Wektory, temat, który niektórzy ludzie uważają za łatwy, podczas gdy inni uważają go za dość trudny, Podczas gdy zrozumienie definicji i podstaw wektorów jest czymś w rodzaju no-brainer dla każdego, zwłaszcza w geometrii euklidesowej (geometrii dwuwymiarowej), rzeczy stają się zagmatwane, gdy przechodzimy do wektorów trójwymiarowych i nieliniowych (zakrzywionych) wektorów.

Mimo że wektory są matematycznie proste i niezwykle przydatne w kiedy fizyce, nie zostały opracowane w swojej nowoczesnej formie.Dopiero pod koniec XIX wieku, kiedy Josiah Willard Gibbs i Oliver Heaviside (odpowiednio w Stanach Zjednoczonych i Anglii) stosują analizę wektorową, aby pomóc w wyrażeniu nowych praw elektromagnetyzm .

Elektromagnetyzm jest proponowany przez James Clerk Maxwella.Jest to dość zaskakujące, ponieważ było to mniej więcej w tym samym czasie, kiedy zaczęliśmy odkrywać cząstki subatomowe i rozwijać ideę współczesnego atomu.

W skrócie: Ortogonalne, normalne i prostopadłe to terminy opisujące obiekt, który znajduje się pod kątem 90 stopni w stosunku do innego obiektu. Tak więc istnieje tylko kilka technicznych różnic między nimi, gdy są stosowane do wektorów. W skrócie, są one podobne, ale nie takie same.

Dołącz do mnie, gdy dokładnie wyjaśniam drobne różnice między tymi matematycznymi terminami.

Co to jest wektor?

Wektor jest zwykle reprezentowany przez strzałkę o tym samym kierunku co wielkość i długości proporcjonalnej do amplitudy wielkości. Jest to wielkość, która ma zarówno wielkość jak i kierunek.

Chociaż wektor ma wielkość i kierunek, nie ma pozycji. Przy założeniu, że długość oryginalnego wektora nie ulega zmianie, sam wektor również nie ulega zmianie, jeśli zostanie przesunięty równolegle do swojej pierwotnej pozycji

W przeciwieństwie do tego, zwykłe wielkości, które mają amplitudę, ale nie mają kierunku, są określane jako skalary. Na przykład prędkość, przyspieszenie i przemieszczenie są wielkościami wektorowymi, podczas gdy prędkość, czas i masa są wartościami skalarnymi.

Czyli w skrócie, każda wielkość wymierna z wielkością i kierunkiem jest wielkością wektorową i można je zilustrować za pomocą geometrii.

Wiele wektorów można dodawać do siebie, odejmować od siebie i mnożyć ze sobą, z uwzględnieniem ich kierunku i wielkości.

Zanim przejdziemy do wektorów ortogonalnych, prostopadłych i normalnych, musimy najpierw zrozumieć definicję prostopadłego, ortogonalnego i normalnego. W skrócie, te terminy matematyczne są takie same, ale mają niewielkie różnice w użyciu sytuacyjnym.

Poniżej zamieściłem tabelę, dzięki której zapoznasz się z niektórymi wielkościami wektorowymi i skalarnymi.

Co to są wektory?

Obejrzyjcie ten dobrze zrobiony filmik opisujący wektory:

Co to są wektory?

Jaka jest różnica między prostopadłą, ortogonalną i normalną?

Najbardziej uczciwa odpowiedź to "nic". Są sytuacje, w których jedno jest bardziej prawdopodobne niż drugie, ale zwykle można je zamienić z niewielką utratą jasności, czyli ogólnie rzecz biorąc, kontekst, który otacza każdy termin, pamiętaj, że jest to niezwykle elastyczne:

Prostopadłe to relacja pomiędzy obiektami "liniowymi" (linia, półprosta, odcinek linii) w geometrii klasycznej, która jest spełniona, gdy dowolny kąt w miejscu ich przecięcia wynosi 90 stopni (lub π/2π/2 radianów, lub ćwiartka okręgu, itp.)

Ortogonalne to oddziaływanie między wektorami, które jest spełnione, gdy forma bilinearna znika. Po przekształceniu przecięcia liniowych podobieństw na parę wektorów prostopadłość jest ortogonalnością w przestrzeni euklidesowej (scalonej ze zwykłym iloczynem kropkowym), czasem konkretnie płaszczyźnie.

