Vektorer är ett ämne som vissa tycker är lätt, medan andra tycker att det är ganska utmanande.Att förstå definitionen och grunderna för vektorer är en slags självklarhet för alla, särskilt i euklidisk geometri (tvådimensionell geometri), men saker och ting blir förvirrande när vi går över till tredimensionella vektorer och icke-linjära (krökta) vektorer.

Även om vektorer är matematiskt enkla och extremt användbara i fysiken, utvecklades de inte i sin moderna form. Inte förrän i slutet av 1800-talet när Josiah Willard Gibbs och Oliver Heaviside (i USA respektive England) tillämpar var och en vektoranalys för att hjälpa till att uttrycka de nya lagarna i elektromagnetism .

Elektromagnetism föreslås av James Clerk Maxwell. Detta är ganska förvånande, eftersom det var ungefär samtidigt som vi började upptäcka subatomära partiklar och utveckla idén om den moderna atomen.

I korthet: Ortogonal, normal och vinkelrät är termer som beskriver ett föremål som befinner sig 90 grader i förhållande till ett annat föremål. Det finns alltså bara några få tekniska skillnader mellan dem när de tillämpas på vektorer. Kort sagt, de är likartade men inte likadana.

Följ med mig när jag noggrant förklarar de små skillnaderna mellan dessa matematiska termer.

Vad är en vektor?

Vektor representeras vanligtvis av en pil med samma riktning som kvantiteten och en längd som är proportionell mot amplituden av kvantiteten. Det är en kvantitet som har både magnitud och riktning.

Även om en vektor har storlek och riktning, men inte position. Eftersom längden på den ursprungliga vektorn inte ändras, ändras inte heller vektorn själv om den förskjuts parallellt med sin ursprungliga position.

Vanliga storheter som har en amplitud men ingen riktning kallas däremot skalarer. Hastighet, acceleration och förskjutning är till exempel vektormängder, medan hastighet, tid och massa är skalarvärden.

Så i ett nötskal, Varje kvantifierbar storhet med storlek och riktning är en vektormängd. och kan illustreras med hjälp av geometri.

Flera vektorer kan adderas till, subtraheras av och multipliceras med varandra med avseende på riktning och storlek.

Innan vi går vidare till ortogonala, vinkelräta och normala vektorer måste vi först förstå definitionen av vinkelräta, ortogonala och normala vektorer. I korthet är dessa matematiska termer samma, men de skiljer sig något åt när de används i olika situationer.

Jag har inkluderat en tabell nedan för att du ska lära dig känna några vektor- och skalarkvantiteter.

Vad är vektorer?

Ta en titt på den här välgjorda videon som beskriver vektorer:

Vad är vektorer?

Vad är skillnaden mellan vinkelrätt, ortogonal och normal?

Det finns situationer där det är mer troligt att den ena termen används än den andra, men de kan vanligtvis bytas ut med liten förlust av klarhet, det vill säga i allmänhet, det sammanhang som omger varje term, tänk på att detta är extremt flexibelt:

Lodrätt är en relation mellan "linjeliknande" objekt (linje, stråle, linjesegment) i klassisk geometri, som är uppfylld när en vinkel i deras skärningspunkt är 90 grader (eller π/2π/2 radianer, eller en fjärdedel av en cirkel, etc.).

Ortogonal är en växelverkan mellan vektorer som är uppfylld när den bilinjära formen försvinner. Efter att ha omvandlat en skärningspunkt mellan linjer till ett vektorpar är vinkelrätthet ortogonalitet i det euklidiska rummet (integrerat med den vanliga prickprodukten), ibland särskilt i ett plan.

Normal är en typ av vektor på en mångfald (t.ex. en yta) som är inkapslad i ett hyperdimensionellt (vektor)rum som är ortogonalt till tangentrummet i den punkten Det är också namnet på derivatan av en parametriserad kurvas tangentvektor, där binormal är den "normala" (i vanlig mening) vektorn till det plan som bildas av tangenten och normal.vektor med en enhetslängd, som i ortonormal.

Därför finns det ingen egentlig skillnad, men "vinkelrätt" används ofta för två dimensioner, "normal" för tre och "ortogonal" för när geometrin är helt övergiven (så att man kan tala om ortogonala funktioner).

Nu när vi har klargjort våra begrepp ska vi se hur dessa terminologier skiljer sig åt när de tillämpas på geometriska vektorer.

Är en normalvektor samma sak som en ortogonalvektor?

På papper, Två vinkelräta vektorer är ortogonala och den ena är normal till den andra, men nollvektorn är inte normal till någon vektor medan den är ortogonal till alla vektorer.

I allmänhet, a "Normal" är en geometrisk beskrivning av en 90-graders linje, medan "ortogonal" används selektivt som en matematisk beskrivning.

Men samtidigt innebär de alla i rät vinkel, Det är synd att det finns så många olika ord för ett och samma begrepp.

Man kan säga att två vektorer står i rät vinkel mot varandra, är ortogonala eller vinkelräta, och det betyder samma sak. Man säger också att en vektor är normal till en annan, och det betyder i stort sett samma sak.

Du kan säga att en uppsättning vektorer står i 90 grader eller rät vinkel mot varandra, de kan vara ömsesidigt eller parvis ortogonala, ömsesidigt eller parvis vinkelräta eller normala mot varandra, och det betyder samma sak.

