, όταν μιλάμε για καμπύλες και επιφάνειες, ο καταλληλότερος όρος είναι "κανονικό".

Οι άνθρωποι το χρησιμοποιούν εναλλακτικά όταν έχουν να κάνουν με δύο ευθύγραμμα διανύσματα, αλλά έχω δει συγκεκριμένες χρήσεις όταν έχουν να κάνουν με καμπύλες ή επιφάνειες. Ρίξτε μια ματιά στην παρακάτω εικόνα για οπτικοποίηση.

Όλες υπονοούν την ύπαρξη γωνίας ενενήντα μοιρών. Ωστόσο, η καρτελικότητα του συνόλου των ορθών γωνιών γενικά διαχωρίζει τη χρήση. Ο όρος "κάθετη" χρησιμοποιείται συχνά όταν μιλάμε για δύο διανύσματα.

Ο όρος "ορθογώνιο" χρησιμοποιείται συχνά για να περιγράψει ένα διάνυσμα που βρίσκεται σε γωνία ενενήντα μοιρών με τουλάχιστον 2 ξεχωριστά διανύσματα, αλλά όχι απαραίτητα πολλά (με άλλα λόγια, είναι μια δυνατότητα αλλά μόνο μέχρι το σημείο όπου τα διανύσματα απαριθμούνται).

Το "κανονικό" χρησιμοποιείται όταν ο αριθμός των διανυσμάτων που βρίσκονται σε ορθή γωνία σχηματίζει ένα μη μετρήσιμο σύνολο, δηλαδή ένα ολόκληρο επίπεδο. .

Αυτή η εικόνα θα σας βοηθήσει να αντιληφθείτε τις βασικές διαφορές.

Ορθογώνιο, Κανονικό και Κάθετο σε διάφορες περιπτώσεις διανυσμάτων.

Ορθογώνια σημαίνει κάθετη;

Οι ορθογώνιες και οι κάθετες διαφέρουν από την ιδιότητα της κάθετης ( Κάθετη ). Είναι η σχέση μεταξύ δύο ευθειών που συναντώνται σε 90 μοίρες ή ορθές γωνίες.

Η ιδιότητα λέγεται ότι επεκτείνεται και σε άλλα συναφή γεωμετρικά αντικείμενα. Ενώ ορθογώνια είναι η σχέση δύο ευθειών σε ορθή γωνία.

Ορθογώνιος σημαίνει ότι σχετίζεται με ή περιλαμβάνει γραμμές που είναι κάθετες ή που σχηματίζουν ορθές γωνίες, ένας άλλος όρος για αυτό είναι ορθογραφικός.

Όταν οι γραμμές είναι κάθετες, τέμνονται σε ορθή γωνία. Για παράδειγμα, οι γωνίες των ορθογωνίων και των τετραγώνων είναι όλες ορθές γωνίες.

Είναι το μηδενικό διάνυσμα ορθογώνιο σε κάθε διάνυσμα;

Αν το γινόμενο μεταξύ 2 διανυσμάτων είναι 0, τότε θεωρούνται ορθογώνια μεταξύ τους, Έτσι τα x,y ∈ X στο (X,) είναι ορθογώνια αν =0, τώρα αν τα x και y στο (X,) είναι ορθογώνια τότε σημαίνει ότι οποιοδήποτε κλιμακωτό πολλαπλάσιο του x είναι επίσης ορθογώνιο στο y .

Ρίξτε μια ματιά σε ένα παράδειγμα εργασίας.

1. x,y>=k<, x,y >=k0=0
2. τώρα πάρτε k=0
3. τότε<, 0 ,y>=0
4. που σημαίνει ότι το μηδενικό διάνυσμα είναι ορθογώνιο προς κάθε άλλο διάνυσμα.

Ένας άλλος τρόπος για να εξετάσουμε τη θέση ενός μηδενικού διανύσματος σε σχέση με ένα κανονικό διάνυσμα είναι:

