ভেক্টর, এমন একটি বিষয় যা কিছু লোকের কাছে সহজ মনে হয়, আবার কেউ কেউ এটিকে বরং চ্যালেঞ্জিং বলে মনে করেন, যদিও ভেক্টরের সংজ্ঞা এবং বুনিয়াদি বোঝা যে কারো জন্যই নো-ব্রেইনারের মতো, বিশেষ করে ইউক্লিডীয় জ্যামিতিতে (2-মাত্রিক জ্যামিতি), জিনিসগুলি পাওয়া যায় বিভ্রান্তিকর যখন আমরা 3-মাত্রিক ভেক্টর এবং অ-রৈখিক (বাঁকা) ভেক্টরের দিকে চলে যাই।

যদিও ভেক্টরগুলি গাণিতিকভাবে সহজ এবং যখন পদার্থবিদ্যায় অত্যন্ত দরকারী, তবুও তারা তাদের আধুনিক আকারে বিকশিত হয়নি। 19 শতকের শেষের দিকে নয় যখন জোসিয়াহ উইলার্ড গিবস এবং অলিভার হেভিসাইড (যথাক্রমে মার্কিন যুক্তরাষ্ট্র এবং ইংল্যান্ডের) প্রত্যেকে <এর নতুন আইন প্রকাশে সহায়তা করার জন্য ভেক্টর বিশ্লেষণ প্রয়োগ করেন। 2>তড়িৎচুম্বকত্ব ।

ইলেক্ট্রোম্যাগনেটিজম জেমস ক্লার্ক ম্যাক্সওয়েল দ্বারা প্রস্তাবিত। এটি বেশ আশ্চর্যজনক, কারণ এটি প্রায় একই সময়ে আমরা উপ-পারমাণবিক কণা আবিষ্কার করতে শুরু করেছি এবং আধুনিক দিনের পরমাণুর ধারণা তৈরি করতে শুরু করেছি।

সংক্ষেপে: অর্থোগোনাল, স্বাভাবিক এবং লম্ব। অন্য বস্তুর সাপেক্ষে 90 ডিগ্রীতে অবস্থিত একটি বস্তুকে বর্ণনা করার শর্তাবলী। তাই ভেক্টরে প্রয়োগ করার সময় তাদের মধ্যে মাত্র কয়েকটি প্রযুক্তিগত পার্থক্য রয়েছে। সংক্ষেপে, এগুলি একই রকম কিন্তু একই নয়৷

আমি এই গাণিতিক পদগুলির মধ্যে ছোটখাটো পার্থক্যগুলি পুঙ্খানুপুঙ্খভাবে ব্যাখ্যা করার জন্য আমার সাথে যোগ দিন৷

ভেক্টর কী?

ভেক্টর সাধারণত একটি তীর দ্বারা উপস্থাপিত হয় যার দিক একইপরিমাণ এবং দৈর্ঘ্য পরিমাণের প্রশস্ততার সমানুপাতিক। এটি এমন একটি পরিমাণ যার মাত্রা এবং দিক উভয়ই রয়েছে৷

যদিও একটি ভেক্টর এর মাত্রা এবং দিক রয়েছে, এটির একটি অবস্থান নেই৷ স্বীকৃত যে মূল ভেক্টরের দৈর্ঘ্য পরিবর্তিত হয় না, একটি ভেক্টর নিজেই পরিবর্তিত হয় না যদি এটি তার মূল অবস্থানের সমান্তরালে স্থানচ্যুত হয়

বিপরীতভাবে, সাধারণ রাশিগুলির একটি প্রশস্ততা আছে কিন্তু কোন দিকনির্দেশ নেই স্কেলার হিসাবে উল্লেখ করা হয় . বেগ, ত্বরণ, এবং স্থানচ্যুতি, উদাহরণস্বরূপ, ভেক্টরের পরিমাণ, যেখানে গতি, সময় এবং ভর হল স্কেলারের মান। পরিমাণ এবং জ্যামিতি ব্যবহার করে চিত্রিত করা যেতে পারে।

একাধিক ভেক্টর তাদের দিক এবং মাত্রার সাপেক্ষে একে অপরের সাথে যোগ, বিয়োগ এবং গুণ করা যায়।

এখন, অর্থোগোনাল, লম্ব এবং স্বাভাবিক ভেক্টরের দিকে যাওয়ার আগে, আমরা প্রথমে লম্ব, অর্থোগোনাল এবং স্বাভাবিকের সংজ্ঞা বুঝতে হবে। সংক্ষেপে, এই গাণিতিক পদগুলি একই, তবে পরিস্থিতিগত ব্যবহারের ক্ষেত্রে সামান্য পার্থক্য রয়েছে৷

আমি আপনাকে কিছু ভেক্টর এবং স্কেলার পরিমাণের সাথে পরিচিত করতে নীচে একটি সারণী অন্তর্ভুক্ত করেছি৷

ভেক্টরগুলি কী?