Du kan säga att en vektor står vinkelrätt mot en kurva eller yta, är ortogonal till den, vinkelrät mot den eller normal till den, och alla dessa betyder samma sak. Men när man talar om kurvor och ytor är den mer lämpliga termen "normal".

Folk använder det omväxlande när det gäller två raka vektorer, men jag har sett specifika användningsområden när det gäller kurvor eller ytor. Ta en titt på bilden nedan för att visualisera det.

De innebär alla att det finns en nittiogradig vinkel. Kardinaliteten hos mängden rätvinkliga vinklar skiljer dock i allmänhet användningen åt. "Vinkelrätt" används ofta när man talar om två vektorer.

Termen "ortogonal" används ofta för att beskriva en vektor som står i en nittiogradig vinkel till minst två separata vektorer, men inte nödvändigtvis många (med andra ord är det en möjlighet, men bara till den punkt där vektorerna räknas upp).

"Normal" används när antalet vektorer som befinner sig i en rät vinkel bildar en oräknelig mängd, dvs. ett helt plan. .

Den här bilden hjälper dig att se de viktigaste skillnaderna.

Ortogonal, normal och vinkelrät i olika fall av vektorer.

Betyder ortogonal vinkelrätt?

Ortogonala och vinkelräta skiljer sig från egenskapen att vara vinkelräta ( Lodrätthet ). Det är förhållandet mellan två linjer som möts i 90 grader eller rätvinkliga vinklar.

Egenskapen sägs utsträckas till andra relaterade geometriska objekt, medan ortogonal är förhållandet mellan två linjer i rätvinkliga vinklar.

Ortogonal betyder att det handlar om linjer som är vinkelräta eller bildar räta vinklar, en annan term för detta är ortografisk.

När linjerna är vinkelräta, de skär varandra i en rät vinkel. Till exempel är hörnen på rektanglar och kvadrater alla rätvinkliga.

Är nollvektorn ortogonal till varje vektor?

Om produkten mellan två vektorer är 0 anses de vara ortogonala till varandra, så x,y ∈ X i (X,) är ortogonala om =0. Om x och y i (X,) är ortogonala betyder det att varje skalär multipel av x också är ortogonal till y. .

Ta en titt på ett fungerande exempel.

1. x,y>=k< x,y >=k0=0
2. Nu tar vi k=0.
3. sedan< 0 ,y>=0
4. vilket innebär att nollvektorn är ortogonal till alla andra vektorer.

Ett annat sätt att betrakta positionen för en nollvektor i förhållande till en normalvektor är:

1. Betrakta två vektorer A och B som verkar i vinkeln θ.θ.
2. Anta att A×B=0A×B=0
3. ABsinθn=0ABsinθn=0(n är en enhetsvektor.)
4. A=0A=0 eller B=0B=0 eller sinθ=0sinθ=0
5. A=0A=0 eller B=0B=0 eller θ=0,πθ=0,π
6. A=0A=0 eller B=0B=0 eller A & B är parallella.
7. Anta att A.B=0A.B=0
8. ABcosθ=0ABcosθ=0
9. A=0A=0 eller B=0B=0 eller cosθ=0cosθ=0
10. A=0A=0 eller B=0B=0 eller θ=π2θ=π2
11. A=0A=0 eller B=0B=0 eller A & B är vinkelräta.
12. Nu skapar vi följande situation:
13. Anta att A×B=0A×B=0 och A.B=0A.B=0A.B=0
14. Detta är endast möjligt om A=0A=0=0 eller B=0B=0.
15. Här ser vi att båda villkoren bara kan vara sanna om en av vektorerna är noll.
16. Anta att B=0B=0
17. Av det första villkoret kan vi dra slutsatsen att O är parallell med A.
18. Av det andra villkoret kan vi dra slutsatsen att O är vinkelrät mot A.

Nollvektorn (nollvektorn) har alltså en godtycklig riktning. Den kan vara parallell eller vinkelrät eller i någon annan vinkel till någon vektor.

Slutsats

Här är de viktigaste detaljerna från artikeln:

• En vektor är en fysisk storhet med en storlek och riktning.
• Ortogonal, normal och vinkelrät är termer som beskriver ett objekt som befinner sig i 90 grader i förhållande till ett annat objekt. Det finns alltså bara några få tekniska skillnader mellan dem när de tillämpas på vektorer.
• De innebär alla att det finns en nittiogradig vinkel. Kardinaliteten hos mängden rätvinkliga vinklar skiljer dock i allmänhet användningen åt. "Vinkelrätt" används ofta när man talar om två vektorer.
• Termen "ortogonal" används ofta för att beskriva en vektor som står i en nittiogradig vinkel till minst två separata vektorer, men inte nödvändigtvis många (med andra ord är det en möjlighet, men bara till den punkt där vektorerna räknas upp).
• "Normal" används när antalet vektorer som befinner sig i en rät vinkel bildar en oräknelig mängd, dvs. ett helt plan.
• I dagligt tal är de praktiskt taget identiska.

Jag hoppas att den här artikeln hjälper dig att bättre förstå skillnaden mellan ortogonal, normal och vinkelrätt när du arbetar med vektorer.

VAD ÄR SKILLNADEN MELLAN EN AKTIV OCH EN REAKTIV KRAFT? (KONTRASTEN).

VAD ÄR SKILLNADEN MELLAN VEKTORER OCH TENSORER? (FÖRKLARAT)

SKILLNADEN MELLAN EKVATIONER OCH FUNKTIONER-1