ვექტორები, თემა, რომელიც ზოგისთვის ადვილია, ზოგისთვის კი საკმაოდ რთული. მიუხედავად იმისა, რომ ვექტორების განმარტებისა და საფუძვლების გაგება არავისთვის უაზროა, განსაკუთრებით ევკლიდეს გეომეტრიაში (2-განზომილებიანი გეომეტრია), დამაბნეველია, როდესაც ჩვენ გადავდივართ 3-განზომილებიან ვექტორებზე და არაწრფივ (მრუდე) ვექტორებზე.

მიუხედავად იმისა, რომ ვექტორები მათემატიკურად მარტივია და ძალზე სასარგებლოა ფიზიკის დროს, ისინი არ შექმნილა თანამედროვე ფორმით. მხოლოდ მე-19 საუკუნის ბოლოს, როდესაც ჯოსია უილარდ გიბსი და ოლივერ ჰევისაიდი (შესაბამისად აშშ-დან და ინგლისიდან) გამოიყენებდნენ ვექტორულ ანალიზს, რათა დაეხმარონ <2-ის ახალი კანონების გამოხატვას. 2>ელექტრომაგნეტიზმი .

ელექტრომაგნეტიზმი შემოთავაზებულია ჯეიმს კლერკის მაქსველის მიერ. ეს საკმაოდ გასაკვირია, რადგან ეს იყო დაახლოებით იმავე დროს, როდესაც ჩვენ დავიწყეთ ქვეატომური ნაწილაკების აღმოჩენა და თანამედროვე ატომის იდეის განვითარება.

მოკლედ: ორთოგონალური, ნორმალური და პერპენდიკულარული არიან. ტერმინები აღწერს ობიექტს, რომელიც არის 90 გრადუსზე სხვა ობიექტის მიმართ. ასე რომ, მათ შორის მხოლოდ რამდენიმე ტექნიკური განსხვავებაა ვექტორებზე გამოყენებისას. მოკლედ, ისინი მსგავსები არიან, მაგრამ არა ერთნაირი.

შემოგვიერთდით, როცა საფუძვლიანად აგიხსნით ამ მათემატიკურ ტერმინებს შორის უმნიშვნელო განსხვავებებს.

რა არის ვექტორი?

ვექტორი, როგორც წესი, წარმოდგენილია ისეთივე მიმართულების ისრით, როგორიც არისრაოდენობა და სიგრძე სიდიდის ამპლიტუდის პროპორციული. ეს არის სიდიდე, რომელსაც აქვს სიდიდეც და მიმართულებაც.

მიუხედავად იმისა, რომ ვექტორს აქვს სიდიდე და მიმართულება, მას არ აქვს პოზიცია. რა თქმა უნდა, თავდაპირველი ვექტორის სიგრძე არ არის შეცვლილი, თავად ვექტორი ასევე არ იცვლება, თუ იგი გადაადგილებულია მისი საწყისი პოზიციის პარალელურად

საპირისპიროდ, ჩვეულებრივ სიდიდეებს, რომლებსაც აქვთ ამპლიტუდა, მაგრამ მიმართულების გარეშე, მოიხსენიებენ როგორც სკალერებს. . სიჩქარე, აჩქარება და გადაადგილება, მაგალითად, არის ვექტორული სიდიდეები, ხოლო სიჩქარე, დრო და მასა არის სკალარული მნიშვნელობები.

ასე რომ, მოკლედ, ნებისმიერი ოდენობა ზომითა და მიმართულებით არის ვექტორი. რაოდენობა და შეიძლება ილუსტრირებული იყოს გეომეტრიის გამოყენებით.

ბევრ ვექტორს შეიძლება დაემატოს, გამოვაკლოთ და გავამრავლოთ ერთმანეთის მიმართულებისა და სიდიდის მიხედვით.

ახლა, სანამ ორთოგონალურ, პერპენდიკულარულ და ნორმალურ ვექტორებზე გადავიდოდეთ, ჩვენ ჯერ უნდა გავიგოთ პერპენდიკულარული, ორთოგონალური და ნორმალური განმარტება. მოკლედ, ეს მათემატიკური ტერმინები იდენტურია, თუმცა მცირედი განსხვავებები აქვთ სიტუაციურ გამოყენებაში.

ქვემოთ დავამატე ცხრილი, რათა გაეცნოთ ზოგიერთ ვექტორულ და სკალარული სიდიდეებს.

რა არის ვექტორები?