Normalna jest rodzajem wektora na rozmaitości (na przykład powierzchni) zamkniętym w hiperwymiarowej przestrzeni (wektorowej) ortogonalnej do przestrzeni stycznej w tym punkcie Jest to również nazwa pochodnej wektora stycznego krzywej parametryzowanej, gdzie binormalna jest "normalnym" (w zwykłym sensie) wektorem do płaszczyzny utworzonej przez styczną i normalną. Należy zwrócić uwagę na to, że normalna może często odnosić się doRównież wektor o jednostkowej długości, jak np. w orthonormal.

W rezultacie nie ma prawdziwego rozróżnienia, ale "prostopadłe" jest często używane dla dwóch wymiarów, "normalne" dla trzech, a "ortogonalne" dla gdy geometria jest całkowicie opuszczona (więc można mówić o funkcjach ortogonalnych).

Teraz, gdy wyjaśniliśmy nasze pojęcia, zobaczmy, jak te terminologie różnią się, gdy są stosowane do wektorów geometrycznych.

Czy wektor normalny jest taki sam jak ortogonalny?

Na papierze, wydają się mieć tę samą definicję, ale teoretycznie mają wyraźnie różne definicje. Dwa prostopadłe wektory są ortogonalne i jeden jest normalny do drugiego, ale wektor zerowy nie jest normalny do żadnego wektora, podczas gdy jest ortogonalny do każdego wektora.

W ogóle, a "Normalny" to geometryczny opis linii o kącie 90 stopni, natomiast "ortogonalny" jest wybiórczo używany jako matematyczny.

Jednak w tym samym czasie, wszystkie one oznaczają pod kątem prostym, i szkoda, że jest tyle różnych słów na jedno pojęcie.

Możesz powiedzieć, że dwa wektory są pod kątem prostym do siebie, ortogonalne lub prostopadłe, a wszystko to oznacza to samo. Ludzie mówią również, że jeden wektor jest normalny do drugiego, a to oznacza prawie to samo.

Możesz powiedzieć, że zestaw wektorów jest pod kątem 90 stopni lub prostym do siebie, może być wzajemnie lub parami ortogonalny, wzajemnie lub parami prostopadły, lub normalny do siebie, a to oznacza to samo.

Można powiedzieć, że wektor jest pod kątem prostym do krzywej lub powierzchni, ortogonalny do niego, prostopadły do niego lub normalny do niego, a te wszystkie oznaczają to samo.Jednak gdy mówimy o krzywych i powierzchniach, bardziej odpowiednim terminem jest "normalny"

Ludzie używają go zamiennie, gdy mamy do czynienia z dwoma prostymi wektorami, ale widziałem specyficzne zastosowania, gdy mamy do czynienia z krzywymi lub powierzchniami. Spójrz na poniższy obraz dla wizualizacji.

Wszystkie one sugerują istnienie kąta dziewięćdziesięciu stopni. Jednak kardynalność zbioru kątów prostych na ogół rozdziela ich użycie. 'Prostopadłe' jest często używane, gdy mówimy o dwóch wektorach.

Termin "ortogonalny" jest często używany do określenia wektora, który jest pod kątem dziewięćdziesięciu stopni do co najmniej 2 oddzielnych wektorów, ale niekoniecznie wielu (innymi słowy, jest to możliwość, ale tylko do punktu, w którym wektory są wyliczone).

'Normalny' jest używany, gdy liczba wektorów będących pod kątem prostym tworzy niepoliczalny zbiór, czyli całą płaszczyznę .

Ten obraz powinien pomóc Ci zwizualizować kluczowe różnice.

Ortogonalna, Normalna i Prostopadła w różnych przypadkach wektorów.

Czy ortogonalny oznacza prostopadły?

Ortogonalne i prostopadłe różnią się od własności bycia prostopadłym ( Prostopadłość ).Jest to związek między dwiema liniami, które spotykają się pod kątem 90 stopni lub pod kątem prostym.

Mówi się, że dana właściwość rozciąga się na inne pokrewne obiekty geometryczne. Natomiast ortogonalność to relacja dwóch linii pod kątem prostym.

