Vectoren, een onderwerp dat sommige mensen gemakkelijk vinden, terwijl anderen het een uitdaging vinden, Terwijl het begrijpen van de definitie en de basis van vectoren voor iedereen een no-brainer is, vooral in de euclidische meetkunde (2-dimensionale meetkunde), wordt het verwarrend als we overgaan op 3-dimensionale vectoren en niet-lineaire (gekromde) vectoren.

Ook al zijn vectoren wiskundig eenvoudig en uiterst nuttig in de natuurkunde, ze werden niet ontwikkeld in hun moderne vorm. Pas laat in de 19e eeuw, toen Josiah Willard Gibbs en Oliver Heaviside (van respectievelijk de Verenigde Staten en Engeland) passen elk een vectoranalyse toe om de nieuwe wetten van elektromagnetisme .

Elektromagnetisme wordt voorgesteld door James Clerk Maxwell. Dit is nogal verrassend, want dit was rond dezelfde tijd dat we subatomaire deeltjes begonnen te ontdekken en het idee van het moderne atoom ontwikkelden.

In het kort: Orthogonaal, normaal en loodrecht zijn termen om een voorwerp te beschrijven dat in een hoek van 90 graden staat ten opzichte van een ander voorwerp. Er zijn dus maar een paar technische verschillen tussen beide wanneer ze worden toegepast op vectoren. Kort gezegd zijn ze vergelijkbaar maar niet hetzelfde.

Ga met me mee als ik de kleine verschillen tussen deze wiskundige termen grondig uitleg.

Wat is een vector?

Een vector wordt typisch voorgesteld door een pijl met dezelfde richting als de grootheid en een lengte die evenredig is met de amplitude van de grootheid. Het is een grootheid die zowel magnitude als richting heeft.

Hoewel een vector heeft grootte en richting, maar geen positie. Als de lengte van de oorspronkelijke vector niet wordt gewijzigd, wordt een vector zelf ook niet gewijzigd als hij evenwijdig aan zijn oorspronkelijke positie wordt verplaatst.

Gewone grootheden die een amplitude maar geen richting hebben, worden daarentegen scalairen genoemd. Snelheid, versnelling en verplaatsing zijn bijvoorbeeld vectorgrootheden, terwijl snelheid, tijd en massa scalaire grootheden zijn.

Dus in een notendop, elke kwantificeerbare grootheid met grootte en richting is een vectorgrootheid en kan worden geïllustreerd met geometrie.

Meerdere vectoren kunnen worden opgeteld bij, afgetrokken van en vermenigvuldigd met elkaar, met betrekking tot hun richting en magnitude.

Voordat we verder gaan met orthogonale, loodrechte en normaalvectoren, moeten we eerst de definitie van loodrecht, loodrecht en normaal begrijpen. Kort gezegd zijn deze wiskundige termen hetzelfde, maar er zijn kleine verschillen in het gebruik.

Ik heb hieronder een tabel opgenomen om u vertrouwd te maken met enkele vector- en scalaire grootheden.

Wat zijn vectoren?

Kijk eens naar deze goed gemaakte video waarin vectoren worden beschreven:

Wat zijn vectoren?

Wat is het verschil tussen loodrecht, loodrecht en normaal?

Het meest eerlijke antwoord is "niets". Er zijn situaties waarin de ene eerder wordt gebruikt dan de andere, maar meestal kunnen ze worden verwisseld met weinig verlies aan duidelijkheid, dat wil zeggen in het algemeen, de context die elke term omringt, houd er rekening mee dat dit uiterst flexibel is:

Loodrecht is een relatie tussen "lijnachtige" objecten (lijn, straal, lijnstuk) in de klassieke meetkunde, waaraan is voldaan wanneer elke hoek op hun snijpunt 90 graden is (of π/2π/2 radialen, of een kwart van een cirkel, enz).

Orthogonaal is een interactie tussen vectoren die vervuld is wanneer de bilineaire vorm verdwijnt. Na omzetting van een snijpunt van lijn-likes in een paar vectoren, is loodrechtheid orthogonaliteit in de Euclidische ruimte (geïntegreerd met het gebruikelijke puntproduct), soms specifiek een vlak.