შეხედეთ ამ კარგად შექმნილ ვიდეოს, რომელიც აღწერს ვექტორებს:

რა არის ვექტორები?

რა განსხვავებაა პერპენდიკულარულ, ორთოგონალურ და ნორმალურს შორის?

ყველაზე გულწრფელი პასუხია „არაფერი“. არის სიტუაციები, როდესაც ერთის გამოყენება უფრო სავარაუდოა, ვიდრე მეორე, მაგრამ ისინი, როგორც წესი, შეიძლება შეიცვალოს სიცხადის მცირე დაკარგვით, ანუ ზოგადად, კონტექსტი, რომელიც აკრავს თითოეულ ტერმინს, გაითვალისწინეთ, რომ ეს უკიდურესად მოქნილია:

პერპენდიკულარული არის მიმართება კლასიკურ გეომეტრიაში „ხაზისმაგვარ“ ობიექტებს (წრფე, სხივი, წრფის სეგმენტი) შორის, რომელიც დაკმაყოფილებულია, როდესაც მათ გადაკვეთაზე რომელიმე კუთხე არის 90 გრადუსი (ან π/2π/2 რადიანები, ან წრის მეოთხედი და ა.შ.).

ორთოგონალური ეს არის ურთიერთქმედება ვექტორებს შორის, რომელიც დაკმაყოფილებულია, როდესაც ბიწრფივი ფორმა ქრება. წრფის მსგავსი გადაკვეთის წყვილ ვექტორად გარდაქმნის შემდეგ, პერპენდიკულარობა არის ორთოგონალურობა ევკლიდეს სივრცეში (ინტეგრირებულია ჩვეულებრივ წერტილოვან ნამრავლთან), ზოგჯერ კონკრეტულად სიბრტყეში.

ნორმალური არის ერთგვარი. ვექტორი მრავალგანზომილებიან (მაგალითად, ზედაპირზე) ჩაფლული ჰიპერგანზომილებიანი (ვექტორული) სივრცეში ორთოგონალური ტანგენტის სივრცის იმ წერტილში. ეს ასევე არის პარამეტრიზებული მრუდის ტანგენტის ვექტორის წარმოებულის სახელი, სადაც ბინორმული არის"ნორმალური" (ჩვეულებრივი გაგებით) ვექტორი სიბრტყეზე, რომელიც წარმოიქმნება ტანგენტისა და ნორმალურის მიერ. გასათვალისწინებელია ის, რომ ნორმალური ხშირად შეიძლება ეხებოდეს ერთეული სიგრძის ვექტორსაც, მაგალითად ორთონორმალურში.

შედეგად, არ არსებობს რეალური განსხვავება, მაგრამ „პერპენდიკულარული“ ხშირად გამოიყენება ორი განზომილებისთვის. , „ნორმალური“ სამისთვის და „ორთოგონალური“ იმ შემთხვევაში, როდესაც გეომეტრია მთლიანად მიტოვებულია (ასე რომ თქვენ შეგიძლიათ ისაუბროთ ორთოგონალურ ფუნქციებზე).

ახლა, როდესაც ჩვენ გავასუფთავეთ ჩვენი კონცეფციები, ვნახოთ, როგორ განსხვავდება ეს ტერმინოლოგიები გამოყენებისას. გეომეტრიულ ვექტორებს.

ნორმალური ვექტორი იგივეა რაც ორთოგონალური?

ქაღალდზე როგორც ჩანს, მათ აქვთ იგივე განმარტება, მაგრამ თეორიულად, მათ აქვთ მკაფიოდ განსხვავებული განმარტებები. ორი პერპენდიკულარული ვექტორი ორთოგონალურია და ერთი ნორმალური მეორის მიმართ, მაგრამ ნულოვანი ვექტორი არ არის ნორმალური რომელიმე ვექტორისთვის, ხოლო ორთოგონალურია ყველა ვექტორთან.

ზოგადად, ა "ნორმალური" არის 90-გრადუსიანი წრფის გეომეტრიული აღწერა, ხოლო „ორთოგონალი“ შერჩევით გამოიყენება მათემატიკური სახით.

თუმცა, ამავე დროს, ისინი ყველა ნიშნავს მართი კუთხით, და სირცხვილია, რომ ერთი კონცეფციისთვის ამდენი განსხვავებული სიტყვა არსებობს.