ভেক্টরগুলি বর্ণনা করে এই ভালভাবে তৈরি ভিডিওটি দেখুন:

ভেক্টরগুলি কী?

লম্ব, অর্থোগোনাল এবং সাধারণের মধ্যে পার্থক্য কী?

সবচেয়ে সৎ উত্তর হল "কিছুই না"৷ এমন পরিস্থিতি রয়েছে যেখানে একটি অন্যটির চেয়ে বেশি ব্যবহার করার সম্ভাবনা রয়েছে, তবে সেগুলি সাধারণত স্বচ্ছতার সামান্য ক্ষতির সাথে বিনিময় করা যেতে পারে, অর্থাৎ সাধারণভাবে, প্রতিটি শব্দকে ঘিরে থাকা প্রেক্ষাপট, মনে রাখবেন যে এটি অত্যন্ত নমনীয়:<3

লম্ব হল ক্লাসিক্যাল জ্যামিতিতে "রেখা-সদৃশ" বস্তুর (রেখা, রশ্মি, রেখার অংশ) মধ্যে একটি সম্পর্ক, যেটি সন্তুষ্ট হয় যখন তাদের ছেদগুলির কোন কোণ 90 ডিগ্রি (বা π/2π/2 রেডিয়ান, বা একটি বৃত্তের এক চতুর্থাংশ, ইত্যাদি)।

অর্থোগোনাল হল ভেক্টরগুলির মধ্যে একটি মিথস্ক্রিয়া যা বাইলিনিয়ার ফর্মটি অদৃশ্য হয়ে গেলে সন্তুষ্ট হয়। লাইন-লাইকের একটি ছেদকে একজোড়া ভেক্টরে রূপান্তরিত করার পর, লম্ব হল ইউক্লিডীয় স্থানের অর্থগোনালিটি (সাধারণ ডট পণ্যের সাথে একত্রিত), কখনও কখনও বিশেষভাবে একটি সমতল।

সাধারণ এক ধরনের একটি বহুগুণে ভেক্টরের (উদাহরণস্বরূপ, একটি পৃষ্ঠ) একটি হাইপারডাইমেনশনাল (ভেক্টর) স্পেসে অর্থোগোনাল থেকে ট্যানজেন্ট স্পেসের সেই বিন্দুতে ক্যাপসুলেট করা হয় এটি একটি প্যারামিটারাইজড বক্ররেখার স্পর্শক ভেক্টরের ডেরিভেটিভের নামও, যেখানে দ্বি-সাধারণ"স্বাভাবিক" (সাধারণ অর্থে) স্পর্শক এবং স্বাভাবিক দ্বারা গঠিত সমতলে ভেক্টর। চেক আউট করার মতো কিছু হল যে স্বাভাবিক প্রায়শই একটি ইউনিট-দৈর্ঘ্য ভেক্টরকেও উল্লেখ করতে পারে, যেমন অর্থনর্মাল।

ফলে, কোন প্রকৃত পার্থক্য নেই, তবে "লম্ব" প্রায়শই দুটি মাত্রার জন্য ব্যবহৃত হয় , তিনটির জন্য "স্বাভাবিক" এবং জ্যামিতি সম্পূর্ণরূপে পরিত্যাগ করার জন্য "অর্থোগোনাল" (যাতে আপনি অর্থোগোনাল ফাংশন সম্পর্কে কথা বলতে পারেন)।

এখন যেহেতু আমরা আমাদের ধারণাগুলি পরিষ্কার করেছি, আসুন দেখি কীভাবে প্রয়োগ করার সময় এই পরিভাষাগুলি আলাদা হয় জ্যামিতিক ভেক্টরের কাছে।

একটি সাধারণ ভেক্টর কি অর্থোগোনালের মতো?

কাগজে, তাদের একই সংজ্ঞা আছে বলে মনে হয়, কিন্তু তাত্ত্বিকভাবে, তাদের আলাদা আলাদা সংজ্ঞা আছে। দুটি লম্ব ভেক্টর অর্থোগোনাল এবং একটি অন্যটির কাছে স্বাভাবিক, তবে শূন্য ভেক্টর যেকোনো ভেক্টরের জন্য স্বাভাবিক নয় যখন এটি প্রতিটি ভেক্টরের জন্য অর্থোগোনাল।

সাধারণভাবে, একটি "স্বাভাবিক" একটি 90-ডিগ্রি রেখার একটি জ্যামিতিক বর্ণনা, যেখানে "অর্থোগোনাল" একটি গাণিতিক এক হিসাবে বেছে বেছে ব্যবহার করা হয়৷

তবে একই সময়ে, তারা সব মানে সমকোণে, এবং এটি একটি লজ্জার বিষয় যে একটি ধারণার জন্য অনেকগুলি ভিন্ন শব্দ রয়েছে৷