Normaal is een soort vector op een veelvlak (bijvoorbeeld een oppervlak) die is ingekapseld in een hyperdimensionale (vector)ruimte loodrecht op de raaklijnruimte in dat punt Het is ook de naam van de afgeleide van de raakvector van een geparametriseerde kromme, waarbij binormaal de "normale" (in de gebruikelijke zin) vector is naar het vlak gevormd door de raaklijn en de normaal. Iets om na te gaan is dat normaal vaak kan verwijzen naar eenvector met eenheidslengte, zoals in orthonormaal.

Bijgevolg is er geen echt onderscheid, maar "loodrecht" wordt vaak gebruikt voor twee dimensies, "normaal" voor drie, en "orthogonaal" voor wanneer de meetkunde volledig wordt losgelaten (zodat je kunt spreken van orthogonale functies).

Nu we onze begrippen hebben verduidelijkt, laten we eens kijken hoe deze begrippen verschillen wanneer ze worden toegepast op meetkundige vectoren.

Is een normale vector hetzelfde als een orthogonale?

Op papier, ze lijken dezelfde definitie te hebben, maar theoretisch hebben ze duidelijk verschillende definities. Twee loodrechte vectoren zijn loodrecht en de ene is normaal ten opzichte van de andere, maar de nulvector is niet normaal ten opzichte van een vector, terwijl hij loodrecht staat ten opzichte van elke vector.

In het algemeen, a "Normaal" is een geometrische beschrijving van een lijn van 90 graden, terwijl "orthogonaal" selectief als wiskundige beschrijving wordt gebruikt.

Maar tegelijkertijd betekenen ze allemaal in een rechte hoek, en het is jammer dat er zoveel verschillende woorden zijn voor één concept.

Je kunt zeggen dat twee vectoren loodrecht op elkaar staan, orthogonaal of loodrecht, en dat betekent allemaal hetzelfde. Men zegt ook dat een vector normaal is ten opzichte van een andere, en dat betekent vrijwel hetzelfde.

Je kunt zeggen dat een stel vectoren een hoek van 90 graden of een rechte hoek met elkaar maakt, het kan ook wederzijds of paarsgewijs orthogonaal zijn, wederzijds of paarsgewijs loodrecht, of normaal ten opzichte van elkaar, en dat betekent hetzelfde.

Je kunt zeggen dat een vector loodrecht op een kromme of oppervlak staat, er loodrecht op staat, of er normaal op staat, en dat betekent allemaal hetzelfde. Maar als je het over krommen en oppervlakken hebt, is de meest geschikte term "normaal".

Mensen gebruiken het door elkaar als het gaat om twee rechte vectoren, maar ik heb specifieke toepassingen gezien als het gaat om krommen of oppervlakken. Bekijk de afbeelding hieronder voor een visualisatie.

Ze impliceren allemaal dat er een hoek van negentig graden bestaat. Maar de kardinaliteit van de verzameling rechte hoeken scheidt over het algemeen het gebruik. "Loodrecht" wordt vaak gebruikt wanneer men spreekt over twee vectoren.

De term "orthogonaal" wordt vaak gebruikt om een vector aan te duiden die een hoek van negentig graden maakt met ten minste 2 afzonderlijke vectoren, maar niet noodzakelijk veel (met andere woorden, het is een mogelijkheid, maar alleen tot het punt waar de vectoren worden opgesomd).

"Normaal" wordt gebruikt wanneer het aantal vectoren die onder een rechte hoek staan een niet-telbare verzameling vormen, d.w.z. een volledig vlak .

Deze afbeelding helpt u de belangrijkste verschillen te visualiseren.

Orthogonaal, Normaal en Loodrecht in verschillende gevallen van vectoren.

Betekent orthogonaal loodrecht?

Orthogonaal en Loodrecht verschillen van de eigenschap loodrecht te staan ( Loodrechtheid ). Het is de verhouding tussen twee lijnen die elkaar in een hoek van 90 graden of een rechte hoek ontmoeten.

De eigenschap zou zich uitstrekken tot andere verwante geometrische objecten. Terwijl orthogonaal de relatie van twee lijnen onder een rechte hoek is.

