वेक्टर, एक विषय कुछ लोगों को आसान लगता है, जबकि कुछ को यह चुनौतीपूर्ण लगता है, हालांकि सदिशों की परिभाषा और बुनियादी बातों को समझना किसी के लिए भी आसान नहीं है, विशेष रूप से यूक्लिडियन ज्यामिति (2-आयामी ज्यामिति) में, चीजें मिलती हैं जब हम 3-आयामी सदिशों और गैर-रैखिक (घुमावदार) सदिशों की ओर बढ़ते हैं तो भ्रमित होते हैं। 19वीं शताब्दी के उत्तरार्ध में जब जोशियाह विलार्ड गिब्स और ओलिवर हीविसाइड (क्रमशः संयुक्त राज्य अमेरिका और इंग्लैंड के) प्रत्येक वेक्टर विश्लेषण लागू करते हैं ताकि <के नए कानूनों को व्यक्त करने में मदद मिल सके। 2>विद्युत चुंबकत्व ।

विद्युत चुंबकत्व जेम्स क्लर्क मैक्सवेल द्वारा प्रस्तावित किया गया है। यह काफी आश्चर्यजनक है, क्योंकि यह लगभग उसी समय था जब हमने उप-परमाणु कणों की खोज शुरू की और आधुनिक परमाणु के विचार को विकसित किया।

संक्षेप में: ऑर्थोगोनल, सामान्य और लंबवत हैं किसी वस्तु का वर्णन करने के लिए शर्तें जो किसी अन्य वस्तु के संबंध में 90 डिग्री पर हैं। इसलिए जब सदिशों पर लागू किया जाता है तो उनके बीच केवल कुछ ही तकनीकी अंतर होते हैं। संक्षेप में, वे समान हैं लेकिन समान नहीं हैं।

मेरे साथ जुड़ें क्योंकि मैं इन गणितीय शब्दों के बीच मामूली अंतरों को अच्छी तरह समझाता हूं।

सदिश क्या है?

वेक्टर को आमतौर पर एक तीर द्वारा उसी दिशा के साथ दर्शाया जाता हैमात्रा और मात्रा के आयाम के लिए आनुपातिक लंबाई। यह एक ऐसी मात्रा है जिसमें परिमाण और दिशा दोनों होते हैं।

हालांकि एक वेक्टर में परिमाण और दिशा होती है, लेकिन इसकी कोई स्थिति नहीं होती है। यह माना जाता है कि मूल सदिश की लंबाई में परिवर्तन नहीं होता है, एक सदिश स्वयं भी परिवर्तित नहीं होता है यदि इसे अपनी मूल स्थिति के समानांतर विस्थापित किया जाता है

विपरीत रूप से, सामान्य मात्राएँ जिनका आयाम होता है लेकिन कोई दिशा नहीं होती है उन्हें अदिश कहा जाता है . वेग, त्वरण, और विस्थापन, उदाहरण के लिए, सदिश राशियाँ हैं, जबकि गति, समय और द्रव्यमान अदिश मान हैं।

तो संक्षेप में, आकार और दिशा के साथ कोई भी मात्रात्मक मात्रा सदिश है मात्रा और ज्यामिति का उपयोग करके सचित्र किया जा सकता है।

कई सदिशों को उनकी दिशा और परिमाण के संबंध में जोड़ा, घटाया और एक दूसरे से गुणा किया जा सकता है।

अब, लंबकोणीय, लंबवत और सामान्य सदिशों पर जाने से पहले, हम सबसे पहले लंबवत, ऑर्थोगोनल और सामान्य की परिभाषा को समझने की जरूरत है। संक्षेप में, ये गणितीय शब्द समान हैं, फिर भी स्थितिजन्य उपयोग में थोड़ा अंतर है।

मैंने आपको कुछ सदिश और अदिश राशियों से परिचित कराने के लिए नीचे एक तालिका शामिल की है।

सदिश क्या हैं?

सदिशों का वर्णन करने वाले इस अच्छी तरह से बनाए गए वीडियो पर एक नज़र डालें:

सदिश क्या होते हैं?

लम्ब, लंबकोणीय और सामान्य के बीच क्या अंतर है?

सबसे ईमानदार उत्तर "कुछ नहीं" है। ऐसी स्थितियाँ होती हैं जहाँ एक का उपयोग दूसरे की तुलना में अधिक होने की संभावना होती है, लेकिन उन्हें आमतौर पर स्पष्टता के छोटे नुकसान के साथ बदल दिया जा सकता है, जो सामान्य रूप से, संदर्भ जो प्रत्येक शब्द को घेरता है, ध्यान रखें कि यह अत्यंत लचीला है:<3

लम्बवत शास्त्रीय ज्यामिति में "रेखा जैसी" वस्तुओं (रेखा, किरण, रेखा खंड) के बीच एक संबंध है, जो तब संतुष्ट होता है जब उनके चौराहे पर कोई कोण 90 डिग्री (या π/2π/2 रेडियन, या एक वृत्त का एक चौथाई, आदि)।