আপনি বলতে পারেন দুটি ভেক্টর একে অপরের সমকোণে, অর্থোগোনাল বা লম্ব, এবং এর অর্থ একই জিনিস৷ লোকেরা আরও বলে যে একটি ভেক্টর অন্যটির কাছে স্বাভাবিক, এবং এর অর্থ প্রায় একইজিনিস।

আপনি বলতে পারেন ভেক্টরের একটি সেট একে অপরের 90 ডিগ্রী বা সমকোণে থাকে, এটি পারস্পরিকভাবে বা পেয়ারওয়াইজ অর্থোগোনাল, পারস্পরিক বা পেয়ারওয়াইজ লম্ব, বা একে অপরের সাথে স্বাভাবিক, এবং এর অর্থ একই জিনিস।

আপনি বলতে পারেন একটি ভেক্টর একটি বক্ররেখা বা পৃষ্ঠের সমকোণে, এটির অর্থোগোনাল, এটির লম্ব বা এটিতে স্বাভাবিক, এবং সেগুলি একই জিনিস বোঝায়। যাইহোক, যখন বক্ররেখা এবং সারফেস সম্পর্কে কথা বলা হয়, তখন আরও উপযুক্ত শব্দটি হল "স্বাভাবিক"

দুটি সরল ভেক্টরের সাথে কাজ করার সময় লোকেরা একে একে অপরের সাথে ব্যবহার করে, কিন্তু বক্ররেখা বা পৃষ্ঠের সাথে কাজ করার সময় আমি নির্দিষ্ট ব্যবহার দেখেছি। ভিজ্যুয়ালাইজেশনের জন্য নীচের চিত্রটি দেখুন৷

এগুলি সবই বোঝায় একটি নব্বই-ডিগ্রি কোণ বিদ্যমান৷ যাইহোক, সমকোণের সেটের মূলত্ব সাধারণত ব্যবহারকে আলাদা করে। দুটি ভেক্টর সম্পর্কে কথা বলার সময় 'লম্ব' প্রায়শই ব্যবহৃত হয়।

'অর্থোগোনাল' শব্দটি প্রায়শই একটি ভেক্টরকে বর্ণনা করতে ব্যবহৃত হয় যেটি নব্বই ডিগ্রি কোণে কমপক্ষে 2টি পৃথক ভেক্টরের সাথে থাকে, তবে অগত্যা অনেকগুলি নয় (অন্য কথায়, এটি একটি সম্ভাবনা কিন্তু শুধুমাত্র বিন্দু যেখানে ভেক্টর গণনা করা হয়)।

'সাধারণ' ব্যবহার করা হয় যখন একটি সমকোণে থাকা ভেক্টরের সংখ্যা একটি অগণিত সেট তৈরি করে, যেমন একটি সম্পূর্ণ সমতল ।

এই ছবিটি আপনাকে মূল পার্থক্যগুলি কল্পনা করতে সাহায্য করবে।

ভেক্টরের বিভিন্ন ক্ষেত্রে অর্থোগোনাল, সাধারণ এবং লম্ব।

হলঅর্থোগোনাল মানে লম্ব?

অর্থোগোনাল এবং লম্ব লম্ব হওয়ার বৈশিষ্ট্য থেকে পৃথক ( লম্বত্ব )। এটি দুটি লাইনের মধ্যে সম্পর্ক যা 90 ডিগ্রি বা সমকোণে মিলিত হয়।

সম্পত্তিটিকে অন্যান্য সম্পর্কিত জ্যামিতিক বস্তুতে প্রসারিত বলে বলা হয়। যদিও অর্থোগোনাল হল সমকোণে দুটি রেখার সম্পর্ক৷

অর্থোগোনাল মানে হল লম্ব বা সমকোণ তৈরি করা রেখাগুলির সাথে সম্পর্কিত বা জড়িত, এর জন্য আরেকটি শব্দ হল অর্থোগ্রাফিক৷

যখন রেখাগুলি লম্ব হয়, তখন তারা একটি সমকোণে ছেদ করে। উদাহরণস্বরূপ, আয়তক্ষেত্র এবং বর্গক্ষেত্রগুলির কোণগুলি সমস্ত সমকোণ।

প্রতিটি ভেক্টরের জন্য কি শূন্য ভেক্টর অর্থগোনাল?