Orthogonaal betekent betrekking hebben op of betrokken zijn bij lijnen die loodrecht op elkaar staan of rechte hoeken vormen; een andere term hiervoor is orthografisch.

Wanneer de lijnen loodrecht, ze snijden elkaar in een rechte hoek. Zo zijn de hoeken van rechthoeken en vierkanten allemaal rechte hoeken.

Is de nulvector orthogonaal ten opzichte van elke vector?

Als het product tussen 2 vectoren 0 is, dan worden ze beschouwd als orthogonaal aan elkaar, Dus x,y ∈ X in (X,) zijn orthogonaal als =0, als x en y in (X,) orthogonaal zijn dan betekent dit dat elk scalair veelvoud van x ook orthogonaal is aan y. .

Bekijk een uitgewerkt voorbeeld.

1. x,y>=k< x,y >=k0=0
2. neem nu k=0
3. dan< 0 y>=0
4. wat betekent dat de nulvector loodrecht staat op elke andere vector.

Een andere manier om de positie van een nulvector ten opzichte van een normaalvector te beschouwen is:

1. Beschouw twee willekeurige vectoren A en B onder een hoek θ.θ.
2. Stel dat A×B=0A×B=0
3. ABsinθn=0ABsinθn=0(n is eenheidsvector).
4. A=0A=0 of B=0B=0 of sinθ=0sinθ=0
5. A=0A=0 of B=0B=0 of θ=0,πθ=0,π
6. A=0A=0 of B=0B=0 of A & B zijn parallel.
7. Stel dat A.B=0A.B=0
8. ABcosθ=0ABcosθ=0
9. A=0A=0 of B=0B=0 of cosθ=0cosθ=0
10. A=0A=0 of B=0B=0 of θ=π2θ=π2
11. A=0A=0 of B=0B=0 of A & B staan loodrecht op elkaar.
12. Nu creëren we de volgende situatie:
13. Stel dat A×B=0A×B=0 en A.B=0A.B=0
14. Dit is alleen mogelijk als A=0A=0 of B=0B=0.
15. Hier zien we dat beide voorwaarden alleen waar kunnen zijn als een van de vectoren nul is.
16. Stel dat B=0B=0
17. Uit de eerste voorwaarde kunnen we afleiden dat O is evenwijdig aan A.
18. Uit de tweede voorwaarde kunnen we afleiden dat O staat loodrecht op A.

De nulvector heeft dus een willekeurige richting. Hij kan evenwijdig zijn of loodrecht of onder een andere hoek ten opzichte van een willekeurige vector.

Conclusie

Hier zijn de belangrijkste details uit dit artikel:

• Een vector is een fysische grootheid met een grootte en een richting
• Orthogonaal, normaal en loodrecht zijn termen om een object te beschrijven dat zich in een hoek van 90 graden bevindt ten opzichte van een ander object. Er zijn dus maar een paar technische verschillen tussen deze termen wanneer ze worden toegepast op vectoren.
• Ze impliceren allemaal dat er een hoek van negentig graden bestaat. Maar de kardinaliteit van de verzameling rechte hoeken scheidt over het algemeen het gebruik. "Loodrecht" wordt vaak gebruikt wanneer men spreekt over twee vectoren.
• De term "orthogonaal" wordt vaak gebruikt om een vector aan te duiden die een hoek van negentig graden maakt met ten minste 2 afzonderlijke vectoren, maar niet noodzakelijk veel (met andere woorden, het is een mogelijkheid, maar alleen tot het punt waar de vectoren worden opgesomd).
• "Normaal" wordt gebruikt wanneer het aantal vectoren dat onder een rechte hoek staat een niet-telbare verzameling vormt, d.w.z. een heel vlak.
• In het dagelijks taalgebruik zijn ze vrijwel hetzelfde.

Ik hoop dat dit artikel je helpt om het verschil tussen orthogonaal, normaal en loodrecht bij vectoren beter te begrijpen.

WAT IS HET VERSCHIL TUSSEN EEN ACTIEVE EN EEN REACTIEVE KRACHT? (HET CONTRAST)

WAT IS HET VERSCHIL TUSSEN VECTOREN EN TENSOREN? (UITGELEGD)

HET VERSCHIL TUSSEN VERGELIJKINGEN EN FUNCTIES-1