1. Θεωρήστε δύο οποιαδήποτε διανύσματα A και B που ενεργεί υπό γωνία θ.θ.
2. Ας υποθέσουμε ότι A×B=0A×B=0
3. ABsinθn=0ABsinθn=0(το n είναι μοναδιαίο διάνυσμα.)
4. A=0A=0 ή B=0B=0 ή sinθ=0sinθ=0
5. A=0A=0 ή B=0B=0 ή θ=0,πθ=0,π
6. A=0A=0 ή B=0B=0 ή A & B είναι παράλληλες.
7. Ας υποθέσουμε ότι A.B=0A.B=0
8. ABcosθ=0ABcosθ=0
9. A=0A=0 ή B=0B=0 ή cosθ=0cosθ=0
10. A=0A=0 ή B=0B=0 ή θ=π2θ=π2
11. A=0A=0 ή B=0B=0 ή A & B είναι κάθετες.
12. Τώρα δημιουργούμε μια κατάσταση ως εξής:
13. Ας υποθέσουμε ότι A×B=0A×B=0 και A.B=0A.B=0
14. Αυτό είναι δυνατό μόνο εάν A=0A=0 ή B=0B=0
15. Εδώ βλέπουμε ότι και οι δύο συνθήκες μπορούν να είναι αληθείς μόνο αν ένα από τα διανύσματα είναι μηδέν.
16. Ας υποθέσουμε ότι B=0B=0
17. Από την πρώτη προϋπόθεση, μπορούμε να συμπεράνουμε ότι O είναι παράλληλη με A.
18. Από τη δεύτερη προϋπόθεση, μπορούμε να συμπεράνουμε ότι O είναι κάθετη στο A.

Έτσι, το μηδενικό διάνυσμα (μηδενικό διάνυσμα) έχει αυθαίρετη κατεύθυνση. Μπορεί να είναι παράλληλο ή κάθετο ή σε οποιαδήποτε άλλη γωνία με οποιοδήποτε διάνυσμα.

Συμπέρασμα

Ακολουθούν οι βασικές λεπτομέρειες από αυτό το άρθρο:

• Ένα διάνυσμα είναι κάθε φυσικό μέγεθος με μέγεθος και κατεύθυνση.
• Οι όροι ορθογώνιος, κανονικός και κάθετος είναι όροι για την περιγραφή ενός αντικειμένου που βρίσκεται σε 90 μοίρες σε σχέση με ένα άλλο αντικείμενο. Έτσι, υπάρχουν μόνο λίγες τεχνικές διαφορές μεταξύ τους όταν εφαρμόζονται σε διανύσματα.
• Όλες υπονοούν την ύπαρξη γωνίας ενενήντα μοιρών. Ωστόσο, η καρτελικότητα του συνόλου των ορθών γωνιών γενικά διαχωρίζει τη χρήση. Ο όρος "κάθετη" χρησιμοποιείται συχνά όταν μιλάμε για δύο διανύσματα.
• Ο όρος "ορθογώνιο" χρησιμοποιείται συχνά για να περιγράψει ένα διάνυσμα που βρίσκεται σε γωνία ενενήντα μοιρών με τουλάχιστον 2 ξεχωριστά διανύσματα, αλλά όχι απαραίτητα πολλά (με άλλα λόγια, είναι μια δυνατότητα αλλά μόνο μέχρι το σημείο όπου τα διανύσματα απαριθμούνται).
• Το "κανονικό" χρησιμοποιείται όταν ο αριθμός των διανυσμάτων που βρίσκονται σε ορθή γωνία σχηματίζει ένα μη μετρήσιμο σύνολο, δηλαδή ένα ολόκληρο επίπεδο.
• Στην καθημερινή γλώσσα, είναι σχεδόν το ίδιο.

Ελπίζω αυτό το άρθρο να σας βοηθήσει να κατανοήσετε καλύτερα τη διαφορά μεταξύ ορθογωνίου, κανονικού και κάθετου όταν έχετε να κάνετε με διανύσματα.

ΠΟΙΑ ΕΊΝΑΙ Η ΔΙΑΦΟΡΆ ΜΕΤΑΞΎ ΜΙΑΣ ΕΝΕΡΓΟΎ ΚΑΙ ΜΙΑΣ ΑΝΤΙΔΡΑΣΤΙΚΉΣ ΔΎΝΑΜΗΣ; (Η ΑΝΤΊΘΕΣΗ)

ΠΟΙΑ ΕΊΝΑΙ Η ΔΙΑΦΟΡΆ ΜΕΤΑΞΎ ΔΙΑΝΥΣΜΆΤΩΝ ΚΑΙ ΤΑΝΥΣΤΏΝ; (ΕΞΗΓΕΊΤΑΙ)

Η ΔΙΑΦΟΡΆ ΜΕΤΑΞΎ ΕΞΙΣΏΣΕΩΝ ΚΑΙ ΣΥΝΑΡΤΉΣΕΩΝ-1