Ortogonalne oznacza odnoszące się do lub obejmujące linie, które są prostopadłe lub które tworzą kąty proste, innym określeniem jest ortograficzne.

Gdy linie są prostopadłe, przecinają się pod kątem prostym. Na przykład kąty prostokątów i kwadratów są wszystkimi kątami prostymi.

Czy zerowy wektor jest ortogonalny do każdego wektora?

Jeśli iloczyn między 2 wektorami wynosi 0, to są one uważane za ortogonalne do siebie, więc x,y ∈ X w (X,) są ortogonalne jeśli =0, teraz jeśli x i y w (X,) są ortogonalne to znaczy, że każda skalarna wielokrotność x jest również ortogonalna do y .

Spójrz na przykład z pracy.

1. x,y>=k< x,y >=k0=0
2. teraz weźmy k=0
3. wtedy< 0 ,y>=0
4. co oznacza, że wektor zerowy jest ortogonalny do każdego innego wektora.

Inny sposób rozpatrywania położenia wektora zerowego względem wektora normalnego to:

1. Rozważmy dwa dowolne wektory A oraz B działając pod kątem θ.θ.
2. Załóżmy, że A×B=0A×B=0
3. ABsinθn=0ABsinθn=0(n jest wektorem jednostkowym).
4. A=0A=0 lub B=0B=0 lub sinθ=0sinθ=0
5. A=0A=0 lub B=0B=0 lub θ=0,πθ=0,π
6. A=0A=0 lub B=0B=0 lub A & B są równoległe.
7. Załóżmy, że A.B=0A.B=0
8. ABcosθ=0ABcosθ=0
9. A=0A=0 lub B=0B=0 lub cosθ=0cosθ=0
10. A=0A=0 lub B=0B=0 lub θ=π2θ=π2
11. A=0A=0 lub B=0B=0 lub A & B są prostopadłe.
12. Teraz tworzymy sytuację następującą:
13. Załóżmy, że A×B=0A×B=0 i A.B=0A.B=0
14. Jest to możliwe tylko wtedy, gdy A=0A=0 lub B=0B=0
15. Tutaj widzimy, że oba warunki mogą być prawdziwe tylko wtedy, gdy jeden z wektorów jest zerowy.
16. Załóżmy, że B=0B=0
17. Z pierwszego warunku możemy wywnioskować, że O jest równoległy do A.
18. Z drugiego warunku możemy wywnioskować, że O jest prostopadła do A.

Zatem wektor zerowy(zero vector) ma dowolny kierunek. Może być równoległy, prostopadły lub pod innym kątem do dowolnego wektora.

Wniosek

Oto kluczowe szczegóły z tego artykułu:

• Wektor to każda wielkość fizyczna o określonej wielkości i kierunku
• Ortogonalne, normalne i prostopadłe są terminami opisującymi obiekt, który jest pod kątem 90 stopni w stosunku do innego obiektu. Tak więc, istnieje tylko kilka technicznych różnic między nimi, gdy są stosowane do wektorów.
• Wszystkie one sugerują istnienie kąta dziewięćdziesięciu stopni. Jednak kardynalność zbioru kątów prostych na ogół rozdziela ich użycie. 'Prostopadłe' jest często używane, gdy mówimy o dwóch wektorach.
• Termin "ortogonalny" jest często używany do określenia wektora, który jest pod kątem dziewięćdziesięciu stopni do co najmniej 2 oddzielnych wektorów, ale niekoniecznie wielu (innymi słowy, jest to możliwość, ale tylko do punktu, w którym wektory są wyliczone).
• 'Normalna' jest stosowana, gdy liczba wektorów będących pod kątem prostym tworzy zbiór niepoliczalny, czyli całą płaszczyznę.
• W języku potocznym są one praktycznie takie same.

Mam nadzieję, że ten artykuł pomoże ci lepiej zrozumieć różnicę między ortogonalnym, normalnym i prostopadłym, gdy mamy do czynienia z wektorami.

JAKA JEST RÓŻNICA MIĘDZY SIŁĄ AKTYWNĄ A REAKTYWNĄ (PRZECIWIEŃSTWO)?

JAKA JEST RÓŻNICA MIĘDZY WEKTORAMI A TENSORAMI (WYJAŚNIONE)?

RÓŻNICA MIĘDZY RÓWNANIAMI A FUNKCJAMI-1