ऑर्थोगोनल सदिशों के बीच एक अंतःक्रिया है जो बिलिनियर रूप के गायब होने पर संतुष्ट होती है। रेखा-पसंदों के प्रतिच्छेदन को सदिशों के जोड़े में बदलने के बाद, लम्बवतता यूक्लिडियन अंतरिक्ष में ओर्थोगोनैलिटी है (सामान्य डॉट उत्पाद के साथ एकीकृत), कभी-कभी विशेष रूप से एक समतल।

सामान्य एक प्रकार है एक कई गुना पर सदिश (उदाहरण के लिए, एक सतह) उस बिंदु पर टेंगेंट स्पेस के लिए एक हाइपरडिमेंशनल (वेक्टर) स्पेस ऑर्थोगोनल में घिरा हुआ है।स्पर्शरेखा और सामान्य द्वारा गठित विमान के लिए "सामान्य" (सामान्य अर्थ में) वेक्टर। देखने वाली बात यह है कि सामान्य अक्सर इकाई-लंबाई वाले वेक्टर को भी संदर्भित कर सकता है, जैसे कि ऑर्थोनॉर्मल में। , "सामान्य" तीन के लिए, और "ऑर्थोगोनल" जब ज्यामिति पूरी तरह से छोड़ दी जाती है (ताकि आप ऑर्थोगोनल फ़ंक्शंस के बारे में बात कर सकें)। ज्यामितीय सदिशों के लिए।

क्या एक सामान्य वेक्टर एक ओर्थोगोनल के समान है?

कागज पर, ऐसा लगता है कि उनकी एक ही परिभाषा है, लेकिन सैद्धांतिक रूप से, उनकी अलग-अलग परिभाषाएं हैं। दो लंब सदिश ऑर्थोगोनल हैं और एक दूसरे के लिए सामान्य है, लेकिन शून्य वेक्टर किसी भी वेक्टर के लिए सामान्य नहीं है, जबकि यह प्रत्येक वेक्टर के लिए ऑर्थोगोनल है।

सामान्य तौर पर, एक "सामान्य" 90-डिग्री रेखा का एक ज्यामितीय विवरण है, जबकि "ऑर्थोगोनल" का उपयोग चुनिंदा रूप से गणितीय के रूप में किया जाता है।> और यह शर्म की बात है कि एक अवधारणा के लिए इतने सारे अलग-अलग शब्द हैं।

आप कह सकते हैं कि दो सदिश एक-दूसरे के समकोण पर हैं, ओर्थोगोनल, या लंब, और इन सभी का मतलब एक ही है। लोग यह भी कहते हैं कि एक सदिश दूसरे सदिश के लिए सामान्य है, और इसका अर्थ लगभग समान हैबात।

आप कह सकते हैं कि सदिशों का एक सेट 90 डिग्री या एक-दूसरे के समकोण पर है, यह परस्पर या जोड़ीदार ओर्थोगोनल, परस्पर या जोड़ीदार लंबवत, या एक-दूसरे के लिए सामान्य हो सकता है, और इसका मतलब समान है बात।

आप कह सकते हैं कि एक सदिश वक्र या सतह के समकोण पर है, इसके लिए ऑर्थोगोनल है, इसके लंबवत है, या इसके लिए सामान्य है, और उन सभी का मतलब एक ही है। हालाँकि जब वक्र और सतहों के बारे में बात की जाती है, तो अधिक उपयुक्त शब्द "सामान्य" होता है

दो सीधे सदिशों के साथ व्यवहार करते समय लोग इसे एक दूसरे के स्थान पर उपयोग करते हैं, लेकिन मैंने वक्र या सतहों के साथ व्यवहार करते समय विशिष्ट उपयोग देखा है। विज़ुअलाइज़ेशन के लिए नीचे दी गई छवि पर एक नज़र डालें।

वे सभी नब्बे डिग्री के कोण का संकेत देते हैं। हालांकि, समकोण के सेट की कार्डिनैलिटी आम तौर पर उपयोग को अलग करती है। दो सदिशों के बारे में बात करते समय 'लम्ब' का प्रयोग अक्सर किया जाता है।

'ऑर्थोगोनल' शब्द का प्रयोग अक्सर एक वेक्टर का वर्णन करने के लिए किया जाता है जो कम से कम 2 अलग-अलग वैक्टरों के लिए नब्बे डिग्री के कोण पर होता है, लेकिन जरूरी नहीं कि कई (दूसरे शब्दों में, यह एक संभावना है लेकिन केवल बिंदु जहां सदिशों की गणना की जाती है)।

'सामान्य' का उपयोग तब किया जाता है जब एक समकोण पर सदिशों की संख्या एक बेशुमार सेट बनाती है, यानी एक संपूर्ण विमान ।

यह तस्वीर आपको प्रमुख अंतरों को देखने में मदद करेगी।

सदिशों के विभिन्न मामलों में ऑर्थोगोनल, सामान्य और लंबवत।

हैलंबकोणीय मतलब लम्बवत?