যদি 2টি ভেক্টরের মধ্যে গুনফল 0 হয়, তাহলে সেগুলি একে অপরের অর্থোগোনাল হিসাবে বিবেচিত হয়, সুতরাং x,y ∈ X in (X,) হল অর্থোগোনাল যদি =0, এখন যদি x এবং y ইন (X,) অর্থোগোনাল তাহলে এর মানে হল x এর যেকোনো স্কেলার মাল্টিপলও y এর অর্থোগোনাল।

একটি কাজের উদাহরণ দেখুন৷

1. x,y>=k< x,y >=k0= 0
2. এখন নিন k=0
3. তারপর< 0 ,y>=0
4. যার মানে হল যে শূন্য ভেক্টর প্রতিটি অন্য ভেক্টরের জন্য অর্থোগোনাল।

একটি শূন্য ভেক্টরের অবস্থান বিবেচনা করার আরেকটি উপায় সাধারণ ভেক্টর হল:

1. যেকোন দুটি ভেক্টর বিবেচনা করুন A এবং B কোণে কাজ করছেθ.θ.
2. ধরুন A×B=0A×B=0
3. ABsinθn=0ABsinθn=0(n হল একক ভেক্টর।)
4. A=0A=0 বা B=0B=0 বা sinθ=0sinθ=0
5. A=0A=0 বা B=0B =0 বা θ=0,πθ=0,π
6. A=0A=0 বা B=0B=0 বা A & B সমান্তরাল।
7. ধরুন A.B=0A.B=0
8. ABcosθ=0ABcosθ=0
9. A=0A=0 বা B=0B=0 বা cosθ=0cosθ=0
10. A=0A=0 বা B=0B=0 বা θ=π2θ =π2
11. A=0A=0 বা B=0B=0 বা A & B লম্ব।
12. এখন আমরা নিম্নরূপ একটি পরিস্থিতি তৈরি করি:
13. ধরুন A×B=0A×B=0 এবং A.B=0A.B=0
14. এটি তখনই সম্ভব যদি A=0A=0 বা B=0B=0
15. এখানে আমরা দেখি উভয় শর্তই সত্য হতে পারে যদি একটি ভেক্টর শূন্য হয়।
16. ধরুন B=0B=0
17. প্রথম শর্ত থেকে, আমরা অনুমান করতে পারি যে O A.
18. দ্বিতীয় শর্ত থেকে, আমরা অনুমান করতে পারি যে O A.

সুতরাং, নাল ভেক্টর(শূন্য ভেক্টর) এর একটি নির্বিচারে দিক রয়েছে। এটি কোনো ভেক্টরের সমান্তরাল বা লম্ব বা অন্য কোনো কোণে হতে পারে।

উপসংহার

এই নিবন্ধের মূল বিবরণ এখানে রয়েছে:

• একটি ভেক্টর হল একটি মাত্রা এবং দিকনির্দেশ সহ যেকোন ভৌত পরিমাণ
• অর্থোগোনাল, স্বাভাবিক এবং লম্ব হল একটি বস্তুকে বর্ণনা করার জন্য যা অন্য বস্তুর সাপেক্ষে 90 ডিগ্রীতে থাকে। সুতরাং, এর মধ্যে মাত্র কয়েকটি প্রযুক্তিগত পার্থক্য রয়েছেএগুলি যখন ভেক্টরগুলিতে প্রয়োগ করা হয়৷
• এগুলি সবই বোঝায় একটি নব্বই-ডিগ্রি কোণ বিদ্যমান৷ যাইহোক, সমকোণের সেটের মূলত্ব সাধারণত ব্যবহারকে আলাদা করে। দুটি ভেক্টর সম্পর্কে কথা বলার সময় 'লম্ব' প্রায়শই ব্যবহৃত হয়।
• 'অর্থোগোনাল' শব্দটি প্রায়শই এমন একটি ভেক্টরকে বর্ণনা করতে ব্যবহৃত হয় যা নব্বই ডিগ্রি কোণে কমপক্ষে 2টি পৃথক ভেক্টরের সাথে থাকে, তবে অগত্যা অনেকগুলি নয় (অন্য কথায়, এটি একটি সম্ভাবনা তবে শুধুমাত্র পয়েন্ট যেখানে ভেক্টর গণনা করা হয়)।
• 'স্বাভাবিক' ব্যবহার করা হয় যখন সমকোণে থাকা ভেক্টরের সংখ্যা একটি অগণিত সেট তৈরি করে, যেমন একটি সম্পূর্ণ সমতল৷
• দৈনিক ভাষায়, তারা কার্যত একই৷<21

আমি আশা করি এই নিবন্ধটি আপনাকে ভেক্টর নিয়ে কাজ করার সময় অর্থোগোনাল, সাধারণ এবং লম্বের মধ্যে পার্থক্য আরও ভালভাবে বুঝতে সাহায্য করবে।

একটি সক্রিয় এবং একটি এর মধ্যে পার্থক্য কী প্রতিক্রিয়াশীল শক্তি? (কন্ট্রাস্ট)

ভেক্টর এবং টেনসরের মধ্যে পার্থক্য কী? (ব্যাখ্যা করা)

সমীকরণ এবং ফাংশনের মধ্যে পার্থক্য -1