შეიძლება ითქვას, რომ ორი ვექტორი მართი კუთხით არის ერთმანეთთან, ორთოგონალური ან პერპენდიკულარული და ეს ყველაფერი ერთსა და იმავეს ნიშნავს. ხალხი ასევე ამბობს, რომ ერთი ვექტორი ნორმალურია მეორესთვის და ეს თითქმის იგივეს ნიშნავსრამ.

შეიძლება ითქვას, რომ ვექტორების სიმრავლე არის 90 გრადუსით ან მართი კუთხით ერთმანეთის მიმართ, ეს შეიძლება იყოს ორთოგონალური ორთოგონალური, ორმხრივად ან წყვილში პერპენდიკულარული, ან ნორმალური, და ეს ნიშნავს იგივეს. რამ.

შეიძლება ითქვას, რომ ვექტორი არის მართი კუთხით მრუდთან ან ზედაპირთან, ორთოგონალურია მასზე, პერპენდიკულარულია მასზე ან ნორმალურია, და ეს ყველა ერთსა და იმავეს ნიშნავს. თუმცა, როდესაც ვსაუბრობთ მოსახვევებსა და ზედაპირებზე, უფრო შესაფერისი ტერმინია „ნორმალური“

ადამიანები მას ურთიერთშემცვლელად იყენებენ, როდესაც საქმე გვაქვს ორ სწორ ვექტორთან, მაგრამ მე მინახავს სპეციფიკური გამოყენება მრუდებთან ან ზედაპირებთან. შეხედეთ ქვემოთ მოცემულ სურათს ვიზუალიზაციისთვის.

ყველა მათგანი გულისხმობს ოთხმოცდაათი გრადუსიანი კუთხის არსებობას. თუმცა, მართი კუთხის ნაკრების კარდინალურობა ზოგადად განასხვავებს გამოყენებას. „პერპენდიკულარული“ ხშირად გამოიყენება ორ ვექტორზე საუბრისას.

ტერმინი „ორთოგონალური“ ხშირად გამოიყენება ვექტორის აღსაწერად, რომელიც არის ოთხმოცდაათი გრადუსიანი კუთხით მინიმუმ 2 ცალკეული ვექტორის მიმართ, მაგრამ არა აუცილებლად ბევრი (სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, ეს არის შესაძლებლობა, მაგრამ მხოლოდ წერტილი, სადაც ვექტორები არის ჩამოთვლილი).

„ნორმალური“ გამოიყენება მაშინ, როდესაც ვექტორების რაოდენობა, რომლებიც მართი კუთხით დგანან, ქმნიან უთვალავ სიმრავლეს, ანუ მთელ სიბრტყეს .

ეს სურათი უნდა დაგეხმაროთ ძირითადი განსხვავებების ვიზუალიზაციაში.

ორთოგონალური, ნორმალური და პერპენდიკულარული ვექტორების სხვადასხვა შემთხვევებში.

არისორთოგონალური საშუალო პერპენდიკულარი?

ორთოგონალური და პერპენდიკულარული განსხვავდება პერპენდიკულურობის თვისებისგან ( პერპენდიკულარულობა ). ეს არის ურთიერთობა ორ ხაზს შორის, რომლებიც ხვდებიან 90 გრადუსით ან მართი კუთხით.

ამბობენ, რომ ეს თვისება ვრცელდება სხვა დაკავშირებულ გეომეტრიულ ობიექტებზე. მიუხედავად იმისა, რომ ორთოგონალი არის ორი წრფის მიმართება მართი კუთხით.

ორთოგონალი ნიშნავს ხაზებს, რომლებიც დაკავშირებულია ან მოიცავს პერპენდიკულარულ ან მართ კუთხეებს, ამის სხვა ტერმინი არის ორთოგრაფიული.

როდესაც წრფეები პერპენდიკულარულია, ისინი იკვეთება მართი კუთხით. მაგალითად, მართკუთხედების და კვადრატების კუთხეები ყველა მართი კუთხეა.

ნულოვანი ვექტორი ორთოგონალურია ყველა ვექტორთან?

თუ 2 ვექტორს შორის ნამრავლი არის 0, მაშინ ისინი განიხილება ერთმანეთის მიმართ ორთოგონალურად, ამიტომ x,y ∈ X in (X,) ორთოგონალურია თუ =0, ახლა თუ x და y in (X,) ორთოგონალურია, მაშინ ეს ნიშნავს, რომ x-ის ნებისმიერი სკალარული ჯერადი ასევე ორთოგონალურია y -ზე.

გადახედეთ დამუშავებულ მაგალითს.