लम्बवत और लम्बवत होने के गुण से भिन्न होते हैं ( लंबवत )। यह दो रेखाओं के बीच का संबंध है जो 90 डिग्री या समकोण पर मिलती हैं।

ऐसा कहा जाता है कि संपत्ति अन्य संबंधित ज्यामितीय वस्तुओं तक विस्तारित होती है। जबकि ओर्थोगोनल समकोण पर दो रेखाओं का संबंध है।

ओर्थोगोनल का अर्थ उन रेखाओं से संबंधित या शामिल है जो लंबवत हैं या जो समकोण बनाती हैं, इसके लिए एक अन्य शब्द ऑर्थोग्राफ़िक है।

जब रेखाएँ लंबवत होती हैं, तो वे एक समकोण पर प्रतिच्छेद करती हैं। उदाहरण के लिए, आयतों और वर्गों के कोने सभी समकोण होते हैं।

क्या शून्य वेक्टर हर वेक्टर के लिए ओर्थोगोनल है?

यदि 2 सदिशों के बीच का गुणनफल 0 है, तो उन्हें एक-दूसरे के लिए ओर्थोगोनल माना जाता है, इसलिए x,y ∈ X in (X,) ओर्थोगोनल हैं यदि =0, अब यदि x और y इन (X,) ओर्थोगोनल हैं तो इसका मतलब है कि x का कोई भी स्केलर मल्टीपल भी y के लिए ऑर्थोगोनल है।

एक कार्यशील उदाहरण पर एक नज़र डालें।

1. x,y>=k< x,y >=k0= 0
2. अब लें k=0
3. फिर< 0 ,y>=0
4. जिसका मतलब है कि शून्य वेक्टर हर दूसरे वेक्टर के लिए ओर्थोगोनल है।

शून्य वेक्टर की स्थिति पर विचार करने का दूसरा तरीका सामान्य वेक्टर है:

1. किसी भी दो वैक्टर A और B कोण पर कार्य करने पर विचार करेंθ.θ.
2. मान लें कि A×B=0A×B=0
3. ABsinθn=0ABsinθn=0(n इकाई सदिश है।)
4. A=0A=0 या B=0B=0 या sinθ=0sinθ=0
5. A=0A=0 या B=0B =0 या θ=0,πθ=0,π
6. A=0A=0 या B=0B=0 या A & बी समानांतर हैं।
7. A=0A=0 या B=0B=0 या cosθ=0cosθ=0
8. A=0A=0 या B=0B=0 या θ=π2θ =π2
9. A=0A=0 या B=0B=0 या A & B लंबवत हैं।
10. अब हम इस प्रकार एक स्थिति बनाते हैं:
11. मान लीजिए कि A×B=0A×B=0 और A.B=0A.B=0
12. यह तभी संभव है जब A=0A=0 या B=0B=0
13. यहाँ हम देखते हैं कि दोनों स्थितियाँ तभी सत्य हो सकती हैं जब कोई एक सदिश शून्य हो।
14. मान लें कि B=0B=0
15. पहली शर्त से, हम अनुमान लगा सकते हैं कि O A के समानांतर है।
16. दूसरी स्थिति से, हम अनुमान लगा सकते हैं कि O A के लम्बवत् है। यह समानांतर या लम्बवत् या किसी सदिश के किसी अन्य कोण पर हो सकता है। 23>
17. वेक्टर परिमाण और दिशा वाली कोई भी भौतिक मात्रा है
18. ऑर्थोगोनल, नॉर्मल और लम्बवत शब्द किसी वस्तु का वर्णन करने के लिए शब्द हैं जो किसी अन्य वस्तु के संबंध में 90 डिग्री पर है। इसलिए, इनके बीच केवल कुछ तकनीकी अंतर हैंउन्हें जब सदिशों पर लागू किया जाता है।
19. वे सभी इंगित करते हैं कि एक नब्बे डिग्री का कोण मौजूद है। हालांकि, समकोण के सेट की कार्डिनैलिटी आम तौर पर उपयोग को अलग करती है। दो सदिशों के बारे में बात करते समय 'लम्ब' का प्रयोग अक्सर किया जाता है।
20. 'ऑर्थोगोनल' शब्द का प्रयोग अक्सर एक वेक्टर का वर्णन करने के लिए किया जाता है जो कम से कम 2 अलग-अलग वैक्टरों के लिए नब्बे डिग्री के कोण पर होता है, लेकिन जरूरी नहीं कि बहुत से हों (दूसरे शब्दों में, यह एक संभावना है लेकिन केवल बिंदु जहां वैक्टर की गणना की जाती है)।
21. 'Normal' का उपयोग तब किया जाता है जब समकोण पर सदिशों की संख्या एक बेशुमार सेट बनाती है, यानी एक पूरा विमान।
22. रोजमर्रा की भाषा में, वे लगभग समान होते हैं।<21

    मुझे आशा है कि यह लेख आपको सदिशों से निपटने के दौरान ओर्थोगोनल, सामान्य और लम्बवत के बीच के अंतर को बेहतर ढंग से समझने में मदद करेगा।

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