1. x,y>=k< x,y >=k0= 0
2. ახლა აიღეთ k=0
3. შემდეგ< 0 ,y>=0
4. რაც ნიშნავს, რომ ნულოვანი ვექტორი ორთოგონალურია ყველა სხვა ვექტორთან.

სხვა გზა გასათვალისწინებელია ნულოვანი ვექტორის პოზიციაზე ნორმალური ვექტორი არის:

1. განიხილეთ ნებისმიერი ორი ვექტორი A და B მოქმედი კუთხითθ.θ.
2. ვთქვათ A×B=0A×B=0
3. ABsinθn=0ABsinθn=0(n არის ერთეული ვექტორი.)
4. A=0A=0 ან B=0B=0 ან sinθ=0sinθ=0
5. A=0A=0 ან B=0B =0 ან θ=0,πθ=0,π
6. A=0A=0 ან B=0B=0 ან A & B პარალელურია.
7. ვთქვათ A.B=0A.B=0
8. ABcosθ=0ABcosθ=0
9. A=0A=0 ან B=0B=0 ან cosθ=0cosθ=0
10. A=0A=0 ან B=0B=0 ან θ=π2θ =π2
11. A=0A=0 ან B=0B=0 ან A & B პერპენდიკულარულია.
12. ახლა ჩვენ ვქმნით სიტუაციას შემდეგნაირად:
13. ვთქვათ A×B=0A×B=0 და A.B=0A.B=0
14. ეს შესაძლებელია მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ A=0A=0 ან B=0B=0
15. აქ ჩვენ ვხედავთ რომ ორივე პირობა შეიძლება იყოს ჭეშმარიტი მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ ერთ-ერთი ვექტორი ნულის ტოლია. ჩვენ შეგვიძლია დავასკვნათ, რომ O პარალელურია A.
16. მეორე პირობიდან შეიძლება დავასკვნათ, რომ O პერპენდიკულარულია A-ზე.

ასე რომ ნულ ვექტორს(ნულოვან ვექტორს) აქვს თვითნებური მიმართულება. ის შეიძლება იყოს პარალელური ან პერპენდიკულარული ან ნებისმიერი სხვა კუთხით რომელიმე ვექტორთან.

დასკვნა

აქ არის ძირითადი დეტალები ამ სტატიიდან:

• ვექტორი არის ნებისმიერი ფიზიკური სიდიდე სიდიდისა და მიმართულების მქონე
• ორთოგონალური, ნორმალური და პერპენდიკულარული არის ტერმინები, რომლებიც ასახავს ობიექტს, რომელიც არის 90 გრადუსზე სხვა ობიექტის მიმართ. ასე რომ, მათ შორის მხოლოდ რამდენიმე ტექნიკური განსხვავებააისინი ვექტორებზე გამოყენებისას.
• ყველა მათგანი გულისხმობს ოთხმოცდაათი გრადუსიანი კუთხის არსებობას. თუმცა, მართი კუთხის ნაკრების კარდინალურობა ზოგადად განასხვავებს გამოყენებას. „პერპენდიკულარული“ ხშირად გამოიყენება ორ ვექტორზე საუბრისას.
• ტერმინი „ორთოგონალური“ ხშირად გამოიყენება ვექტორის აღსაწერად, რომელიც არის ოთხმოცდაათი გრადუსიანი კუთხით მინიმუმ 2 ცალკეული ვექტორის მიმართ, მაგრამ არა აუცილებლად ბევრი (სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, ეს არის შესაძლებლობა, მაგრამ მხოლოდ წერტილი, სადაც ვექტორებია დათვლილი).
• „ნორმალური“ გამოიყენება მაშინ, როდესაც ვექტორების რაოდენობა, რომლებიც მართი კუთხით დგანან, ქმნიან უთვალავ სიმრავლეს, ანუ მთელ სიბრტყეს.
• ყოველდღიურ ენაში ისინი პრაქტიკულად ერთნაირია.

იმედი მაქვს, რომ ეს სტატია დაგეხმარებათ უკეთ გაიგოთ განსხვავება ორთოგონალურ, ნორმალურ და პერპენდიკულურს შორის ვექტორებთან ურთიერთობისას.

რა განსხვავებაა აქტიურსა და ა-ს შორის რეაქტიული ძალა? (კონტრასტი)

რა განსხვავებაა ვექტორებსა და ტენზორებს შორის? (ახსნილია)

სხვაობა განტოლებებსა და ფუნქციებს შორის-1